1S1
Devoir Surveillé N°5 – Trigonométrie
le 13/02/2012
Dans tout le devoir, l’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
L’usage d’un brouillon est fortement recommandé.
1 Mesure principale (3 points)
Soit 1 , 2 et 3 trois droites de vecteur directeur respectif 
⃗ ,  et 
⃗⃗ tels que :
(
⃗ , ) =
42
,
4
( , 
⃗⃗ ) = −
et
75
.
2
1. Donner la mesure principale de chacune des mesures d’angles orientés :
a. (
⃗ , ) =
42
4
b. ( , 
⃗⃗ ) = −
75
2
c. (
⃗⃗ , ) =
434
5
2. Que dire des droites 1 et 2 ? Que dire des droites 1 et 3 ?
3. Donner une mesure (principale ou non) de chacun des angles orientés suivants :
a. (3
⃗ , −2 )
b. (−2
⃗ , )
c. (− , −
⃗)
2 Résolution d’équations trigonométriques (4 points)
1. Placer sur un cercle trigonométrique les points associés aux solutions de l’équation :
3
)
4
5
sin() = sin ( 6 )
cos() = cos (−
2. Résoudre dans ℝ l’équation :
2 sin() + 1 = 0
3. Déterminer les solutions de l’équation
4. Résoudre dans ]−; ] l’équation cos (

− 3)
=
√2
2
dans [0; 2[ puis dans ]−; ].
.
3 Angles associés (4 points)
1. Simplifier les expressions suivantes, où  désigne un réel quelconque :
π
 = sin( + ) + 2 × cos ( − ) + cos( − ) + sin(−)
2


 = sin ( − ) − cos( + ) + cos ( − ) − sin( − )
2
2
2. Démontrer que :
3
5
11
13
sin ( ) + sin ( ) + sin (
) + sin (
)=0
8
8
8
8
4 Alignements de points (5 points)

⃗⃗⃗⃗⃗ , 
⃗⃗⃗⃗⃗ ) soit − .
ABCD est un carré tel qu’une mesure de (
2
On construit à l’intérieur du carré un triangle équilatéral CDE tel

⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
qu’une mesure de (
 ) soit .
3
On construit à l’extérieur du carré un triangle équilatéral BCF tel

⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
qu’une mesure de (
 ) soit 3 .
1. Déterminer en justifiant brièvement une mesure de chacun des angles suivants :
⃗⃗⃗⃗⃗ , 
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ , 
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
a. (
b. (
c. (
)
2. Démontrer que les points A, E et F sont alignés.
5 Lignes trigonométriques (4 points)

√6+√2
4

que sin (12)
On donne cos (12) =
1. Démontrer
=
√6−√2
4
2
(On pourra d’abord développer (√6 − √2) )
2. Déduisez-en les valeurs exactes du sinus et du cosinus de :
a.
5
12
b.
11
12
c.
7
12
1 Mesure principale (4 points)
Soit 1 , 2 , 3 et 4 quatre droites de vecteur directeur respectif 
⃗ , , 
⃗⃗ et  tels que :
(
⃗ , ) =
42
,
4
( , 
⃗⃗ ) = −
75
2
et
⃗⃗ , ) =
(
434
.
5
4. Donner la mesure principale de chacune des mesures d’angles orientés :
d. (
⃗ , ) =
42
4
e. ( , 
⃗⃗ ) = −
75
2
5. Que dire des droites 1 et 2 ? Que dire des droites 1 et 3 ?
6. Donner une mesure de chacun des angles orientés suivants :
a. (3
⃗ , −2 )
b. (−2
⃗ , )
⃗⃗ , ) =
(
f.
c. (− , −
⃗)
4 Alignements de points (3 points)
Sur la figure ci dessous, on sait que ⃗⃗⃗⃗⃗
 et ⃗⃗⃗⃗⃗
 sont colinéaires.
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
Déterminer une mesure de l’angle (
 ) en indiquant votre démarche.
5 Lignes trigonométriques (2 points)

On donne cos (12) =
√6+√2
4

3. Démontrer que sin (12) =
√6−√2
4
4. Déduisez-en les valeurs exactes du sinus et du cosinus de :
d.
5
12
e.
7
12
434
5
f.
11
12