Trigonométrie

1S1
Devoir Surveillé N°5 – Trigonométrie
le 13/02/2012
Dans tout le devoir, l’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
L’usage d’un brouillon est fortement recommandé.
1 Mesure principale (3 points)
Soit 𝑑1 , 𝑑2 et 𝑑3 trois droites de vecteur directeur respectif 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ tels que :
(𝑢
⃗ , 𝑣) =
42𝜋
,
4
(𝑣 , 𝑤
⃗⃗ ) = −
et
75𝜋
.
2
1. Donner la mesure principale de chacune des mesures d’angles orientés :
a. (𝑢
⃗ , 𝑣) =
42𝜋
4
b. (𝑣 , 𝑤
⃗⃗ ) = −
75𝜋
2
c. (𝑤
⃗⃗ , 𝑡) =
434𝜋
5
2. Que dire des droites 𝑑1 et 𝑑2 ? Que dire des droites 𝑑1 et 𝑑3 ?
3. Donner une mesure (principale ou non) de chacun des angles orientés suivants :
a. (3𝑢
⃗ , −2𝑣 )
b. (−2𝑢
⃗ , 𝑣)
c. (−𝑣 , −𝑢
⃗)
2 Résolution d’équations trigonométriques (4 points)
1. Placer sur un cercle trigonométrique les points associés aux solutions de l’équation :
3𝜋
)
4
5𝜋
sin(𝑥) = sin ( 6 )
cos(𝑥) = cos (−
2. Résoudre dans ℝ l’équation :
2 sin(𝑥) + 1 = 0
3. Déterminer les solutions de l’équation
4. Résoudre dans ]−𝜋; 𝜋] l’équation cos (𝑥
𝜋
− 3)
=
√2
2
dans [0; 2𝜋[ puis dans ]−𝜋; 𝜋].
.
3 Angles associés (4 points)
1. Simplifier les expressions suivantes, où 𝑥 désigne un réel quelconque :
π
𝐴 = sin(𝜋 + 𝑥) + 2 × cos ( − 𝑥) + cos(𝜋 − 𝑥) + sin(−𝑥)
2
𝜋
𝜋
𝐵 = sin (𝑥 − ) − cos(𝑥 + 𝜋) + cos (𝑥 − ) − sin(𝑥 − 𝜋)
2
2
2. Démontrer que :
3𝜋
5𝜋
11𝜋
13𝜋
sin ( ) + sin ( ) + sin (
) + sin (
)=0
8
8
8
8
4 Alignements de points (5 points)
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ) soit − .
ABCD est un carré tel qu’une mesure de (𝐴𝐵
2
On construit à l’intérieur du carré un triangle équilatéral CDE tel
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
qu’une mesure de (𝐷𝐶
𝐷𝐸 ) soit .
3
On construit à l’extérieur du carré un triangle équilatéral BCF tel
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
qu’une mesure de (𝐵𝐶
𝐵𝐹 ) soit 3 .
1. Déterminer en justifiant brièvement une mesure de chacun des angles suivants :
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐸𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐸𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
a. (𝐸𝐶
b. (𝐸𝐹
c. (𝐸𝐷
𝐸𝐴)
2. Démontrer que les points A, E et F sont alignés.
5 Lignes trigonométriques (4 points)
𝜋
√6+√2
4
𝜋
que sin (12)
On donne cos (12) =
1. Démontrer
=
√6−√2
4
2
(On pourra d’abord développer (√6 − √2) )
2. Déduisez-en les valeurs exactes du sinus et du cosinus de :
a.
5𝜋
12
b.
11𝜋
12
c.
7𝜋
12
1 Mesure principale (4 points)
Soit 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 et 𝑑4 quatre droites de vecteur directeur respectif 𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗ et 𝑡 tels que :
(𝑢
⃗ , 𝑣) =
42𝜋
,
4
(𝑣 , 𝑤
⃗⃗ ) = −
75𝜋
2
et
⃗⃗ , 𝑡) =
(𝑤
434𝜋
.
5
4. Donner la mesure principale de chacune des mesures d’angles orientés :
d. (𝑢
⃗ , 𝑣) =
42𝜋
4
e. (𝑣 , 𝑤
⃗⃗ ) = −
75𝜋
2
5. Que dire des droites 𝑑1 et 𝑑2 ? Que dire des droites 𝑑1 et 𝑑3 ?
6. Donner une mesure de chacun des angles orientés suivants :
a. (3𝑢
⃗ , −2𝑣 )
b. (−2𝑢
⃗ , 𝑣)
⃗⃗ , 𝑡) =
(𝑤
f.
c. (−𝑣 , −𝑢
⃗)
4 Alignements de points (3 points)
Sur la figure ci dessous, on sait que ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐸 sont colinéaires.
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
Déterminer une mesure de l’angle (𝐷𝐶
𝐷𝐸 ) en indiquant votre démarche.
5 Lignes trigonométriques (2 points)
𝜋
On donne cos (12) =
√6+√2
4
𝜋
3. Démontrer que sin (12) =
√6−√2
4
4. Déduisez-en les valeurs exactes du sinus et du cosinus de :
d.
5𝜋
12
e.
7𝜋
12
434𝜋
5
f.
11𝜋
12