Développements limités - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016
Exercices sur les développements limités
Apprendre à manier les DL
Exercice 1 (Des exemples)
1. On note f : x 7→ (x − 2)2 + (x − 2)3 ln x. Justifier que f admet un développement limité au voisinage de
2 à tout ordre, puis expliciter ce DL aux ordres 1, 2, 3 et 4.
2. La fonction ln admet-elle un DL1 en 0 ?
3. La fonction racine carrée admet-elle un DLn (0) pour n ∈ N ?
4. Déterminer le DL3 en
π
3
de la fonction cos.
5. Déterminer le DL3 en 1 de ln(1 + x) par deux méthodes différentes.
Exercice 2 (Opérations sur les DL) Déterminer les DL suivants au voisinage de 0 :
√
2. (1 + cos x) sh(x2 ) à l’ordre 6.
3. tan x à l’ordre 4.
1. 2 + 3x à l’ordre 3.
√
√
4. 1 + sin x à l’ordre 3.
5. 1 + cos x à l’ordre 4.
6. esin x à l’ordre 3.
7. ln(cos(2x) à l’ordre 6.
10. ch 2x sh x à l’ordre 5.
8. ecos x à l’ordre 4.
11.
e
cos x
x
9.
à l’ordre 4.
12.
ln(1+x)
à l’ordre
1+x
x
sh x à l’ordre 5.
3.
Exercice 3 Déterminer le DL7 (0) de la fonction F définie par
Z x
2
e−t dt.
F (x) =
1
Exercice 4 Déterminer le DL3 (0) de th (on pourra exprimer th′ (x) à l’aide de th2 (x)).
Exercice 5 (Un DL implicite) Soit f une fonction de classe C 2 sur R vérifiant la relation
x(f (x) − 2) + ef (x)−1 − 1 = 0.
1. Justifier que f admet un DL2 en 0 puis déterminer ce DL.
2. En déduire l’allure de la courbe de f au voisinage de 0.
Exercice 6 (Un serpent pour contredire) On note f la fonction définie sur [0, +∞[ par f (x) = x2 sin x1
pour x 6= 0 et f (0) = 0.
1. Montrer que f est dérivable sur [0, +∞[.
2. Soit x > 0, calculer f ′ (x), puis montrer que la limite en 0 de f ′ n’existe pas. La fonction f est-elle de
classe C 1 ?
3. Pour quels entiers n, la fonction f possède-t-elle un DLn en 0 ?
Utilisation des DL
Exercice 7 (Prolongement) On considère la fonction f : x 7→
1 − cos x
.
tan2 x
1. Donner l’ensemble de définition de la fonction f puis un ensemble sur lequel il suffit d’éudier f .
2. Donner un équivalent de f en 0. En déduire que f peut être prolongée par continuité en 0.
3. Donner un DL3 en 0 de la fonction f .
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4. En déduire que la fonction f ainsi prolongée est dérivable sur [0, π2 [. Préciser l’allure locale de la courbe
au voisinage de 0.
5. Pour cette question, vous pouvez utiliser la calculatrice. La fonction f peut-elle être prolongée en une
fonction continue ou dérivable sur [0, π2 ] ? sur [0, π] ?
Exercice 8 (Prolongement bis) Démontrer que la fonction x 7→
de classe C 1 sur [0, π2 ].
1
1
−
peut être prolongée en une fonction
x sin x
Exercice 9 (Étude d’une fonction) Soit f la fonction définie par f (x) =
1 ex − 1
ln
.
x
x
1. Démontrer que pour x au voisinage de 0, on a
f (x) =
1
x
x3
+
−
+ o(x3 ).
2 24 2880
2. En déduire que f se prolonge par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0. Préciser la
position de la tangente.
3. Déterminer l’ensemble de définition de f , puis exprimer f (−x) en fonction de f (x). Que peut-on en déduire
pour la courbe représentative de f ?
4. Étudier les variations et les limites de f , puis tracer sa courbe représentative.
Exercice 10 Étudier la fonction f : x 7→
sin x
au voisinage de 0.
arcsin x
Exercice 11 (Branches infinies) Étudier les branches infinies des fonctions
r
1
x−1
x
et g : x 7→ x
.
f : x 7→ (x + 1)e
x+1
Exercice 12 (Tangentes) Déterminer l’équation et la position de la tangente au point d’abscisse x0 .
1. f (x) =
ln x
avec x0 = 1.
x
2. f (x) =
1
avec x0 = 0.
1 + ex
Exercice 13 (Encore cette suite) On considère la suite u définie par un =
1
1+
n
n
.
1. Déterminer la limite l de cette suite.
2. Démontrer que
−e
1
+ o( ).
2n
n
La convergence est-elle rapide ? Comparer avec d’autres suites qui convergent vers l.
un − l =
Exercice 14 (Recherche d’équivalents) Donner un équivalent simple de :
1.
x cos x − sin x
au voisinage de 0.
ln(1 + x)
1
1
2. (n + 1) n − n n au voisinage de +∞.
Exercice 15 (Se ramener à 0 à tout prix) Déterminer un équivalent au voisinage de +∞ de
f (x) = x(
π
3x2
.
− arctan x) −
2
1 + 3x2
Exercice 16 (Raccord de solutions d’ED) Résoudre sur R l’équation différentielle
(ex − 1)y ′ (x) + ex y(x) = cos x.
On pourra étudier la fonction
f : x 7→
sin x + a
.
ex − 1