Fonctions de plusieurs variables

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
(Outils Mathématiques 4)
Bernard Le Stum
Université de Rennes 1
Version du 13 mars 2009
Table des matières
1 Fonctions partielles, courbes de niveau
1
2 Limites et continuité
5
3 Différentiabilité
8
4 Fonctions implicites
19
5 Développements limités
21
1
Fonctions partielles, courbes de niveau
Exemple 1.1
i) Volume d’un cylindre.
[DESSIN]
Une fois fixées des unités (mètre et mètre cube par exemple), lorsque le rayon
r et la longueur h d’un cylindre varient dans R>0 , le volume V = πr2 h du
cylindre varie dans R>0 . On dit V est fonction des deux variables r et h. On
dispose donc d’une fonction réelle
R2
(r, h) /R
/
V (r, h) = πr2 h
de deux variables réelles. Cette fonction est définie sur son domaine
D := {(r, h) ∈ R2 ,
1
r, h > 0}
2
B04 – Version du March 13, 2009
et son image est R>0 . Choisissons deux valeurs r0 et h0 . Si on fixe le rayon
r = r0 , alors on peut considérer la fonction partielle
R
h
/
/
R
V (r0 , h) = (πr02 ) × h
(qui est linéaire).
[DESSIN]
De même, si on fixe la longueur h = h0 , on peut considérer l’autre fonction
partielle
/R
R
/ V (r, h ) = (πh ) × r 2
r
0
0
(qui est cette fois quadratique).
[DESSIN]
Lorsqu’on donne différentes valeurs Vi à V , on obtient ce qu’on appelle les
courbes de niveau d’équations πr2 h = Vi :
[DESSIN]
Enfin, le graphe de V est la surface de R3 d’équation V = πr2 h, c’est à dire
l’ensemble des points de la forme (r, h, πr2 h) avec r, h > 0.
[DESSIN]
ii) Température en un point d’une pièce à un moment donné.
[DESSIN]
Dans une pièce de longueur L, largeur l et hauteur h, on peut mesurer pendant
une période donnée (disons, une heure) la température en un point donné à un
moment donné. Si on fixe des unités (mètre et seconde par exemple), le coin
en bas à gauche comme origine de la pièce et le moment de la première mesure
comme origine du temps, la température T est fonction des coordonnées x, y, z
du point et du moment t ou la température est prise. En d’autres termes, T
est fonction de x, y, z, t. On a définit donc une fonction réelle
R4
(x, y, z, t) /
T
R
/ T (x, y, z, t)
de quatre variables réelles. Quel est le domaine de définition de cette fonction ?
Définition 1.2 On rappelle que R2 désigne l’ensemble de tous les couples (x, y)
avec x ∈ R et y ∈ R. Une partie de R2 est un ensemble de couples de réels.
Exemple 1.3
i) Le quadrant droit du plan.
[DESSIN]
3
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Il peut être décrit comme
Q = {(x, y) ∈ R2 ,
x, y ≥ 0}
ou encore comme Q = R>0 × R>0 .
ii) Le cercle unité.
[DESSIN]
Il peut être décrit comme
C = {(x, y) ∈ R2 ,
x2 + y 2 = 1}
(en compréhension : condition) mais aussi comme l’ensemble
C = {(cos θ, sin θ),
θ ∈ R}
(en extension : paramétrisation).
Définition 1.4 Une fonction réelle de deux variables réelles est une méthode qui
associe à certains couples de réels (x, y), un autre réel f (x, y). On écrit
R2
(x, y) f
/
R
/ f (x, y)
Son domaine de définition est la partie Df de R2 formée des couples (x, y) pour
lesquels f (x, y) existe. L’image (du domaine) de f est l’ensemble de toutes les valeurs
que f (x, y) peut prendre.
xy − 5
Exemple 1.5 La fonction f (x, y) = √
est définie lorsque le point de coor2 y − x2
données (x, y) est situé au dessus de la parabole y > x2 .
[DESSIN]
On peut montrer que son image est R tout entier.
Définition 1.6 Étant donne une fonction f : R2 → R et un point (a, b) de R2 , les
fonctions partielles sont les fonctions d’une variable réelle obtenue en fixant y = b,
R
x
ou en fixant x = a,
R
y
/
/ fx (x, b)
/
/ fy (a, y)
R
= f (x, b)
R
= f (a, y).
4
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Définition 1.7 (Généralisation) On désigne par Rn l’ensemble de tous les nuples (x1 , . . . , xn ) avec x1 , . . . , xn ∈ R. Alternativement, on verra les éléments de
Rn comme des vecteurs u = (x1 , . . . , xn ) ou des points P = (x1 , . . . , xn ). La cor−→
