TD 01 - Révisions d`électrocinétique

TD 01
Révisions d’électrocinétique
3. Charge d’un condensateur
On considère le circuit ci-contre. À t = 0, on
met le circuit sous tension par l’intermédiaire du
générateur antérieurement éteint.
⋆ Dipôles et circuits du premier ordre
1. Loi des nœuds en terme de potentiel
En partant de la loi des nœuds et de la loi d’Ohm, exprimer le potentiel VD du
noeud D en fonction des potentiels VA , VB , VC des nœuds respectifs A, B et C.
R
i
r
1. Déterminer i(0+ ) et i(∞) par des considérations simples.
R1
u
C
2. Déterminer i(t).
E
3. Calculer la constante de temps τ pour C =
10 µF, R1 = 6 kΩ, r = 100 Ω et R = 4 kΩ.
La comparer à la valeur qu’elle aurait si R1
était infinie et r nulle.
⋆ Oscillateurs amortis
2. Point de fonctionnement d’un circuit à diode Zener
4. Décrément logarithmique
Un générateur idéal de tension de f.é.m. E > 0 et branché en série avec une
résistance R et une diode Zener D dont la caractéristique courant tension I(U )
est donnée dans la figure ci-dessous (à droite).
On étudie la réponse u(t) à
un échelon de tension e(t)
dans le circuit ci-contre.
L
R1
e
R2 C
u
1. Déterminer la valeur u(∞) vers laquelle tend u(t) lorsque la valeur de e(t) est
E, en dessinant un schéma équivalent en régime permanent.
2. Démontrer que
d2 u(t)
du
+ ω02 u(t) = ω02 u(∞).
+ 2λ
2
dt
dt
1. Déterminer le point de fonctionnement du montage, c’est-à-dire l’intensité du
courant et la tension aux bornes de la diode.
2. Même question si on retourne la diode.
TD 01 Révisions d’électrocinétique
On exprimera λ et ω0 en fonction de L, R1 , R2 et C.
3. Définir et tracer un échelon de tension. Expliquer comment on le réalise expérimentalement.
4. On observe sur un oscilloscope la courbe u(t) suivante.
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1
(c) Donner l’expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales.
(a) Déterminer la valeur numérique
de la pseudo-période T .
2. En fait, il existe des frottements entre le mobile et la tige. On modélise ce
~ = −µ~v , où µ est une constante
frottement visqueux linéaire par une force F
positive et ~v la vitesse du mobile.
(b) Déterminer la valeur numérique
du décrément logarithmique défini par
u(t) − u(∞)
1
.
δ = ln
n
u − t + nT ) − u(∞)
(a) Établir l’équation différentielle dont x(t) est la solution. On posera h =
µ
.
m
√
(b) Montrer que lorsque µ < 23/2 km, le mouvement est oscillatoire amorti.
5. Exprimer la forme mathématique de u(t) en fonction de λ, ω0 , u(∞) et t. On
ne cherchera pas à déterminer les constantes d’intégration.
Donner l’expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales, et
exprimer la pseudo-période en fonction de ω0 et h.
6. Déterminer la relation entre δ, λ et T . En déduire la valeur numérique de λ.
Relier λ au facteur de qualité Q.
3. Tracer l’allure des deux trajectoires de phase suivies par cet oscillateur, dans
le plan de phase défini par (x, ẋ), en l’absence de frottement, puis en présence
de frottement.
7. Sachant que R1 = 200 Ω, R2 = 5 kΩ, L = 100 mH, déterminer la valeur
numérique de C.
⋆ Régime sinusoïdal forcé
5. Oscillateur à deux ressorts
6. Dipôles équivalents
Un mobile supposé ponctuel de masse m est astreint à glisser le long d’une tige
horizontale de direction (Ox). Ce mobile est relié par deux ressorts linéaires à
deux points fixes A et B.
On se place en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω et on considère les deux
dipôles ci-dessous.
L′
L
R
R′
Les deux ressorts sont identiques : même constante de raideur k et même longueur
au repos ℓ0 . Dans la position d’équilibre du système, les longueurs des ressorts
sont identiques et valent ℓeq , et le mobile se trouve à l’origine O de l’axe (Ox).
On se place dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen. À t = 0, le
mobile est abandonné sans vitesse initiale de la position x0 6= 0.
1. Quelles doivent être les expressions de L′ et R′ (en fonction de R, L et ω)
pour que les deux dipôles soient équivalents ?
L′
L
= ′?
2. Pour quelle pulsation a-t-on
R
R
1. Dans un premier temps, on néglige tout frottement.
7. Équilibrage d’un pont
(a) Établir l’équation différentielle dont x(t) est solution.
(b) Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique dont on précisera la pulsation ω0 et la période T0 en fonction de k et m.
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Soit le circuit de la figure suivante, connecté à une source libre de tension sinusoïdale :
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VC − VD = e = Em cos ωt.
2
M
Pour déterminer les caractéristiques d’une bobine réelle, modélisée par l’association série d’une bobine idéale d’inductance L et d’un résistor de résistance r, on
place celle-ci dans une structure en pont, alimentée par une tension sinusoïdale.
M
k
k
h
h
C
R1
O
R
V
O
bobine inconnue
r
z(t)
L
au repos
R2
z0 (t)
en mouvement
1. Établir l’équation différentielle en z(t) du mouvement de la masse, lorsque le
véhicule se déplace à vitesse constante v.
e(t)
2. Déterminer l’amplitude du mouvement d’oscillation vertical du véhicule en
régime permanent.
