1°S Angles, trigonométrie et repérage Dans tout ce chapitre, nous

1°S
Angles, trigonométrie et repérage
Dans tout ce chapitre, nous considérons un repère orthonormal (O, I, J) et nous désignerons par :
♦ i et j les vecteurs i
OI et j
OJ ;
♦ I’ et J’ les symétriques de I et J.
♦ C le cercle trigonométrique.
Nous exprimerons
« les réels x et y diffèrent d’un multiple entier de 2 π » par :
« il existe k Z tel que x – y = 2 k π ou x = y + 2 k π » ou par :
« x = y [ 2 π ] qui se lit x égale y modulo 2 π ».
1. Les angles orientés.
+
J
A (a)
(b)
B
tels que : OA
u et OB
u
v
Définition 1. Soit u et v deux vecteurs de norme 1 ; A et B des points de
O
I
v . On note a et b les abscisses curvilignes de
A et B. On appelle mesures de l’angle orienté ( u , v ) les nombres b – a.
Remarques.
♦ Un angle orienté a une infinité de mesures qui diffèrent d’un multiple
de 2 π. Pour exprimer que le réel x est une mesure de l’angle orienté ( u , v ) , on écrit ( u , v )
x 2π .
♦ Parmi les mesures de l’angle orienté ( u , v ) , une et une seule appartient à l’intervalle ] – π , π ], cette
mesure est appelée la mesure principale de ( u , v ) .
♦ Pour tout vecteur unitaire u , on a ( u , u ) = 0 [ 2 π ] (angle nul) et ( u , u ) = π [ 2 π ] (angle plat). Étant
donné deux vecteurs orthogonaux u et v , on a ( u , v )
π
2
2 π ou bien ( u , v )
π
2
2 π (angle droit).
Exercice 1. On considère les points A et B du cercle trigonométrique d’abscisses curvilignes respectives
π
3
et
3π
4
. Faire une figure, puis calculer la mesure principale des angles orientés OA , OB et OB , OA .
Définition 2. Les mesures de l’angle orienté ( u , v ) ( u et v non nuls) sont définies par :
Théorème 1 (relation de Chasles pour les angles orientés).
Quels que soient les vecteurs u , v , w : ( u , v ) ( v , w )
(u , w) 2 π .
Démonstration. La définition 2 permet de supposer les vecteurs unitaires. Soit alors A, B, C les points du
cercle trigonométrique tels que OA
u , OB
v , OC
ces points. Par la définition 1, on a ( u , v ) ( v , w )
(b
w et notons a, b, c les abscisses curvilignes de
a)
(c
b)
c
a
(u , w) 2 π .
Conséquences. Soient u et v deux vecteurs non nuls. On a :
(v ,u )
(λu,λv)
(u ,v ) 2 π
( u , v ) 2 π pour tout réel λ non nul.
( u ,v)
(u ,v )
π 2π
et ( u , v )
(u ,v )
π 2π
Démonstrations. Utiliser la relation de Chasles, par exemple :
(u ,v )
(v ,u )
(u ,u )
0 2 π donc ( v , u )
(u ,v ) 2 π .
Angles géométriques et angles orientés.
La mesure (en radian) α d’un angle géométrique 
AOB est comprise entre 0 et π. On écrit 
AOB = α.
La mesure x d’un angle orienté est réel défini modulo 2 π. On note ( OA , OB ) = x [ 2 π ].
La valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté ( OA , OB ) est la mesure (en radians dans
[ 0 , π ]) de l’angle géométrique 
AOB.
A
Définition 3. Un repère orthonormal ( O , i , j ) du plan est direct lorsque
(i, j)
π
2
π
2
2 π et indirect lorsque ( i , j )
B
α
C
2π .
Théorème 2 (admis).
Une réflexion change un angle orienté en son opposé.
B'
C'
–α
A'
2. Trigonométrie.
Définition 4.