respondance étant donnée par u = OP . Une partie de Rn est tout simplement un
ensemble de n-uples de réels.
Une fonction réelle de n variables réelles est une méthode qui associe à certains
n-uples (x1 , . . . , xn ), un autre réel f (x1 , . . . , xn ). On écrit
Rn
(x1 , . . . , xn ) f
/
/
R
f (x1 , . . . , xn )
Son domaine de définition est la partie Df de Rn formée des points P pour lesquels
f (P ) existe. L’image (du domaine) de f est l’ensemble de toutes les valeurs que
f (P ) peut prendre.
Enfin, les fonctions partielles en un point (a1 , . . . , an ) sont les fonctions d’une variable réelle obtenue en faisant varier seulement xi :
Rn
x
f
/
R
= f (a1 , . . . , ai−1 , x, ai+1 , . . . an )
/ fx (a1 , . . . , ai−1 , x, ai+1 , . . . an )
i
xyez
es définie lorsque le point
x2 + y 2 + z 2 − 1
de coordonnées (x, y, z)est situé en dehors de la sphère unité x2 + y 2 + z 2 ≤ 1. On
peut voir que son image est encore R tout entier.
Exemple 1.8 La fonction f (x, y) = √
Définition 1.9 Le graphe d’une fonction f : R2 → R est la « surface » G(f ) ⊂ R3
formée de tous les triplets de la forme (x, y, f (x, y)) avec (x, y) ∈ Df .
xy − 5
Exemple 1.10 Par exemple, si f (x, y) = √
, alors
2 y − x2
xy − 5
G(f ) = {(x, y, √
),
2 y − x2
y > x2 }.
Définition 1.11 (Généralisation) Le graphe d’une fonction f : Rn → R est
G(f ) = {(P, f (P )),
P ∈ Df } ⊂ Rn+1 .
Définition 1.12 Les courbes de niveau d’une fonction f : R2 → R sont les courbes
planes d’étquation f (x, y) = k avec k fixé.
Une courbe de niveau d’une fonction f est donc la même chose qu’une courbe de
niveau de son graphe G(f ).
Exemple 1.13 La fonction f (x, y) = y 2 − x2 .
5
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[DESSIN]
Définition 1.14 Les courbes de niveau d’une surface S dans R3 sont les courbes
obtenues en coupant S avec un plan d’équation z = k et en projetant sur le plan
xOy.
[DESSIN]
Proposition 1.15 Une courbe de niveau d’une fonction f est la même chose qu’une
courbe de niveau de son graphe G(f ).
[Démonstration]
Définition 1.16 Si f est une pression, on dit courbe isobare. Si f est une température, on dit courbe isotherme. Si f est un potentiel, on dit courbe equipotentielle
Si f est une altitude, on dit courbe isoplèthe. etc.
2
Limites et continuité
Définition 2.1 Soit f : R2 → R une fonction réelle de deux variables réelles, (a, b)
un point de R2 et l ∈ R. Alors, f (x, y) a pour limite l quand (x, y) tend vers (a, b)
si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un disque ouvert D contenant
(a, b) tel que l’image de D \ (a, b) par f est contenu dans I.
[DESSIN]
Autrement dit,
q
∀ > 0, ∃η > 0, ∀(x, y) 6= (a, b), (x − a)2 + (y − b)2 ≤ η ⇒ |f (x, y) − l| ≤ On écrira
lim f (x, y) = l
(a,b)
ou
lim
(x,y)→(a,b)
f = l.
Définition 2.2 Les coordonnées polaires de (x, y) en (a, b) sont données par
(
avec ρ =
q
x = a + ρ cos θ
y = b + ρ sin θ
(x − a)2 + (y − b)2 et θ ∈ [0, 2π[.
Proposition 2.3 (Méthode des majorations) On a lim f (x, y) = l si et seule(a,b)
ment si il existe F : R≥0 → R tel que |f (x, y) − l| ≤ F (ρ) et limρ→0 F (ρ) = 0.
6
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[Démonstration]
x2 y 2
Exemple 2.4 On a lim 2
= 0 : en effet,
(0,0) x + y 2
x2 y 2
ρ2
ρ2
2
sin
2θ
≤
→0
=
x2 + y 2
4
4
quand ρ → 0.
Proposition 2.5 (Méthode des chemins) S’il existe deux « chemins continus »
α, β : R → R2 tels que α(0) = β(0) = (a, b) et lim0 (f ◦ α) 6= lim0 (f ◦ β), alors f n’a
pas de limite en (a, b).
[Démonstration]
x2 y 2
n’a pas de limite en (0, 0) : il suffit de choisir α(t) = (t, 0)
x4 + y 4
et β(t) = (t, t). On trouve d’un coté 0 et de l’autre 21 .
Exemple 2.6
Définition 2.7 Une fonction f : R2 → R est continue en (a, b) ∈ R2 si f (a, b) =
lim f (x, y). La fonction f est continue si f est continue en tout point de Df .
(a,b)
Exemple 2.8
i) La fonction
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =  x2 + y 2

