Etude cinématique Mouvement rectiligne sinusoïdale I ) INTRODUCTION L’exemple étudié est celui d’un pendule élastique Verticale constitué d’un ressort à spires non jointives de raideur K dont l’une des extrémités est fixe et l’autre est liée à un solide (S) se déplaçant, en mouvement rectiligne sans frottement ,donc il s’agit d’un mouvement oscillatoire autour d’une position d’équilibre. II : Etude d’un oscillateur 1) Courbe et interprétation On a des oscillations périodiques ( de période T0 ) sinusoïdale puisqu'il s’agit d’un mouvement rectiligne sinusoïdale la loi horaire du mouvement s’écrit x ( t ) = Xm sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 ) Xm ( m ) : Amplitude ou élongation maximale des oscillations - ωO ( rad.s-1 ) : La pulsation propre des oscillations T0 Remarque : on peut déterminer ωO à l’aide 0 de deux formules ωO = 2𝝅N0 ( N0 c’est la fréquence propre en Hz ) 𝟐𝝅 ωO = 𝑻 ( T0 c’est la période propre ) 𝟎 - 𝝋𝑿 ( rad ) : Phase initiale de l’élongation x 2) Etude cinématique On a x ( t ) = Xm sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 ) , donc on a les résultats suivants : 𝒅𝒙 1- Soit V la vitesse du mobile V = 𝒅𝒕 = Xm ω0.sin (ω0.t + 𝝋𝑿 + 𝝅 𝟐 ) On a alors : - La vitesse maximale Vm = Xm. ω0 𝜋 - La phase initiale de la vitesse 𝜑𝑉 = 𝜑𝑋 + 2 𝒅𝟐 𝒙 2- Soit a l’accélération du mobile a = 𝒅𝒕𝟐 = Xm ω02.sin (ω0.t + 𝝋𝑿 + 𝝅) On a alors : - L’accélération maximale am = Xm. ω02 - La phase initiale de la vitesse 𝝋𝒂 = 𝝋𝑿 + 𝝅 3) Etude graphique : x( t ) ; V( t ) ; a( t ) 𝝋 𝑽 - 𝝋𝑿 = 𝝅 𝟐 donc on dit que v( t ) et x( t ) sont en quadrature de phase : Si x = 0 on a V= ∓ Vm et si V = 0 on a x = ∓ Xm 𝝋𝒂 - 𝝋𝑿 = 𝝅 donc on dit que a( t ) et x( t ) sont en opposition de phase : Si x = 0 on a a = 0 , si x = Xm on a a = -am et si x = -Xm on a a = am 4) Relation entre x( t ) et a( t ) On a x( t ) = Xm sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 ) et a( t ) = am sin ( ωO.t + 𝝋𝒂 ) or 𝝋𝒂 = 𝝋𝑿 + 𝝅 et am = Xm. ω02 donc on aura : a( t ) = Xm. ω02 sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 + 𝝅 ) = - Xm. ω02 sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 ) = -x. ω02 𝒅𝟐 𝒙 Donc : a = -x. ω02 = 𝒅𝒕𝟐 d’où on peut écrire : 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐 + x. ω02 = 0 C’est l’équation du mouvement Courbe a ( m.s-2 ) La pente de cette courbe est 𝜶 = - ωO2 0 X( m )