Soit x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x (x est une mesure de l’angle orienté
( OI , OM ) ). On appelle cosinus et sinus de x (notés cos x et sin x), les coordonnées de M dans le repère
(O, I, J). Autrement dit OM
(cos x ) OI
J
(sin x ) OJ .
cos π = – 1, sin π = 0, cos
π
2
= 0 et sin
π
2
M
sin x
Remarques.
♦ En considérant les points I (1 , 0), J (0 , 1), I’(– 1 , 0), J’(0 , – 1)
associés à 0, π2 , π et π2 , on a cos 0 = 1, sin 0 = 0, cos π2 = 0, sin π2 = 1,
x
= – 1.
I
cos x
o
♦ Quel que soit l’entier relatif k, les réels x et x + 2 k π ont le même
point associé M sur le cercle.
Donc cos (x + 2 k π) = cos x et sin (x + 2 k π) = sin x.
Les angles aigus.
Lorsque 0 < x < π2 , il est visible sur la figure que cos x > 0 et sin x > 0.
D’autre part, on a : cos 
IOM =
OC
OM
cos x
1
et sin 
IOM =
CM
OM
OS
OM
cos x et sin x sont le cosinus et le sinus de l’angle géométrique 
IOM .
sin x
1
= sin x.
J
S
M
x
C
o
I
Définition 5. Étant donné deux vecteurs non nuls u et v , on désigne par cos ( u , v ) et sin ( u , v ) le
cosinus et le sinus d’une mesure quelconque de ( u , v ) .
J
Valeurs remarquables.
x
0
cos x
1
sin x
0
3
π
π
π
π
6
4
3
2
3
2
1
2
2
3
2
π
4
1
π
2
6
0
2
2
1
2
π
1
2
O
Propriétés élémentaires.
♦ Pour tout réel x, cos 2 x + sin 2 x = 1.
♦ Pour tout réel x, – 1 ≤ cos x ≤ 1 et – 1 ≤ sin x ≤ 1.
Exercice 2.
Calculer sin α et cos β sachant que : ▪
π
2
α
1
I
2
0 et cos α = 0,6 ▪
π
2
β
π et sin β = 0,8.
Que dire des points associés à α et β sur le cercle trigonométrique ?
Les angles associés.
J
a. Configuration du rectangle.
π–x
M
cos (π – x) = – cos x
sin (π – x) = sin x
x
1
M
O
I
cos (π + x) = – cos x
sin (π + x) = – sin x
Exercice 3. Calculer π
cos (– x) = cos x
sin (– x) = – sin x
π
6
M'
M
x+π
–x
. En déduire le cosinus et le sinus de
5π
6
b. Angles complémentaires.
π
2
x = sin x et sin
π
2
x = cos x.
Par ailleurs en changeant x par – x dans ces relations, on obtient :
cos
π
2
.
J
Deux points de C associés à deux angles complémentaires sont
symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
De ce fait les coordonnées sont « échangées ». Si l’un a pour
coordonnées (a, b) alors l’autre a pour coordonnées (b, a).
Il en découle :
cos
2
x = sin (– x) = – sin x et sin
π
2
x = cos (– x) = cos x.
π
2
–x
M'
x
M
O
I
3. Fonctions cosinus et sinus.
La fonction cosinus est définie sur R.
Il est inutile d’étudier les variations de la fonction cosinus sur R, puisque pour tout x, cos x = cos (x + 2 ).
x
0
1
Cos x
/2
3 /2
0
0
2
1
–1
y
x
0
/4
/3
/2
2 /3
Cos x
1
2/2
1/2
0
– 1/2 – 2/2 – 1 – 2/2 – 1/2
Point
A
T
B
C
3 /4
D
5 /4
E
F
G
4 /3 3 /2 5 /3
H
7 /4
2
0
1/2
2/2
1
P
Q
R
S
A
S
T
R
B
Q
P
C
o
x
D
H
E
G
F
La fonction sinus est définie sur R.
