Probabilité discrète Fichier

Chapitre IX
Probabilités discrètes
Table des matières
A Probabilités sur un ensemble dénombrable
1
B Probabilités discrètes
2
C Complément : fonction génératrice et transformée de Laplace
6
A Probabilités sur un ensemble dénombrable
Soit Ω un ensemble dénombrable que l'on munit de la tribu P(Ω).
a) Soit P une probabilité sur (Ω, P(Ω)). Sa densité est l'application
p : Ω → [0, 1]
ω → P ({ω}.
Elle vérie :
X
ω∈Ω
p(ω) =
X
P ({ω}) = P (
ω∈Ω
[
({ω}) = P (Ω) = 1,
ω∈Ω
et pour tout A ⊂ Ω
P (A) = P (
[
ω∈A
({ω}) =
X
ω∈A
P ({ω}) =
X
p(ω).
ω∈A
b) Réciproquement soit p une application de Ω dans [0, 1] vériant
Dénissons une application P : P(Ω) → [0, 1] ω → P (A) =
P
p(ω) = 1.
ω∈Ω
P
p(ω).
ω∈A
Les propriétés des sommes des séries à termes positifs entraînent que P est une probabilité.
Dénition 1
Le support de P est l'ensemble supp(P ) = {ω ∈ Ω : p(ω) > 0}.
1
Dénition 2 (Mesure de décompte)
Il existe sur l'ensemble dénombrable Ω une mesure canonique, la mesure de décompte ν
dénie par :
∀A ⊂ Ω ν(A) = card(A) si A est ni et ν(A) = +∞ si A est inni.
Proposition 3
Soit µ une mesure quelconque sur (Ω, P(Ω)). µ admet par rapport à la mesure de décompte ν une unique densité h donnée par : ∀ω ∈ Ω h(ω) = µ({ω}) ≤ +∞.
La densité de P dénie en a) coïncide avec la densité de P par rapport à ν .
Preuve
i) ExistenceS: on a bien
pour toute P
partie A de Ω
Pµ = hν car P
µ(A) = µ ( {ω}) =
µ({ω}) =
h(ω) =
h(ω)ν({ω})
ω∈A
ω∈A
ω∈A
ω∈A
R
P
PR
PR
=
h(ω) 1{ω} (x)dν(x) =
1{ω} (x)h(ω)dν(x) =
1{ω} (x)h(x)dν(x)
ω∈A
ω∈A
ω∈A
R P
R
R
= [ 1{ω} ]hdν = 1A hdν = A hdν = hν(A).
ω∈A
R 0
ii) Unicité : si h0 est une autre densité on a pour toute
partie
A
de
Ω
µ(A)
=
A h dν ;
R
0
0
en particulier pour A = {ω} on obtient µ({ω}) = {ω} h dν = h (ω)ν({ω}) = h0 (ω).
D'où h0 (ω) = µ({ω}) = h(ω), et h = h0 .
B Probabilités discrètes
Soit (Ω, F, P ) un espace probabilisé.
Dénition 4
La probabilité P est dite discrète (ou atomique ) s'il existe une partie nie ou dénombrable
Ω0 de Ω telle que pour tout ω ∈ Ω0 {ω} ∈ F et P (Ω0 ) = 1.
La densité de P sur Ω0 est l'application p : Ω0 → [0, 1] ω → P ({ω}).
Remarque 5
a) Si l'on dénit le support de P par supp(P ) = {ω ∈ Ω0 : P ({ω}) > 0}, on appellera densité
de P l'application
p : supp(P ) −→ [0, 1]
ω −→ P ({ω}).
b) On peut écrire P =
P
ω∈Ω0
p(ω)δω =
P
p(ω)δω .
ω∈supp(P )
2
Proposition 6
a) Pour toute application mesurable ϕ de (Ω, F, P ) dans [0, +∞] on a
Z
ϕdP =
X
p(ω)ϕ(ω).
ω∈Ω0
b) Soit
dans R. ϕ est intégrable si et seulement
P ϕ une application mesurable ϕ deR (Ω, F, P )P
si
p(ω) |ϕ(ω)| < +∞, et dans ce cas ϕdP =
p(ω)ϕ(ω).
