Angles et trigonométrie I- Le radian • Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon qu’un angle plat (180°) mesure radians. Ainsi, un arc de cercle de rayon R et d’angle (en radian) mesure : L = R . Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de x degrés en un angle de a radians degrés radians 180 x = 180 x L=R • R Un angle géométrique est toujours positif. Un angle orienté (angle entre deux vecteurs) peut être négatif. Exemple : Si l’orientation choisie est le sens direct, on a : Angles géométriques : A = DAC 3 ( et ( AD ; AC )= AC ; AD )= – 3 3 D • Angles orientés : B C Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct sur lequel est fixé un point origine A. Soit M un point de ce cercle tel que soit une mesure, en radian, de l’angle orienté ( OA ; OM ) . On peut alors donner une infinité de mesure à cet angle. Toutes les mesures s’obtiennent en ajoutant 2k ( k ∈ ℤ ) M On note : ( OA ; OM ) = (2 ) ce qui se lit : «L’angle ( OA ; OM ) est égale à a à 2k près ou modulo 2 » O Dans l’exemple précédent, on peut écrire : ou encore • 7 ( AD ; AC ) = 3 et ( AC ; AD )= 1 5 3 − ( 2 et ( 2 AD ; AC ) = AC ; AD ) = 3 3 Parmi toutes les mesures que peut prendre un angle orienté, la seule appartenant à l’intervalle ] – ; ] est appelée la mesure principale de l’angle. M. Philippe 22/11/09 Page 1 / 4 A II- Angles orientés On ne peut pas parler d’angles orientés de deux vecteurs si l’un des deux est le vecteur nul. Les vecteurs considérés dans la suite sont toujours non nuls a) Relation de Chasles Propriété : Pour tous vecteurs u , v , w , on a la relation suivante dite de Chasles : ( u ; v ) + ( v ; w ) = ( u ; w ) (2 ) b) Angles associés à l’angle orienté ( u ; v ) Pour tous vecteurs u , v , on a les relations suivantes : Angles opposés : ( u ; v ) = – ( v ; u ) (2 ) (– u ; v ) = ( u ; v ) + (2 ) ( – u ;– v ) = ( u ; v ) (2 ) Une figure est plus explicite qu’une démonstration. Entrainez-vous à retrouver ces règles à l’aide d’une figure comme suit • Soit ABC un triangle. Ecrire à l’aide d’angles orientés que la somme de ses angles vaut p radians • Alignement Trois points M, A , B sont alignés si et seulement si ( MA ; MB ) = ce qui peut s’écrire aussi ( MA ; MB ) = k avec k ∈ ℤ ou ( MA ; MB ) • Angles inscrits Pour tout point M (distinct de A et B ) d’un cercle de centre O passant par A et B, on a : ( OA ; OB ) = 2 ( MA ; MB ) (2 ) • Repère orthonormal direct Un repère (O; i ; j ) est orthonormal lorsque : ∥i∥=∥j∥=1 et ( i ; j ) = (2 ) 2 M. Philippe 22/11/09 Page 2 / 4 III- Cosinus et sinus d’un angle orienté de deux vecteurs On munit le plan d’un repère orthonormal direct a) Définition Soit M un point du cercle trigonométrique tel que a soit une mesure en radian de l’angle orienté ( OA ; OM ) Alors le point M a pour coordonnées ( cos a ; sin a ) Propriétés élémentaires du sinus et du cosinus k∈ ℤ cos ( + 2k ) = k∈ ℤ sin ( + 2k ) = cos² + sin² = ≤ cos ≤ ≤ sin ≤ tan = pour x ≠ (2k+1) 2 k∈ℤ b) Relation entre sinus et cosinus Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes : = – sin = cos 2 sin 2 cos = sin = cos − 2 sin − 2 cos cos = sin ( + ) = cos – = sin – = M. Philippe 22/11/09 cos – = sin – = Page 3 / 4 d) Equations sin x = a et cos x = a pour a ∈ [–1 ; 1 ] Pour résoudre de telles équations, on commence par rechercher un angle tel que a=cos ou a=sin puis on applique les règles suivantes : sin x = sin ⇔ M. Philippe 22/11/09 { x= 2 k k∈ℤ x= – 2 k cos x = cos a ⇔ { x= 2 k x=– 2 k k∈ℤ Page 4 / 4