0
sinon



est continue en (0, 0).
ii) la fonction
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
4 + y4
f (x, y) =
x


0
sinon



n’est pas continue en (0, 0).
Proposition 2.9 Soit f : R2 → R une fonction continue (sur son domaine) et
(a, b) 6∈ Df . Alors l = lim f (x, y) existe si et seulement si f se prolonge par continuité
(a,b)
en (a, b) et on a alors f (a, b) = l.
[Démonstration]
Exemple 2.10 Soit f : R2 → R une fonction réelle de deux variables réelles.
x2 y 2
se prolonge par continuité sur R2 en posant f (0, 0) = 0.
i) f (x, y) = 2
x + y2
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ii) f (x, y) =
x2 y 2
ne peut pas se prolonger par continuité.
x4 + y 4
Proposition 2.11 Si f et g sont continues en (a, b), alors f + g, f g et
f
aussi (si
g
g(a, b) 6= 0 dans le dernier cas).
[Démonstration]
Corollaire 2.12 Toute fonction rationnelle est continue (sur son domaine de définition).
Exemple 2.13
x2 y 2
x2 y 2
et
sont bien continues sur leur domaine.
x2 + y 2
x2 + y 4
Proposition 2.14
i) Si α : R → R2 est continue en t et f est continue en
(a, b) = α(t), alors f ◦ α est continue en t.
ii) Si f est continue en (a, b) et h : R → R est continue en f (a, b), alors h ◦ f
est continue en (a, b).
[Démonstration]
Exemple 2.15 On sait que la fonction
f (x, y) =
x2 y 2
x2 + y 2
se prolonge par continuité sur R2 en posant f (0, 0) = 0 et la fonction sin est continue
sur R. Il suit que la fonction
x2 y 2
g(x, y) = sin( 2
)
x + y2
« est » continue sur R2 .
Définition 2.16 (Généralisation) Soit f : Rn → R une fonction de n variables
réelles, P0 ∈ Rn et l ∈ R. Alors, f (P ) a pour limite l quand P tend vers P0 si pour
tout intervalle ouvert I contenant l, il existe une boule ouverte B contenant P0 tel
que l’image de B \ P0 par f est contenu dans I.
On écrira
lim f (P ) = l
P0
ou
lim f = l.
P →P0
q
Si u = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , la norme de u est kuk = x21 + · · · + x2n . Si P =
(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn et Q = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , la distance de P à Q est
q
−→
d(P, Q) = kP Qk = (y1 − x1 )2 + · · · + (yn − xn )2 .
8
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On voit alors que lim f = l si et seulement si
P →P0
∀ > 0, ∃η > 0, ∀P 6= P0 , d(P0 , P ) ≤ η ⇒ |f (x, y) − l| < .
La fonction f est continue en P0 si f (P0 ) = l.
Proposition 2.17 Ces notions sont stables par somme, produit et quotient.
Définition 2.18 (Généralisation) Une fonction vectorielle f : Rm → Rn est une
méthode qui associe à certains vecteurs (ou points) de Rm , un vecteur (ou point)
de Rn . Si on écrit f (P ) = (f1 (P ), . . . , fn (P )), on dit que les fonctions vectorielles
f1 , . . . , fn : Rm → R sont les composantes de f .
Exemple 2.19 L’application qui à un point du cercle associe son vecteur tangent
orienté normalisé est une fonction vectorielle.
[DESSIN]
C’est tout simplement l’application (x, y) 7→ (−y, x) restreinte au cercle unité. Ses
composantes sont les fonctions (x, y) 7→ −y et (x, y) 7→ x.
Définition 2.20 Une fonction vectorielle est continue (en un point) si et seulement
si toutes ses composantes sont continues (en ce point).
Exemple 2.21 f (x, y) = (xy, (x2 + y 2 )exy , x sin(x + y 3 )) est continue partout.
Proposition 2.22 f est continue en P0 si et seulement si
∀ > 0, ∃η > 0, ∀P ∈ Df , d(P0 , P ) ≤ η ⇒ d(f (P0 ), f (P )) < .
[Démonstration]
Proposition 2.23 (Généralisation) La continuité est stable par composition.
3
Différentiabilité
Définition 3.1 Si f : R2 → R, les dérivées partielles de f en (a, b) ∈ R2 sont les
dérivées des fonctions partielles (si elles existent) :
∂f
f (a + h, b) − f (a, b)
(a, b) := fx0 (a, b) = lim
h→0
∂x
h
et
∂f
f (a, b + h) − f (a, b)
(a, b) := fy0 (a, b) = lim
.
h→0
∂x
h
Le gradient de f en (a, b) est alors le vecteur
∇f (a, b) = (
∂f
∂f
(a, b),
(a, b))
∂x
∂y
9
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Exemple 3.2 Si
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =  x2 + y 2

0
sinon



(0, 0) = fx0 (0, 0) = 0. Symétriquement,
on a fx (x, 0) = f (x, 0) = 0 et donc ∂f
∂x
∂f
(0, 0) = 0 et on a donc ∇f (0, 0) = (0, 0).
∂y
x2
x2 +1
(1, 1). On a fx (x, 1) = f (x, 1) =
Calculons ∂f
∂x
∂f
si bien que ∂x (1, 1) = fx0 (1, 1) = 4−2
= 21 .
4
et donc fx0 (x, 1) =
2x(x2 +1)−2x(x2 )
(x2 +1)2
En général, on écrira aussi
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
∂f
(x, y) = lim
∆x→0
∂x
∆x
si bien que ∇f = (
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∂f
(x, y) = lim
.
∆y→0
∂y
∆y
et
∂f ∂f
,
).
∂x ∂y
Exemple 3.3 Calculons ∇f lorsque
i)

x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
2 + y2
f (x, y) =
x


0
sinon


On a déjà vu que ∇f (0, 0) = (0, 0).
Pour calculer ∂f
, on considère y comme constant et on dérive par rapport à
∂x
x. Pour (x, y) 6= (0, 0), on a donc
2x(x2 y 2 ) − 2xy 2 (x2 + y 2 )
−2xy 4
∂f
(x, y) =
=
∂x
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
et par symétrie, on aura donc
∇f (x, y) = (
−2xy 4
−2x4 y
,
).
(x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
ii)
f (x, y) =


x2

xy
si (x, y) 6= (0, 0)
+ y2
0
sinon
On voit facilement que
(
∇f (x, y) =
2
2
2
2
−y ) x(y −x )
( y(x
,
) si (x, y) 6= (0, 0)
(x2 +y 2 )2 (x2 +y 2 )2
(0, 0)
sinon
Pour le second cas, c’est clair et pour le premier cas, il suffit par symétrie de
calculer
∂f
2x(xy) − y(x2 + y 2 )
y(x2 − y 2 )
(x, y) =
=
.
∂x
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
On voit donc que ∇f existe tout le temps mais pourtant, f n’est pas continue
en 0 !
10
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Définition 3.4 Étant donné une fonction f : R2 → R, un point P := (a, b) et un
vecteur v = (α, β), la dérivée de direction v en P de f est la dérivée en P de la
fonction directionnelle t 7→ f (a + tα, b + tβ) :
f (a + tα, b + tβ) − f (a, b)
.
t→0
t
0
f(α,β)
(a, b) = lim
0
.
On a en particulier fx0 = f(1,0) et fy0 = f(0,1)
Exemple 3.5 La fonction de direction (1, 1) en (0, 0) associée à
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =  x2 + y 2