ω∈Ω0
ω∈Ω0
Preuve
a) Supposons Ω0 inni : Ω0 = {ωn , n ∈ N}, l'application n → ωn étant injective. Puisque
P (Ωc0 ) = 0.
Z
Z
Z
Z
ϕdP =
ϕdP +
Comme 1Ω0 =
P
ϕdP =
Ωc0
Ω0
1{ωn } on a aussi 1Ω0 ϕ =
n∈N
ϕdP.
Ω0
1{ωn } ϕ. Par conséquent
P
n∈N
Z
Z
Z
ϕdP =
ϕdP =
Z X
XZ
1{ωn } ϕdP.
1Ω0 ϕdP = ( 1{ωn } ϕ)dP =
Ω0
n∈N
n∈N
Or pour tout ω ∈ Ω
[1{ωn } ϕ](ω) = 1{ωn } (ω)ϕ(ω) = 1{ωn } (ω)ϕ(ωn ) = [1{ωn } ϕ(ωn )](ω),
autrement dit 1{ωn } ϕ = 1{ωn } ϕ(ωn ). Il en résulte que
Z
Z
1{ωn } ϕdP =
Finalement
Z
1{ωn } dP = ϕ(ωn )P ({ωn }) = ϕ(ωn )p(ωn ).
1{ωn } ϕ(ωn )dP = ϕ(ωn )
P
ϕ(ωn )p(ωn ) =
ϕ(ω)p(ω).
ω∈Ω
n∈N
n∈N
0
R
P
b) D'après a) ϕ est intégrable si et seulement si |ϕ| dP =
|ϕ(ω)| p(ω) < +∞.
R
ϕdP =
PR
1{ωn } ϕdP =
P
ω∈Ω0
Si cette condition est vériée
Z
Z
Z
ϕdP =
Z
ϕdP +
Posons pour tout n ∈ N ϕn =
La suite (ϕn )n∈N vérie :
i) pour tout entier n |ϕn | ≤ |ϕ|
ii) ∀ω ∈ Ω lim ϕn (ω) = ϕ(ω).
ϕdP =
Ωc0
Ω0
n
P
Z
ϕdP =
Ω0
ϕ(ωi )1{ωi } .
i=0
n→+∞
3
1Ω0 ϕdP.
Par le théorème de convergence dominée
Z
Z
1Ω0 ϕdP = lim
1Ω0 ϕn dP
n→+∞
Z X
n
= lim
[
ϕ(ωi )1{ωi } ]dP
n→+∞
= lim
n→+∞
= lim
n→+∞
= lim
n→+∞
=
X
i=0
n
XZ
i=0
n
X
i=0
n
X
ϕ(ωi )1{ωi } dP
Z
ϕ(ωi )
1{ωi } dP
ϕ(ωi )P ({ωi })
i=0
ϕ(ωi )p(ωi )
i∈N
=
X
ϕ(ω)p(ω).
ω∈Ω0
Conséquence 7
Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur (Ω, F, P ) dont la loi PX est atomique : il
existe une partie dénombrable D de R telle que PX (D) = 1. Appelons pX la densité de PX
sur D.
Pour toute application ϕ de R dans [0, +∞] on a
Z
Eϕ(X) =
Z
ϕ(X)dP =
ϕdPX =
X
ϕ(d)pX (d).
d∈D
Par exemple si X a pour loi la loi de Poisson de paramètre λ Pλ
Eϕ(X) =
X
n∈N
n
−λ λ
ϕ(n)e
n!
.
Remarque 8
Soit a ∈ R ; Rtoute application mesurable ϕ de R dans R est intégrable pour la mesure de
Dirac en a δa et ϕd(δa ) = ϕ(a).
Exercice 9
Soient X et Y des variables aléatoires réelles indépendantes, X (resp. Y ) ayant pour loi
un loi géométrique Gp (resp. Gq ), avec 0 < p, q < 1. Calculer P (X ≤ Y ).
