TES. exos primitives et ln

TES
LIMITES
 2
Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f (x) = ln 1 + 
 x
avec u (x) = 1 +
f est une fonction composée de type ln u
Compléter :
2
 2
lim =
et
lim 1 +  =
x → +∞ x
x → +∞
 x
 2
lim 1 +  =
 x
x>0
or
2
.
x
lim ln X =
X →
or lim ln X =
x→0
donc lim f (x) =
x → +∞
donc lim f (x) =
X →
x→0
Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de l’intervalle de définition I
f (x) = ln ( x − 1)( 2x + 3) 
f (x) = 3 − ln x
I=]0;+∞[
f (x) = ln (1 + x )
I=]–1;+∞[
f (x) = (1 − x) ln x
I=]0;+∞[
I=] 1 ;+∞[
2
f (x) = ln ( 2x − 1)
 3 
f (x) = ln  2 
 x +1
ln x
f (x) = 2
x
1 ln x
f (x) = −
x
x
2x
f (x) =
ln x
f (x) = ln ( x + 3x )
2
f (x) = ( x − 4 ) ln ( 3 − x )
f (x) =
1
ln x
 3
f (x) = ln 1 + 
 x
ln x
f (x) = 3
x
1 + ln x
f (x) =
x
2+x
f (x) =
ln x
I = IR
I=]0;+∞[
I=]0;+∞[
I=]1;+∞[
I = ] 1; + ∞ [
I=]0;+∞[
I=]–∞;3[
I = ] 1; + ∞ [
I=]–∞;–3[
I=]0;+∞[
I=]0;+∞[
I=]0;1[
DERIVEES
 4

Soit f la fonction définie sur  − ; +∞  par f (x) = ln ( 2x − 3)
 3

f est une fonction composée de type ln u
avec u (x) = 2x − 3
 4

d’après le théorème sur les fonctions composées, la fonction ln u est dérivable sur  − ; +∞ 
 3

1
u '(x)
et f '(x) = ln' [u (x)] × u '(x) d’où f '(x) =
× u '(x) =
.
u (x)
u (x)
ainsi dans le cas présent
u’(x) =
et
f ’(x) =
Calculer les dérivées des fonctions définies précédemment
1
PRIMITIVES
3
3

Soit f la fonction définie sur  ; +∞  par f (x) =
. Si on note u (x) = 2x − 3 alors u’(x) = 2
2x − 3
2

3 u '(x)
3

f (x) = ×
.
pour tout x de l’intervalle  ; +∞  , 2x – 3 > 0
et on peut écrire
2 u (x)
2

et la fonction f est la dérivée de la fonction x ֏
la fonction F définie par F(x) =
est une primitive de f .
1. Donner une primitive F de la fonction f définie sur l’intervalle I
2
2
f (x) =
f (x) =
I=]0;+∞[
x
2x + 3
3
2x + 1
f (x) =
f (x) = 2
I=]2;+∞[
x−2
x + x +1
x
6
f (x) =
f (x) =
I = IR
2
1+ x
3x + 1
3
I =  − ; +∞ 
 2

I = IR
1
I =  − ; +∞ 
 3

2. Calculer la primitive F de la fonction f définie sur I et vérifiant la condition donnée.
2x + 1
2
f (x) = 2
I = IR F(0) = ln3 f (x) =
I =] –∞ ; 3 [ F(2) = 1
x + x +3
3− x
x +1
3
1
f (x) = 2
f (x) =
−
I = IR F(0) = 0
I = ] 2 ;5 [ F(3) = 0
x + 2x + 3
x −2 5− x
3. On donne des fonctions f définies sur un intervalle I ,
pour chaque fonction indiquer une formule à utiliser pour calculer une primitive,
puis donner une primitive F.
1
2
2x
f (x) =
−
f (x) = 2
I = IR
I=]–3;+∞[
x + 3 ( x + 3)2
x +1
f (x) =
(x
2x
2
+ 1)
2
1
f (x) = 2 ( ln x ) ×  
x
I = IR
f (x) =
I=]0;+∞[
f (x) =
x ln ( x 2 + 1)
I = IR
x2 +1
(x
2x
2
+ 1) ln ( x 2 + 1) 
2
I = IR
4. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’intervalle I = ] – 4 ; 2 [
telle que g (x) = ( x + 4 ) ln ( x + 4 ) + ( 2 − x ) ln ( 2 − x ) . On note g’ la dérivée de g ,
 x+4
calculer g’(x). En déduire la primitive F de la fonction f définie sur I par f (x) = ln 

 2−x 
et telle que F(1) = ln(125)
2