0
sinon



2
est t 7→ t2 et sa dérivée est donc la fonction identique t 7→ t. On voit donc que
0
f(1,1)
(0, 0) = 0.
Définition 3.6 Le produit scalaire de deux vecteurs de (α, β) et (h, k) de R2 est
(α, β) · (h, k) = αh + βk.
Définition 3.7 Une fonction f := R2 → R est différentiable en (a, b) si elle admet
des dérivées partielles en (a, b) et qu’en plus,
lim
f (x, y) − f (a, b) −
(x,y)→(a,b)
∂f
(a, b)(x −
∂x
√
h2 + k 2
a) −
∂f
(a, b)(y
∂y
− b)
= 0.
La fonction f est différentiable si f est différentiable en tout point de Df .
Exemple 3.8 La fonction
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =  x2 + y 2

0
sinon



est différentiable en (0, 0) :
En effet, on a
(x, y) =
=
f (x, y) − f (0, 0) − ∇f (0, 0) · (x, y)
√ 2
x + y2
x2 y 2
x2 y 2
x2
x2
√
√
√
≤
=
≤
= |x|
|x|
(x2 + y 2 ) x2 + y 2
y 2 x2 + y 2
x2 + y 2
et bien sûr, |x| → 0 quand ρ → 0 (car |x| < ρ).
11
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Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs de (α, β) et (h, k) de R2 est
(α, β) · (h, k) = αh + βk.
Si on pose ∆P = (x − a, y − b) et ∆f (P ) = f (x, y) − f (a, b), la condition de
différentiabilité en (x, y) se réécrit :
∆f (P ) = ∇f (P0 ) · ∆P + o(∆P ).
Théorème 3.9 Si f : R2 → R est différentiable en (a, b), alors f est continue en
(a, b).
[Démonstration]
Définition 3.10 Une fonction f : R2 → R est de classe C 1 si ses dérivées partielles
existent et sont continues (sur son domaine de définition).
Exemple 3.11 Avec
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2


0
sinon



on calcule pour (x, y) 6= (0, 0),
|
∂
2xy 4
2xy 4
∂
(x, y) −
(0, 0)| = | 2
−
0|
≤
|
| = 2|x| → 0.
∂x
∂x
(x + y 2 )2
y4
∂
On voit dont que ∂x
est continue et il en va de même de
fonction est donc de classe C 1 .
∂
∂y
par symétrie. Notre
Théorème 3.12 Si f est de classe C 1 , alors f est différentiable.
[Démonstration]
x3 y
prolongée par 0 à l’origine est
x4 + y 2
continue, possède des dérivées partielles mais n’est pas différentiable (et donc
pas de classe C 1 ). On vérifiera ça plus tard.
xy 3
ii) La fonction f (x, y) = 4
prolongée par 0 à l’origine est de classe C 1
x + y2
(exercice). Elle est donc différenciable et en particulier continue.
Exemple 3.13
i) La fonction f (x, y) =
Proposition 3.14 Si f : R2 → R et g : R2 → R sont différentiables en
(a, b), alors
f + g est différentiable en (a, b) et on a

∂(f +g)

(a, b)


∂x
=
∂f
(a, b)
∂x
+
∂g
(a, b)
∂x


 ∂(f +g) (a, b)
=
∂f
(a, b)
∂y
+
∂g
(a, b)
∂y
∂y
12
B04 – Version du March 13, 2009
Figure 1 – Surface pincée z =
Figure 2 – Surface lisse z =
x3 y
x4 +y 2
xy 3
x4 +y 2
13
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ii)
i) f g est différentiable en (a, b) et

∂(f g)


 ∂x (a, b)
∂g
= g(a, b) ∂f
(a, b) + f (a, b) ∂x
(a, b)
∂x


 ∂(f g) (a, b)
∂g
= g(a, b) ∂f
(a, b) + f (a, b) ∂y
(a, b)
∂y
∂y
iii) Si g(a, b) 6= 0, alors
f
g
est différentiable en (a, b) et

∂( fg )



 ∂x (a, b)

