x - maths peyramale

DEVOIR MAISON no 3
TS
correction
Exercice 1
x3
x
et la fonction g définie sur R par g(x) = 2
.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2
x +1
x +1
Z 1
1. I1 =
f (x) dx.
0
f est de la forme
1 u′
avec u(x) = x2 + 1
2 u
1
Une primitive de f est F(x) = ln(x2 + 1)
2
#1
"
1
1
1
1
Donc I1 = ln(x2 + 1) = ln 2 − ln 1 = ln 2
2
2
2
2
0
"
#1
Z 1
Z 1
Z 1
Z 1
Z 1
x
x3
x + x3
x(x2 + 1)
1 2
1
2. I1 + I2 =
dx +
dx =
dx =
dx =
x dx = x
=
2
2
2
2
2 0 2
x +1
0 x +1
0 x +1
0 x +1
0
0
Donc I2 =
1 1
1
− I = − ln 2
2 1 2 2
Exercice 2
Z ln 2 −x
e
1.
dx
−x +4
e
0
e−x
e−x +4
Soit f (x) =
f est de la forme −
u′
avec u(x) = e−x +4
u
Une primitive de f est F(x) = − ln(e−x +4)
Donc
2.
Z
2
Z
ln 2
0
e−x
2
− ln 2
dx = [− ln(e−x +4)]ln
+4) − (− ln(e0 +4)) = (− ln(−1/2 + 4)) + ln 5 = − ln(7/2) + ln 5
0 = (− ln(e
e−x +4
t(t 2 + 3)4 dt
−1
Soit f (t) = t(t 2 + 3)4
1
f est de la forme u ′ u 4 avec u(t) = t 2 + 3
2
1
1 1 2
× (t + 3)5 = (t 2 + 3)5
2 5
10
#2
!
!
"
Z 2
1
1
1 2
5
2
4
=
(t + 3)
16807 −
1024 = 1578, 3
Donc
t(t + 3) dt =
10
10
10
−1
−1
Une primitive de f est F(t) =
3.
Z
2e
e
1
dx
x ln x
Soit f (x) =
1
x ln x
f est de la forme
u′
avec u(x) = ln x
u
Une primitive de f est F(x) = ln(ln x)
Donc
Z
2e
e
1
dx = [ln(ln x)]2e e = (ln(ln(2 e)) − (ln(ln(e)) = ln(ln 2 + 1) − ln(1) = ln(ln 2 + 1)
x ln x
Exercice 3
On considère la fonction f définie ]0 ; +∞[ par : f (x) = x ln x − 1.
Partie A : Étude d’une fonction
1.
a. lim x = +∞ et lim ln x = +∞ donc lim f (x) = +∞.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
b. On sait que lim x ln x = 0, donc lim f (x) = −1.
x→0
2. f ′ (x) = ln x + x ×
f ′ (x) > 0
x→0
1
= ln x + 1.
x
ln x + 1 > 0
ln x > −1
x > e−1
On a f e−1 = e−1 ln e −1 − 1 = −e −1 − 1.
On a donc le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[ suivant :
x
e−1
0
f ′ (x)
−
0
+∞
+
+∞
−1
f (x)
−e −1 − 1
i
h
3. Sur 0 ; e−1 , f (x) 6 −1 < 0 donc l’équation n’a pas de solution sur cet intervalle.
h
h
h
h
Sur l’intervalle e−1 ; +∞ , la fonction f est continue et croissante . De plus 0 ∈ − e−1 −1 ; +∞ donc il existe un réel
h
h
unique α de l’intervalle e−1 ; +∞ tel que f (α) = 0.
La calculatrice donne successivement : 1, 76 < α < 1, 77.
4. – sur ]0 ; α[ , f (x) < 0 ;
– sur ]α ; +∞[, f (x) > 0.
5. f (α) = 0 soit α ln α − 1 = 0 soit α ln α = 1 soit ln α =
1
.
α
Partie B : Calcul d’une intégrale
On donne en annexe la courbe C, représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. On considère
Z 4
l’intégrale suivante : I =
f (x) dx.
α
1. On sait que sur l’intervalle [α ; 4] la fonction f est positive, donc l’intégrale est (en unité d’aire) l’aire de la surface
hachurée limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = α et x = 4.
1
2. F(x) = x2 (2 ln x − 1)
4
F′ (x) =
1 2
1
1
1
× 2x(2 ln x − 1) + x2 ( ) = x ln x − x + x = x ln x
4
4 x
2
2
Ce qui prouve que F est une primitive de la fonction x 7→ x ln x.
3. J =
Z
4
x ln x dx =
α
"
#4
!
!
1
1
1
1 2
1
x (2 ln x − 1) = 16(2 ln 4 − 1) − α2 (2 ln α − 1) = 8 ln 4 − 4 − α2 ln α + α2
4
4
4
2
4
α
4. I =
Z
4
x ln x − 1 dx =
α
Z
4
x ln x dx −
α
Z
4
α
1
1
1 dx = J − [x]4α = J − (4 − α) = 8 ln 4 − 4 − α2 ln α + α2 − 4 + α
2
4
1
1
= 8 ln 4 − 8 − α2 ln α + α2 + α
2
4
Or d’après la partie A question 5, ln α =
1
α
1
1 1
1
1
1
1
donc I = 8 ln(22 ) − 8 − α2 × + α2 + α = 16 ln 2 − 8 − α + α2 + α = 16 ln 2 − 8 + α2 + α
2
α 4
2
4
4
2
I ≈ 4, 8 (u. a.) à 0,1 près.
y
5
C
4
3
2
1
−2
−1
O
−1
−2
1
2
3
4
5
6
x