Asie 2004 Exercice 3. Énergies d’un système solide-ressort (correction) I.a). Dans le référentiel rail (référentiel terrestre supposé galiléen) le mobile G est soumis à trois forces : - Son poids P (direction verticale, sens vers le bas et appliqué en G) - La force de rappel du ressort F (direction horizontale, sens de G vers O et appliquée en G) - La réaction normale de la tige R (direction verticale, sens vers le haut et appliquée en G) I.b) R m G i F P Figure 1 O P R F m.a 0 i + 0 i – k.x i = m.ax. i dv x soit – k.x = m. dt d ²x donc m. + k.x = 0 dt ² d ²x k L'équation différentielle du mouvement est + .x = 0 dt ² m k .t I. 3. x = xM . cos m k k dx sin t En dérivant il vient : = – xM m dt m k k d 2x x . .cos t En dérivant une seconde fois : = M m m dt 2 2 k d x Calculons alors la somme 2 + x , m dt 2 k k k k k d x t + .t + x = xM . .cos . xM . cos 2 m m m m m dt 2 k d x + x =0 2 m dt k .t est bien solution de l’équation différentielle. Donc l'expression x = xM . cos m dx I. 4. À t = 0 s on a x(0) = x0 = +2,0 cm et v(0) = = 0. dt k v(0)= xM sin(0 ) 0 d’où sin = 0 donc = 0 (à n près où n est un entier) m on prendra = 0 D'autre part x(0) = x0 = xM cos(0+ ) d’où xM = x0 cos(0)= x0 = 2,0 cm I. 2. Appliquons la seconde loi de Newton au mobile : Dans le repère proposé, il vient I. 5. T0 = 2 m 0,250 = 2 = 0,99 s k 10 II. 1. Par lecture graphique sur la figure 2, on obtient une pseudo-période T voisine de 1s. On peut donc considérer que la pseudo-période T est égale à la période propre T0 du système. Figure 2 –3 x (10 m) 20 2T 15 10 5 t1 0 t (s) t2 1,2 -5 2 4 6 8 0 1,8 4 6 -10 -15 II. 2. Ec = ½ m.v² et EP = ½ k.x² Or à t = 0 s, x = x0 = xM et v = 0, donc l’énergie cinétique est nulle et l’énergie potentielle est maximale. La courbe (A) correspond à l’énergie potentielle élastique et la courbe (B) à l’énergie cinétique. II. 3. L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps à cause des forces de frottements qui sont responsables de dissipation d'énergie sous forme de chaleur. dx II. 4. vx = , et v = dt 2 v x v y de plus vy =0 donc v = 2 2 dx dt . dx est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de x(t). dt À la date t2 cette tangente est horizontale, donc dx =0 = v(t2) la vitesse est nulle. dt A la date t1, la tangente à la courbe est très décroissante, dx < 0 et est minimale. dt 2 Donc la vitesse, v = dx dt est maximale. II. 5. On a f .v , donc f = µ.v. La valeur de la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, elle sera nulle à la date t2 et maximale à la date t1. II. 6. Quand la valeur de la force de frottement est nulle (date t2 par exemple), l’énergie mécanique se conserve, on a donc un pallier. Ensuite la valeur de la force de frottement augmente donc l’énergie mécanique diminue.