f


 ∂( g )
∂y
=
1
(a, b)
[g(a, b) ∂f
g(a,b)2
∂x
∂g
− f (a, b) ∂x
(a, b)]
(a, b) =
1
[g(a, b) ∂f
(a, b)
g(a,b)2
∂y
∂g
− f (a, b) ∂y
(a, b)]
[Démonstration]
Corollaire 3.15 Si f et g sont de classe C 1 alors f + g, f g et
f
aussi.
g
Corollaire 3.16 Une fonction rationnelle est de classe C 1 .
Proposition 3.17 Supposons que f : R2 → R est différentiable en (a, b) ∈ R2 .
i) Si h : R → R est dérivable en f (a, b), alors h ◦ f est dérivable en (a, b) et
∇(h ◦ f ) = h0 (f (a, b))∇f (a, b),
c’est à dire
∂f
∂(h ◦ f )
(a, b) = h0 (f (a, b)) (a, b)
∂x
∂x
et
∂(h ◦ f )
∂f
(a, b) = h0 (f (a, b)) (a, b)
∂y
∂y
ii) Si γ : R → R2 est dérivable en t0 (ses composantes γ1 et γ2 sont dérivables)
et γ(t0 ) = (a, b), alors f ◦ γ est dérivable en t0 et
(f ◦ γ)0 (t0 ) = ∇f (a, b) · (γ10 (t0 ), γ20 (t0 )),
c’est à dire,
(f ◦ γ)0 (t0 ) =
∂f
∂f
(a, b)γ10 (t0 ) +
(a, b)γ20 (t0 ))
∂x
∂y
[Démonstration]
Exemple 3.18
i) On sait que la fonction
f (x, y) =
x2 y 2
x2 + y 2
se prolonge en une fonction C 1 sur R2 et que son gradient est nul en 0. Il suit
que la fonction
x2 y 2
g(x, y) = sin( 2
)
x + y2
« est » est C 1 sur R2 et que son gradient aussi est nul en 0.
14
B04 – Version du March 13, 2009
x3 y
prolongée par 0 à l’origine n’est pas différenx4 + y 2
tiable : en effet, si on pose α(t) = (t, t2 ), on a
ii) La fonction f (x, y) =
(f ◦ α)(t) =
t3 t2
t
=
t4 + t4
2
qui est aussi valide pour t = 0 si bien que (f ◦ α)0 (t) = 21 . Or on a
∇f (0, 0) · (α10 (0), α20 (0)) = (0, 0) · (0, 0) = 0.
Proposition 3.19 Si f : R2 → R est différentiable en (a, b), alors toutes les dérivées directionnelles existent en (a, b) et on
0
f(α,β)
(a, b) = ∇f (a, b) · (α, β)
On résume en fv0 = ∇f · v. Il suit que fv0 est maximal dans la direction de ∇f (pour
kvk fixé).
[Démonstration]
Exemple 3.20 Avec
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =  x2 + y 2

0
sinon



0
comme d’habitude, on retrouve bien f(1,1)
(0, 0) = (0, 0) · (1, 1) = 0.
Définition 3.21 (Généralisation) Soit f : Rn → R une fonction réelle de n
variables réelles.
i) Les dérivées partielles de f en P0 := (a1 , . . . , an ) ∈ Rn sont les dérivées des
fonctions partielles (si elles existent) :
∂f
(P0 ) := fx0 i (P0 )
∂xi
Le gradient de f en P est alors le vecteur
∇f (P ) = (
∂f
∂f
(P0 ), . . . ,
(P0 )) ∈ Rn
∂x1
∂xn
ii) Étant donné un vecteur v ∈ Rn , la dérivée de de direction v en P de f est la
dérivée en P de la fonction directionnelle t 7→ f (P + tv)
iii) La fonction f est différentiable en P si elle admet des dérivées partielles en
P et qu’en plus,
∆f (P ) = ∇f (P0 ) · ∆P + o(∆P ).
15
B04 – Version du March 13, 2009
iv) La fonction f : R2 → R est de classe C 1 si ses dérivées partielles existent et
sont continues.
Théorème 3.22 (Généralisation) Si f : Rn → R est de classe C 1 , alors f est
différentiable. Et si f est différentiable, alors f est continue.
Théorème 3.23 (Généralisation) Si f : Rn → R et g : Rn → R sont différentiables en P0 , alors
i) f + g est différentiable en P0 et
∇(f + g)(P0 ) = ∇f (P0 ) + ∇g(P0 ),
ii) f g est différentiable en P0 et
∇(f g)(P0 ) = g(P0 )∇f (P0 ) + f (P0 )∇g(P0 )
iii) Si g(P0 ) 6= 0, alors
f
g
et
est différentiable en (P0 ) et
f
1
(g(P0 )∇f (P0 ) − f (P0 )∇g(P0 ))
∇( )(P0 ) =
g
g(P0 )2
[Démonstration]
Définition 3.24 (Généralisation) Une fonction vectorielle de plusieurs variables
réelles f : Rm → Rn est différentiable (en un point P de Rm ) ou de classe C 1 si
toutes ses composantes f1 , . . . , fn les sont. La jacobienne de f en P est la matrice




∇f1 (P )
∂f1 /∂x1 (P ) . . . ∂f1 /∂xm (P )




.
..
..
=
.
..
Jf (P ) = 
.
.




∇fn (P )
∂fn /∂x1 (P ) . . . ∂fn /∂xm (P )
Exemple 3.25
i) Si f (x, y) = (x2 + y 2 , x2 − y 2 , xy) et P = (2, −1), alors


2x
2y


Jf =  2x −2y 
y
x


4 −2

2 
et Jf (P ) =  4
.
−1
2
ii) La fonction (r, θ) 7→ (x, y) avec x = r cos θ et y = r sin θ a pour jacobienne
"
cos θ
sin θ
r sin θ −r cos θ
#
.
Théorème 3.26 (Généralisation) Si f : Rm → Rn est différentiable en P ∈ Rm
et g : Rn → Rp est différentiable en f (P ), alors g ◦ f est différentiable en P et on a
Jg◦f (P ) = Jg (f (P )) · Jf (P ).
Et de même pour C 1 .
16
B04 – Version du March 13, 2009
Corollaire 3.27 Si f : Rm → Rn et g : Rn → Rp sont C 1 , alors g ◦ f aussi.
Exemple 3.28 (Changement de variable)
i) Si u et v dépendent de x et y,
on peut voir une fonction f de u et v comme fonction de x et y et (sous réserve
d’existence), on aura