Il est inutile d’étudier les variations de la fonction sinus sur R, puisque pour tout x, sin x = sin (x + 2 ).
x
0
Sin x
0
/2
1
3 /2
2
0
0
–1
y
x
0
/4
/3
/2
Sin x
0
2/2
3/2
Point
O
A
B
2 /3
3 /4
5 /4
1
3/2
2/2
0
C
D
E
F
4 /3
3 /2
–1
– 2/2 – 3/2
G
H
P
5 /3
7 /4
– 3/2 – 2/2
Q
R
2
0
S
C
A
B
D
E
F
S
o
x
G
H
R
Q
P
4. Repérage polaire.
Définition 6. A chaque point M distinct de O, nous pouvons associer les couples (r, θ) où :
▪ r est la distance OM (on a donc r > 0) ▪ θ est une mesure de l’angle (i , OM ) .
Ce couple est un couple de coordonnées polaires de M et l’on note M (r, θ).
M
Remarques.
▪ Un point M admet plusieurs coordonnées polaires puisque θ n’est
défini qu’à 2 k π près (dans la pratique on choisit θ dans [ 0 , 2 π [ ou
dans ] – π , π ]).
▪ Pour l’origine, on convient que r = 0 et que θ est quelconque.
▪ La donnée d’un couple (r, θ) détermine de façon unique le point M.
Exercice 4.
Déterminer les coordonnées polaires des points I, J, A, B, C (sur la
figure).
J
r
O
I
B
C
J
O
Théorème 3.
Si un point M a pour coordonnées cartésiennes (x, y)
et pour coordonnées polaires (r, θ ), alors :
Passage des coordonnées cartésiennes
aux coordonnées polaires
r=
x2
y2
 cos θ =
x
r
x2
 sin θ =
r
 x = r cos θ
 y = r sin θ
y2
y
x2
y2
Démonstration. Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y) et de
coordonnées polaires (r, θ). Et soit m le point d’intersection de la demidroite [ O, M [ avec le cercle C.
On a d’une part OM
et d’autre part O m
d’où OM
soit OM
Et OM
r Om
M
J
r
r Om ,
(cos θ) i
r (cos θ) i
( r cos θ) i
x i
A
Passage des coordonnées polaires
aux coordonnées cartésiennes
x
y
I
m
(sin θ) j ,
(sin θ) j ,
O
θ
I
( r sin θ) j .
y j (par définition des coordonnées cartésiennes).
Par identification, on a donc x = r cos θ et y = r sin θ.
La relation r 2 = x 2 + y 2 résulte du théorème de Pythagore puis donne r =
x2
y 2 puisque r > 0.
Exercice 5. Calculer les coordonnées cartésiennes des points A, B, C de coordonnées polaires A 2 , π6 , B
2,
π
4
et C 4 ,
2π
3
.
Théorème 4 (facultatif).
A
Soit i un vecteur unitaire (de norme 1) et v un vecteur quelconque non nul.
Le projeté orthogonal v ' de v sur i est tel que v '
v cos ( i , v ) i .
Démonstration.
Fixons un point O et introduisons les points I et A tels que OI
Soit H le projeté orthogonal de A sur la droite (OI).
i et OA
O
Alors, par définition, v ' OH est le projeté orthogonal de v sur i et le
théorème 4 énonce que : OH
( OA
ce qui est maintenant évident car OH
cos θ) i avec θ = ( i , v ) ),
OH i et OH = OA
I
v.
cos θ .
H
5. Tangente d’un réel.
α
J
A
Définition 7.
Pour tout réel α , α
π
2
Z), on a tan α =
k π (k
sin α
cos α
.
Exercice 6. Démontrer que
.
O
I
Le point A étant associé au réel α sur le cercle trigonométrique,
le point T défini dans la figure ci-contre a pour coordonnées T
(1, tan α ).