4
Solution
Soit Γ = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ y}
P (X ≤ Y ) = P ((X, Y ) ∈ Γ)
Z
= 1Γ (X, Y )dP
Z
= 1Γ (x, y)dP(X,Y ) (x, y)
Z Z
=
1Γ (x, y)dPX (x)dPY (y)
XX
1Γ (n, k)p(1 − p)n q(1 − q)k
=
n≥0 k≥0
= pq
XX
= pq
X
(1 − p)n (1 − q)k
n≥0 k≥n
(1 − p)n
n≥0
= pq
X
X
k≥n
n (1
(1 − p)
n≥0
=p
X
(1 − q)k
− q)n
q
[(1 − p)(1 − q)]n
n≥0
p
1 − (1 − p)(1 − q)
p
=
.
p + q − pq
=
Exercice 10
Soit P une probabilité sur R telle que ∀n ∈ N P ({n}) = e−2 2n! . Soit ϕ l'application de R
dans R dénie par ϕ(x) = 7x = exp{x ln(7)}. Calculer Eϕ.
n
Solution
ϕ : (R, B1 , P ) → R, x → 7x
Z
Eϕ =
ϕdP =
X
ϕ(n)P ({n}) =
n≥0
=e
−2
X
n≥0
e−2
X 1
2n n
7 = e−2
2n 7n
n!
n!
n≥0
X 1
X 14n
n
−2
(2 × 7) = e
= e−2 e14 = e12 .
n!
n!
n≥0
n≥0
.
5
C Complément : fonction génératrice et transformée de Laplace
Soit P une probabilité dénie sur N. Pour tout entier n posons an = P ({n}). Soit
D
C : |z| < 1}. Pour tout élément z ∈ D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}, laPsérie entière
P = {z ∈
n
n≥0 an z converge, en étant dominée terme à terme en module par la série
n≥0 an ; elle
dénit par conséquent une application continue sur D et une fonction holomorphe sur D.
Dénition 11
1) On appelle fonction génératrice de P l'application continue g = gP dénie sur D par
∀z ∈ D
g(z) =
X
an z n .
n≥0
2) On appelle transformée de Laplace de P l'application ϕ = ϕP dénie sur [0, +∞[ par :
∀s ∈ [0, +∞[
ϕ(s) =
X
an e−sn = g(e−s ).
n≥0
Notation 12
Si X est une variable aléatoire dénie sur (Ω, F, P ) et à valeurs dans N, on pose ϕX = ϕPX
et gX = gPX ; on a donc pour tout réel positif s ϕ(s) = E exp(−sX) et pour tout élément z
de D gX (z) = E(z X ).
Propriété 13
On pose I = [0, 1[.
a) La fonction g est holomorphe sur D ; il en est donc de même pour g 0 et g 00 qui vérient
pour tout z ∈ D
g 0 (z) =
X
nan z n−1
n≥1
et
g 00 (z) =
X
n(n − 1)an z n−2 .
n≥2
b) On a
lim
0
x→1,x∈I
g (x) =
X
Z
lim
x→1,x∈I
g (x) =
X
n≥2
N
n≥1
et
00
IdN (n)dP (n) ≤ +∞
nan =
Z
n(n − 1)an =
IdN (n)[IdN (n) − 1]dP (n) ≤ +∞.
N
6
Conséquence 14
1. Si la première limite est nie, P admet une espérance (nie) vériant
EP =
lim g 0 (x) =
x→1,x∈I
X
nan .
n≥1
2. Si les deux limites sont nies, alors
X
n(n − 1)an =
n≥2
X
(n2 an − nan ) < +∞ et
n≥2
X
nan < +∞ ;
n≥1
par conséquent
X
X
n(n − 1)an =
n≥0
n2 an −
n≥0
X
nan =
n≥0
X
n2 an − EP = V P + (EP )2 − EP.
n≥0
On en déduit que
VP =
lim g 00 (x) +
x→1,x∈I
lim g 0 (x) − [ lim g 0 (x)]2 .
x→1,x∈I
x→1,x∈I
3. Pour tout s ≥ 0 on a ϕ(s) = g(e−s ) ; donc ϕ est de classe C ∞ sur ]0, +∞[ et ϕ(0) = 1.
Pour s ∈]0, +∞[
ϕ0 (s) = −e−s g 0 (e−s ) = −e−s
X
nan e−s(n−1) = −
n≥1
D'où lim+ ϕ0 (s) = −
s→0
X
nan e−sn .
n≥1
n≥1 nan .
P
Proposition 15
Deux probabilités P et Q sur N ayant même fonction génératrice sont égales.