∂f ∂u ∂f ∂v
∂f
=
+
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x






∂f ∂u ∂f ∂v
∂f
=
+
∂y
∂u ∂y
∂v ∂y
.
En effet, dire que u et v dépendent de x et y signifie qu’il existe une fonction
vectorielle
/ R2
ϕ : R2
/ (u, v)
(x, y) Et dire qu’on voit f comme fonction de x et y signifie qu’on regarde la fonction
composée f ◦ ϕ. On a alors Jf ◦φ (x, y) = Jf (u, v) · Jφ (x, y). On réécrit ça en
h
∂f
∂x
∂f
∂y
i
=
h
∂f
∂u
∂f
∂v
i
" ∂u
∂x
∂v
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
#
ii) Comme cas particulier, on peut regarder les coordonnées polaires
(
x = a + r cos θ
y = b + r sin θ







∂f
∂f
∂f
=
cos θ +
sin θ
∂r
∂x
∂y






∂f
∂f
∂f
=r
sin θ − r
cos θ
∂θ
∂x
∂y
.
iii) Comme application, on peut voir que fv0 =
vecteur de norme 1 et d’angle θ, on a
fv0 (a, b) = ∇f (a, b) · (cos θ, sin θ) =
∂f
.
∂r
Plus précisément, si v est le
∂f
∂f
∂f
(a, b) cos θ +
(a, b) sin θ =
(a, b).
∂x
∂y
∂r
Définition 3.29 Une courbe C dans Rn est l’image d’un chemin α : R → Rn . Si
α est dérivable en t et α(t) = P , la droite dirigée par α0 (t) est dite tangente à C en
P.
Exemple 3.30 Le cercle est l’image du chemin α : t → (cos t, sin t). Sa dérivée est
α0 : t → (sin t, − cos t). On a α( π2 ) = (0, 1) et α0 ( π2 ) = (−1, 0). Il y a donc une
tangente horizontale en (0, 1).
[DESSIN]
17
B04 – Version du March 13, 2009
Définition 3.31 Le plan tangent à une surface S ⊂ R3 en un point P ∈ S est
l’ensemble de toutes les tangentes aux courbes tracées sur S passant par P .
Attention : ce n’est pas toujours un plan (considérer l’origine d’un cône par exemple).
Proposition 3.32 Soit F : R3 → R différentiable et
S := {(x, y, z) ∈ R3 ,
F (x, y, z) = 0}.
Soit P := (a, b, c) ∈ S avec ∇F (P ) 6= 0. Alors, le plan tangent à S en P a pour
équation
∂F
∂F
∂F
(P )(x − a) +
(P )(y − b) +
(P )(z − c) = 0.
∂x
∂y
∂z
[Démonstration]
Exemple 3.33
i) Le plan tangent un point, par exemple P = (1, 0, 0) de la
sphère unité x2 + y 2 + z 2 = 1. On a donc F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 si bien
que
∂F
∂F
∂F
= 2x,
= 2y et
= 2z
∂x
∂y
∂z
et alors
∂F
∂F
∂F
(P ) = 2,
(P ) = 0 et
(P ) = 0.
∂x
∂y
∂z
Le plan tangent à donc pour équation 2(x − 1) + 0y + 0z = 0, c’est à dire x = 1.
[DESSIN]
ii) Il n’y a pas de plan tangent à l’origine P = (0, 0, 0) du cône d’équation x2 +y 2 =
z 2 car ∇F (0, 0, 0) = (0, 0, 0).
[DESSIN]
Corollaire 3.34 Soit S le graphe d’une fonction différentiable f : R2 → R et
P = (a, b) ∈ R2 . Le plan tangent à (a, b, f (a, b)) a pour équation
z = f (a, b) +
∂f
∂f
(P )(x − a) +
(P )(y − b).
∂x
∂y
Exemple 3.35 Pour f (x, y) = x2 + y 2 et P = (0, 0), le graphe est un bol posé sur
le plan tangent qui n’est autre que le plan xOy.
Définition 3.36 Une fonction f : R2 → R est de classe C 2 si les dérivées partielles
(existent et) sont de classe C 1 . En général, on note
0
fxx
=
0
fxy
=
∂ 2f
∂ ∂f
:=
( ),
2
∂x
∂x ∂x
∂ 2f
∂ ∂f
:=
( )
∂x∂y
∂x ∂y
0
fyx
=
∂ 2f
∂ ∂f
:=
( )
∂y∂x
∂y ∂x
0
et fyy
=
∂ 2f
∂ ∂f
:=
( ).
2
∂y
∂y ∂y
18
B04 – Version du March 13, 2009
Exemple 3.37
xy 3
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =  x2 + y 2

0
sinon



On a
et
∂f
(x, y)
∂x
y 3 (x2 + y 2 ) − 2x2 y 3
y 3 (y 2 − x2 )
∂f
=
(x, y) =
∂x
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
= 0. On voit donc que
∂f
y5
(0, y) = 2 2 = y
∂x
(y )
et il suit donc que
∂ 2f
(0, 0) = 1.
∂y∂x
D’autre part, on a
∂f
3xy 2 (x2 + y 2 ) − 2xy 4
xy 2 (3x2 + y 2 )
(x, y) =
=
∂y
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
et bien sûr
∂f
(x, y)
∂y
= 0. On voit donc que
∂f
(0, x) = 0
∂y
et il suit donc que
∂ 2f
∂ 2f
(0, 0) = 0 6=
(0, 0).
∂x∂y
∂y∂x
Théorème 3.38 (de Schwartz) Si f : R2 → R est C 2 , alors
∂ 2f
∂ 2f
=
.
∂x∂y
∂y∂x
[Démonstration]
Exemple 3.39 La fonction
xy 3
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =  x2 + y 2

