cosinus -objet -sous -vraie on

Limites et continuité en deux mots
Rappel. On dira que f converge vers l lorsque x tend vers a, que l’on notera par lim f (x) = l si pour tout
( )
x!a
voisinage Vl de l, il existe un voisinage U de a tel que f U ! Vl , en d’autres termes, si ,
*
a
*
a
!" > 0 #$ > 0 t.q. si 0< x % a < $ alors f (x) % l < " .
Par ailleurs, si f est bien définie en a et que lim f (x) = f (a) alors on dira que f est continue en a.
x!a
Une fonction f est dite continue sur ! si f est continue en tout point a !! .
Propriétés élémentaires de la limite et de la continuité.
Lemme.
a) Si f admet une limite en a alors cette dernière est unique.
b) Si f est continue en a alors f est localement bornée en a.
c) Si f est continue en a et f (a) ! 0 alors il existe un vge U a de a tel que f (U a ) ! {0} = "
(c’est-à-dire f ne s’annule en aucun point du voisinage U a de a).
Preuve.
a) Par l’absurde. Supposons l1 = lim f (x) < l2 = lim f (x) . Posons l2 ! l1 = " > 0 ,
x!a
x!a
"
" &
"
" &
#
#
V1 = %l1 ! ; l1 + ( , V2 = %l2 ! ; l2 + ( , U1* le vge épointé de a tel que f (U1* ) ! V1 , U 2* le vge
2
2 '
2
2 '
$
$
*
épointé de a tel que f (U 2 ) ! V2 , et enfin U * = U1* !U 2* voisinage épointé de a. Si x !U * alors
! = l2 " l1 = l2 " f (x) + f (x) " l1 # l2 " f (x) + f (x) " l1 <
! !
+ =!.
2 2
b) Par définition de la continuité en a, si ! = 1 alors il existe un voisinage U a de a tel que tout x !U a
est à une distance maximale de 1 du point f (a) . Ainsi, f (U a ) ! ] f (a) " 1; f (a) + 1[ .
c) Par définition de la continuité en a, en prenant ! = f (a) ÷ 2 il existe un voisinage U a de a tel que
f (U a ) ! ] f (a) " # ; f (a) + # [ , dont l’intersection de cette dernière avec l’axe des abscisses est donc vide.
Théorème. Si f et g sont des fonctions continues en a alors
les fonctions f + g , f ! g , f ! g et f ÷ g sont continues en a (à condition d’être bien définie).
Preuves pour f + g et f ! g
1) A prouver lim( f + g)(x) = f (a) + g(a) . Soit un ! > 0 donné. Considérons :
x!a
( f + g)(x) ! ( f + g)(a) = f (x) ! f (a) + g(x) ! g(a) " f (x) ! f (a) + g(x) ! g(a)
(*)
Par hypothèse, il existe un voisinage U1 de a tel que le terme f (x) ! f (a) < " / 2 .
De même, il existe un voisinage U 2 de a tel que le terme g(x) ! g(a) < " / 2 .
Si l’on pose U = U1 !U 2 alors on aura (*) < ! .
2) A prouver lim( f " g)(x) = f (a)" g(a) . Soit un ! > 0 donné. Considérons :
x!a
( f ! g)(x) " ( f ! g)(a) = f (x)g(x) " f (x)g(a) + f (x)g(a) " f (a)g(a) # f (x) g(x) " g(a) + g(a) f (x) " f (a)
Par le lemme f et g sont bornés au voisinage de a et donc < N. De plus, par la continuité en a il existe un
voisinage U1 tel que f (x) ! f (a) < " / (2N ) et un voisinage U 2 tel que g(x) ! g(a) < " / (2N ) .
Si l’on pose U = U1 !U 2 alors la ‘grande inégalité ci-dessus’ vérifiera la condition d’être < ! .
Corollaire. Comme les fonctions Id : x ! x et Cnte : x ! c sont continues alors
- toute fonction polynomiale est continue sur tout !
- toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Au vu de la définition géométrique des fonctions sinus et cosinus on admettra que ces dernières sont
continues sur tout ! , et donc que la fonction tangente l’est aussi sur ! \ {k! } où k !! .
Etude de sin(x)/x lorsque x tend vers 0
Nous prenons appui sur les définitions géométriques du sin, du cos et de la tangente.
Rappel. 1) Pour un angle x mesuré en radians que l’on va supposer compris entre 0 < x < ! / 2 les
projections orthogonales sur l’axe des abscisses et des ordonnées définissent le cos(x) et le sin(x). La tan(x)
n’est autre que la 2e coordonnée de T (c’est-à-dire de l’intersection entre la droite perpendiculaire à l’axe
des abscisses passant par I avec la demi-droite issue de O passant par l’extrémité de l’arc circulaire de
longueur x (le point A)). Par le théorème de Thalès l’on déduit que tan(x) = sin(x)/cos(x) et par le théorème
de Pythagore l’on a sin 2 (x) + cos2 (x) = 1 .
2) Comme l’aire du disque unité est π alors pour des raisons de proportionnalité l’aire du secteur circulaire
OIA (dont l’arc mesure x radians) est x/2.
3) La fonction f (x) = sin(x) / x définie sur !* est le quotient de deux fonctions impaires (c’est-à-dire pour
lesquelles g(!x) = !g(x) ). D’où la fonction f est paire !
Nous allons démontrer que la fonction f (non définie en 0) peut être prolongée par continuité en une f
continue sur tout ! en posant f (x) = f (x) si x ! 0 et f (0) = 1 .
Théorème. lim
x!0+
sin(x)
= 1 d’où comme f est paire alors la limite est la même à gauche.
x
Preuve. Méthode générale : comparer l’aire du triangle OIA avec celle du secteur OIA avec enfin celle du
triangle OIT. Pour des raisons géométriques (chacune des figures est incluse dans la « suivante » on a alors
aire(!OIA) < aire(!OIA) < aire(!OIT ) "
Multiplions chacune des expressions par
0 < a < b alors
1 1
> > 0 . D’où :
a b
1>
1
1
1
sin(x)
#1#sin(x) < # x < #1#
2
2
2 cos(x)
2
, puis prenons leur inverse (rappel si
sin(x)
sin(x)
> cos(x) . Si l’on fait tendre x vers 0+ l’on obtient (par le
x
théorème du « sandwich ») le résultat désiré (puisque cos est continue).