Preuve
(n)
gP (z)
Si pour tout z ∈ D gP (z) = gQ (z), on a aussi pour tout entier n ≥ 1 et tout z ∈ D
(n)
(n)
(n)
= gQ (z). Or gP (0) = n!P ({n}) et gQ (0) = n!Q({n}).
Remarque 16
Deux probabilités P et Q sur N ayant même transformée de Laplace sont égales. En eet
pour tout s ∈ [0, +∞[
gP (e−s ) = ϕP (s) = ϕQ (s) = gQ (e−s ).
Les fonctions holomorphes gP et gQ sur D coïncident sur l'intervalle ]0, 1[ ; elles sont donc
égales en vertu du principe du prolongement analytique.
7
Exemples 17
1. Loi de Poisson Pλ
a) La fonction génératrice d'une loi de Poisson de paramètre λ > 0 est dénie par :
∀z ∈ D
g(z) =
X
n≥0
(e−λ
X (λz)n
λn n
)z = e−λ
= e−λ eλz = exp{λ(z − 1)}.
n!
n!
n≥0
On constate que g peut être prolongée en une fonction analytique sur C ; il en est donc
de même pour g 0 et g 00 .
Comme g 0 (z) = λ exp{λ(z − 1)} et g 00 (z) = λ2 exp{λ(z − 1)}, on en déduit les égalités
suivantes
EPλ =
lim g 0 (x) = g 0 (1) = λ
x→1,x∈I
et
V Pλ =
lim g 00 (x) +
x→1,x∈I
00
lim g 0 (x) − [ lim g 0 (x)]2
x→1,x∈I
0
2
x→1,x∈I
= g (1) + g 0 (1) − [g (1)]
= λ2 + λ − λ2
= λ.
b) Soient X1 , ..., Xn des variables aléatoires réelles indépendantes, Xi ayant pour loi une
loi de Poisson de paramètre λi . La variable X = X1 + ... + Xn a pour loi une loi de Poisson
de paramètre λ = λ1 + ... + λn . En eet on a pour tout z ∈ D
gX (z) =
n
Y
gXi (z)
i=1
=
n
Y
exp{λi (z − 1)}
i=1
= exp{[λ1 + ... + λn ](z − 1)}
= exp{λ(z − 1)}.
2. Loi binomiale
8
a) La fonction génératrice g d'une loi binomiale de paramètre (n, p) est dénie par : ∀z ∈ C
g(z) =
=
=
X
b(n, p)(k)z k
k≥0
n
X
Cnk pk (1 − p)n−k z k
k=0
n
X
Cnk (pz)k (1 − p)n−k
k=0
= [pz + (1 − p)]n .
b) Soient X1 , ..., Xk des variables aléatoires réelles indépendantes, Xi ayant pour loi binomiale de paramètre (ni , p). La variable X = X1 + ... + Xk a pour loi une loi binomiale
de paramètre (n, p), avec n = n1 + ... + nk . En eet on a pour tout z ∈ C
gX (z) =
=
k
Y
i=1
k
Y
gXi (z)
[pz + (1 − p)]ni
i=1
= [pz + (1 − p)](n1 +...+nk )
= [pz + (1 − p)]n .
3. Loi géométrique
La fonction génératrice g d'une loi géométrique Gp de paramètre p ∈]0, 1[ est dénie
par
∀z ∈ D
g(z) =
X
p(1 − p)n z z = p
n≥0
1
.
1 − (1 − p)z
1
L'application g est holomorphe sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1−p
qui contient
1, si bien que les limites de la propriété 13 existent et sont nies. On a d'une part
lim
x→1,x∈I
g 0 (x) =
p(1 − p)
p(1 − p) 1 − p
=
=
,
x→1,x∈I [1 − (1 − p)x]2
p2
p
lim
et d'autre part
lim
x→1,x∈I
p(1 − p)2
2p(1 − p)2
2(1 − p)2
g (x) = lim 2
=
=
.
x→1,x∈I [1 − (1 − p)x]3
p3
p2
00
On en déduit que EGp =
1−p
p
et que
2(1 − p)2 1 − p h 1 − p i2 1 − p
V Gp =
+
−
=
.
p2
p
p
p2
9