1. Exprimer la tension complexe uAB qui s’applique aux bornes du voltmètre.
2. La capacité C du condensateur et la résistance R sont ajustables. On choisit
leurs valeurs de manière à annuler la tension lue par le voltmètre (on dit alors
que le pont est équilibré). Déterminer l’expression de l’inductance L et de la
résistance r en fonction de R, C, R1 et R2 .
8. Oscillations forcées d’un véhicule sur une route ondulée
Un véhicule automobile est sommairement modélisé par une masse m placée en
M et reposant sur une roue de centre O, par l’intermédiaire d’un ressort de
raideur k mis en parallèle sur un amortisseur de coefficient de frottement h. En
toutes circonstances, l’axe OM reste vertical.
On se propose d’examiner le comportement du véhicule lorsqu’il a la vitesse v sur
une route dont le profil impose au centre O de la roue une élongation zO (t) =
a cos 2π λx par rapport à sa position d’équilibre. On repère le mouvement de
la masse m par l’élongation z(t) par rapport à sa position d’équilibre quand le
véhicule est au repos.
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À quelle allure faut-il rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que
possible ?
⋆ Filtres
9. Filtre à retard de phase
On considère le filtre ci-contre. La tension d’entrée′
R
est sinusoïdale, de pulsation ω. On posera α =
R
et x = RCω.
R′
R
1. Faire une analyse qualitative de ce filtre pour les
hautes et basses fréquences.
us
2. Déterminer sa fonction de transfert H = .
ue
ue
us
C
3. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce
filtre.
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3
5. Calculer l’expression littérale de la sortie s1 (t), observée sur l’oscilloscope en
régime permanent.
10. Filtre de Hartley
On réalise le montage décrit sur la figure suivante :
6. On étudie maintenant la sortie s2 (t) associée au signal créneau e2 (t), de
√
période T2 = 6π 2LC, d’amplitude E2,0 = 1 V , représenté sur la figure
suivante :
1. Établir sa fonction de transfert H(jω) sous la forme H(jω) =
jω
ω0
H0
. On exprimera H0 , ω0 et Q en fonction de R, L, et
ω2
ω
−
1 + 2j
Qω0 ω02
C.
2. Dans le cas où R = 10, 0 kΩ, L = 1, 0 mH et C = 100, 0 nF , le diagramme
de Bode en amplitude a l’allure présentée sur la figure suivante :
On donne sa décomposition en série de Fourier :
4E2,0
sin[(2n + 1)ω2 t]
sin(3ω2 t) sin(5ω2 t)
e2 (t) =
+
+ ··· +
+ ...
sin(ω2 t) +
π
3
5
2n + 1
Calculer la valeur efficace E2,ef f de e2 (t).
7. Tracer l’allure du spectre de e2 (t). Préciser numériquement les pulsations des
3 premières harmoniques.
8. Calculer numériquement les amplitudes des 3 premières harmoniques du signal
de sortie s2 .
Justifier alors le nom de "tripleur de fréquence" donné au montage.
Identifier les pentes des asymptotes, les valeurs de α et β. En déduire l’allure
du diagramme de Bode en phase.
3. Le montage peut-il servir d’intégrateur, ou de dérivateur ? Si oui, dans quelle
bande de fréquence ?
4. On étudie la sortie s1 (t) associée à l’entrée e1 (t) = E0 + E1 cos(ω1 t), où
1
ω1 = √
.
2LC
Comment réaliser expérimentalement ce signal en TP ?
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Comportement intégrateur à THF et dérivateur à TBF.
Éléments de réponse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
VA VB
VC
+
+
R
R2
R3
VD = 1
.
1
1
1
+
+
R1 R2 R3 E − U1
si E > U1 et (U = E, I = I0 ) si E < U1 .
U = U1 , I =
R
t
ER1
i(t) =
e− τ ; τ = 41 ms
r(R + R1 ) + RR1
R2
(1) u(∞) =
E.
R1 + R2 1
R2
R1 du R1 + R2
R1 + R2
d2 u
+
+
u=
e .
(2) 2 +
dt
R2 C
L dt
R2 LC
R2 LC
R1 + R2
(3) T = 620 µs ; δ = 1, 4 = λT ; λ = 2, 2.103 s−1 ;
1
C=
= 100 nF .
R2 (2λ − RL1 )
r
r
2k
m
2k
; T0 = 2π
; x(t) = x0 cos ω0 t.
(1) ẍ + x = 0 ; ω0 =
m
m
2k
(2) ẍ + hẋ + ω02 x = 0 ; régime pseudo-périodique si h < 2ω0 ;
h
ht
sin Ωt .
cos Ωt +
x(t) = x0 exp −
2
2Ω
R 2 + L2 ω 2
R 2 + L2 ω 2
R
R′ =
et L′ =
;ω=
2
Lω
L R
r + jLω
(1 + jRCω)R1
uAB =
−
e.
r + R2 + jLω (1 + jRCω)R1 + R
R1 R2
L = R1 R2 C.
r=
R
z̈ + 2αż + ω02 z = a(ω02 cos ωt − 2αω sin ωt).
L’harmonique de rang 3 domine les autres dans le signal de sortie (amplitude
bien supérieure aux autres).
Il faut rouler à grande vitesse pour que les amplitudes des oscillations soient
faibles.
1 + jx
9. H =
1 + j(1 + α)x
L
j ω
R
.
10. H(jω) =
L
2
1 + 2j ω + 2LC(jω)
R
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