0
sinon



n’est pas de classe C 2 .
Définition 3.40 (Généralisation)
i) Une fonction f : R2 → R est de classe
k
C si toutes les dérivées partielles jusqu’à l’ordre k existent et sont continues.
Grâce au théorème de Schwartz, il suffit de considérer les
∂ i+j f
,
∂xi ∂y j
i + j ≤ k.
19
B04 – Version du March 13, 2009
ii) Une fonction f : Rn → R est de classe C k si toutes les dérivées partielles
∂ i1 +···+in f
,
∂xi11 · · · ∂xinn
i1 + · · · in ≤ k.
existent et sont continues.
iii) Une fonction vectorielle f : Rm → Rn est de classe C k si toutes ses composantes le sont.
Théorème 3.41 (Généralisation) Être de classe C k est stable par somme, produit, quotient et composition.
[Démonstration]
4
Fonctions implicites
Définition 4.1
i) Un voisinage d’un réel a est une partie V de R qui contient
un intervale (ouvert) I contenant x.
ii) Un voisinage V de (a, b) ∈ R2 est une partie V ⊂ R2 qui contient un disque
(ouvert) contenant P .
iii) Un voisinage V d’un point P de Rn est une partie qui contient une boule
(ouverte) contenant P .
[DESSIN]
Exemple 4.2
i) ] − 1, 1[ est un voisinage de 0 dans R. Mais pas [0, 1].
[DESSIN]
ii) V := {(x, y), 0 ≤ x, y ≤ 1} est un voisinage de (1/2, 1/2) dans R2 .
[DESSIN]
iii) R \ {(x, 0), x > 0} n’est pas un voisinage de (0, 0) dans R2 .
[DESSIN]
Définition 4.3 Soit F : R2 → R et (a, b) ∈ R2 tel que F (a, b) = 0. On dit que
l’équation F (x, y) = 0 définit y comme fonction implicite de x au voisinage de (a, b)
s’il existe ϕ : R → R telle que ϕ(a) = b et
y = ϕ(x) ⇔ F (x, y) = 0
au voisinage de (a, b). On verra alors y comme fonction de x au voisinage de a avec
y(a) = b (c’est à dire qu’on écrira y au lieu de ϕ).
20
B04 – Version du March 13, 2009
Exemple 4.4
i) L’équation x = y 2√définit y comme fonction implicite de x au
voisinage de (1, 1) : prendre y = x. Mais ça définit aussi
√ y comme fonction
implicite de x au voisinage de (1, −1) : prendre y = − x.
[DESSIN]
ii) xy = 0 ne définit pas y comme fonction implicite de x au voisinage de (0, 0).
Théorème 4.5 Si F : R2 → R est C 1 au voisinage de (a, b) et (∂F/∂y)(a, b) 6= 0,
alors F (x, y) = 0 définit y comme fonction implicite de x au voisinage de (a, b) et
on a
(∂F/∂x)(a, b)
.
y 0 (a) = −
(∂F/∂y)(a, b)
[Démonstration]
Exemple 4.6 Si F (x, y) = x − y 2 , on a (∂F/∂x) = 1 et (∂F/∂y) = −2y si bien
que (∂F/∂y)(1, 1) = −2 6= 0. On voit donc que y est fonction implicite de x avec
1
= 12 . Ici,
y(1) = 1. De plus, comme (∂F/∂x)(1, 1) = 1 et on aura y 0 (1) = − −2
√
comme on sait que y = x, on peut le vérifier en remarquant que y 0 = 2√1 x .
Définition 4.7 (Généralisation) Soit F : R3 → R et P0 = (a, b, c) ∈ R3 tel que
F (P0 ) = 0. On dit que l’équation F (x, y, z) = 0 définit z comme fonction implicite
de x et de y au voisinage de P0 s’il existe ϕ : R2 → R telle que ϕ(a, b) = c et
z = ϕ(x, y) ⇔ F (x, y, z) = 0
au voisinage de P0 . On verra alors z comme fonction de (x, y) au voisinage de (a, b)
avec z(a, b) = c.
Exemple 4.8 L’équation x2 + y 2 + z 2 = 1 définit
fonction implicite de
√ z 2comme
2
x, y au voisinage de (0, 0, 1) : on a en fait z = 1 − x − y .
Théorème 4.9 (Généralisation) Si F : R3 → R est C 1 au voisinage de P0 :=
(a, b, c) et (∂F/∂z)(P0 ) 6= 0, alors F (x, y, z) = 0 définit z comme fonction implicite
de x et y au voisinage de P0 et on a
(∂F/∂x)(P0 )
∂z
(a, b) = −
∂x
(∂F/∂z)(P0 )
et
∂z
(∂F/∂y)(P0 )
(a, b) = −
.
∂y
(∂F/∂z)(P0 )
Exemple 4.10 L’équation
2
z 3 + 2z + ez−x−y = cos(x − y + z)
définit z comme fonction implicite de x, y à l’origine. On pose
2
F (x, y, z) = z 3 + 2z + ez−x−y − cos(x − y + z)
21
B04 – Version du March 13, 2009
et on vérifie que F (0, 0, 0) = 0. Puis on calcule
2
∂F/∂x = −ez−x−y + sin(x − y + z),
,
2
∂F/∂y = −2yez−x−y − sin(x − y + z)
2
et ∂F/∂z = z 2 + 2 + ez−x−y + sin(x − y + z).
On en déduit que
(∂F/∂x)(0, 0, 0) = −1, (∂F/∂y)(0, 0, 0) = 0
et
(∂F/∂z)(0, 0, 0) = 3
et on voit en particulier que (∂F/∂z)(0, 0, 0) 6= 0 et on aura
∂z
1
(0, 0) =
∂x
3
et
∂z
(0, 0) = 0.
∂y
La même chose en pratique, on vérifie d’abord que l’origine satisfait bien l’équation :
0 + 0 + 1 = cos 0. Puis on fait x = y = 0 et on dérive les deux membres par rapport
à z pour trouver 3z 2 + 2 + ez et − sin(z) puis on fait z = 0, ce qui donne 3 6= 0.
Pour calculer la valeur de la dérivée partielle de z par rapport à x, on fait y = 0 et
on dérive par rapport à x, ce qui donne en (x, 0),
3z 2
∂z
∂z
∂z
∂z
+2
+(
− 1)ez−x = −(1 +
) sin(x + z)
∂x
∂x
∂x
∂x
∂z
∂z
∂z
puis on fait x = z = 0, ce qui donne 2 ∂x
(0, 0)+( ∂x
(0, 0)−1) = 0 et donc ∂x
(0, 0) = 31 .
On fait ensuite la même chose pour la dérivée partielle de z par rapport à Y . On
fait x = 0 et on dérive par rapport à y, ce qui donne en (0, y),
3z 2
∂z
∂z
∂z
∂z
2
+2
+(
− 2y)ez−y = −(1 −
) sin(x + z)
∂y
∂y
∂y
∂y
∂z
puis on fait y = z = 0, ce qui donne 2 ∂y
(0, 0) +
5
∂z
(0, 0)
∂y
= 0 et donc
∂z
(0, 0)
∂y
= 0.
Développements limités
Remarque 5.1 Si g : R → R est continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[, il existe
θ ∈]0, 1[ telle que g(1) = g(0) + g 0 (θ).
[DESSIN]
Théorème 5.2 (des accroissements finis) Si f : R2 → R est différentiable sur
−−→
le segment [P0 , P ], et ∆P := P0 P comme d’habitude, il existe P1 ∈]P0 , P [ tel que
f (P ) = f (P0 ) + ∇f (P1 ) · ∆P.
En d’autres termes, si P0 = (a, b) et P = (x, y), on a
f (x, y) = f (a, b)+
avec θ ∈]0, 1[.
∂f
∂f
(a+θ(x−a), b+θ(y−b))·(x−a)+ (a+θ(x−a), b+θ(y−b))·(y−b)
∂x
∂y
22
B04 – Version du March 13, 2009
[Démonstration]
Définition 5.3 Si f : R2 → R est de classe C 2 , le Hessien de f en P = (a, b) est
la matrice
 2