Exercice 7. Dans le cas où
ordonnée
, démontrer que
a pour
.
T
Rappel. Tangente de 0 < α <
π
2
(1, tan α )
(angle aigu).
Dans un triangle ABC rectangle en A,
on pose α = 
ACB, on a tan α =
AB
AC
.
Valeurs particulières et propriétés.
α
0
tan α
0
π
π
π
6
4
3
2
3
1
3
 tan ( α + k π ) = tan α , k
 1 + tan 2 α =
π
1
cos α
2
Z (1)
3
Non
défini

 tan
(2)
π
2
α
=
1
tan α
.
Par conséquent La fonction tan est impaire (2) et périodique de période π (1).
Le cercle trigonométrique et ses valeurs remarquables
π
x=
x=
x=
x=
2
2π
x=
3
3
3π
π
3
2
4
x=
2
π
4
2
5π
1
6
x=
2
x= π
3
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
x=
7π
6
x=
2
x=
2
5π
2
4
x=
3
x=
2
4π
x=
3
x=
3π
2
5π
3
6
x=0
3
2
π
7π
4
11 π
6
1°S
Angles, trigonométrie et repérage
Correction des exercices du cours
+
Exercice 1.
J
3π
D’après la définition, on a OA , OB
D’autre part, on a OB , OA
π
3
4
9π
4π
5π
12
12
12
5π
OA , OB
12
A
.
B
.
I
O
Exercice 2.
De la relation cos 2 x + sin 2 x = 1,
nous tirons sin 2 α = 1 – cos 2 α = 1 – 0,6 2 = 0,64 = 0,8 2.
De même, cos 2 β = 1 – sin 2 β = 1 – 0,8 2 = 0,6 2.
Nous pouvons lire sur le cercle trigonométrique que sin α < 0,
d’où sin α = – 0,8.
De même, cos β < 0 donc cos β = – 0,6.
Les points associés A (0,6 ; – 0,8) et B (– 0,6 ; 0,8) sont
diamétralement opposés sur le cercle.
J
B
0,8
O
0,6
– 0,6
– 0,8
Exercice 3. Nous avons π
▪ cos
5π
6
π
6
= cos π
5π
π
6
= – cos
6
π
6
A
. Il en découle :
=–
▪ sin
3
2
5π
6
π
6
= sin π
= sin
Exercice 4.
▪ Il est clair que pour A et I, θ = 0 . Comme OI = 1 et OA = 2,
les coordonnées polaires de A et I sont (1, 0) et (2, 0).
▪ Avec OJ = 1, OB = 2 et ( OI , OJ ) = ( OI , OB ) =
les coordonnées polaires de J et B sont 1 ,
π
2
π
2
et 2 ,
π
2
π
6
=
1
2
.
B
2π ,
C
J
.
▪ Le segment [OC] est la diagonale du carré OACB de côté égal à 2.
2π , d’où C 2 2 , π4 .
π
4
Nous avons OC = 2 2 et OI , OC
O
I
Exercice 5.
Par le théorème 3, on obtient xA = 2 cos
De même, xB =
2 cos
De même xC = 4 cos
2π
3
π
4
=4
=
2
1
2
2
2
π
6
=2
3
2
=
= 1 et yB =
= – 2 et yC = 4 sin
3 et yA = 2 sin
2 sin
π
4
2π
3
=4
=
π
6
1
2
=2
2
2
2
3
2
=–2
= 1.
= – 1.
3.
A
I
Exercice 6. Démontrons que
.
la fonction tangente est définie par :
La recherche des « valeurs interdites » amènent à résoudre l’équation
.
Une droite graduée peut être utile pour visualiser les « valeurs interdites » qui sont :
On en déduit que :
Exercice 7. Dans le cas où
.
, démontrons que
On applique la formule de la tangente dans le triangle
a pour ordonnée
rectangle en , on obtient :
.