∂ f
∂2f
(a,
b)
(a,
b)
2
∂x∂y
.
Hf (P ) :=  ∂∂x2 f
∂2f
(a,
b)
(a,
b)
∂x∂y
∂y 2
On le verra comme une application de R2 dans R en associant à un vecteur v =
(α, β) ∈ R2 , le réel
v · Hf (P ) · v :=
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
2
(P
)αβ
+
(a,
b)α
+
2
(P )β 2 .
∂x2
∂x∂y
∂y 2
Exemple 5.4 Si f (x, y) = (x2 + y 2 )ex−y , on peut calculer ∇f et Hf partout. On a
∇f = (2x + x2 + y 2 )ex−y , (2y − x2 − y 2 )ex−y
si bien que

Hf := 

(2 + 4x + x2 + y 2 )ex−y
(2y − 2x − x2 − y 2 )ex−y
(2y − 2x − x2 − y 2 )ex−y
(2 − 4y + x2 + y 2 )ex−y


.
En particulier
"
∇f (0, 0) = (0, 0)
et Hf (0, 0) =
2 0
0 2
#
correspond à la forme quadratique correspondante est (x, y) 7→ 2x2 + 2y 2 .
Proposition 5.5 (de Taylor-Lagrange) Si f : R2 → R est de classe C 2 il existe
P1 ∈]P0 , P [ tel que
1
f (P ) = f (P0 ) + ∇f (P ) · ∆P + (∆P · Hf (P1 ) · ∆P ).
2
En d’autres termes, si P0 = (a, b) et P = (x, y), on a
f (x, y) = f (a, b) +
+
∂f
∂f
(a, b)(x − a)) +
(a, b)(x − b))
∂x
∂y
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
2
(P
)(x
−
a)
+
2
(P
)(x
−
a)(y
−
b)
+
(P1 )(x − b)2
1
1
2
2
∂x
∂x∂y
∂y
avec P1 = (a + θ(x − a), b + θ(x − b)) et θ ∈]0, 1[.
[Démonstration]
B04 – Version du March 13, 2009
23
Remarque 5.6 On retrouve en particulier la définition de la différentiabilité en P :
f (P ) = f (P0 ) + ∇f (P ) · ∆P + k∆P k(P ).
avec (P ) → 0 quand P → P0 . En effet, si on pose M = kHf (P1 )k en prenant le
sup des normes des entrées de la matrice, on a
k
1
(∆P
2
· Hf (P1 ) · ∆P )
k ≤ M k∆P k → 0.
k∆P k
Théorème 5.7 (Généralisation) Si f : R2 → R est de classe C k avec k ≥ 3,
alors
1
f (P ) = f (P0 ) + ∇f (P ) · ∆P + (∆P · Hf (P ) · ∆P ) + · · ·
2
Corollaire 5.8 Si f : R2 → R est de classe C 3 avec k ≥ 3, alors
1
f (P ) = f (P0 ) + ∇f (P ) · ∆P + (∆P · Hf (P ) · ∆P ) + k∆P k2 (P )
2
avec (P ) → 0 quand P → P0 .
Exemple 5.9 Avec Si f (x, y) = (x2 + y 2 )ex−y , on trouve donc
1
f (x, y) = 0 + 0x + 0y + (2x2 + y 2 ) + (x2 + y 2 )(x, y)
2