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La Couche limite
LA COUCHE LIMITE
Exercice 1 :
Une plaque plane de 3 cm de longueur, et de 30 cm de long est remorquée parallèlement à
elle-même dans le sens de sa longueur dans l’eau à la vitesse de 6 m/s.
Déterminer la force de frottement s’exerçant sur l’une des faces de la plaque, et la force
s’exerçant sur les trois premiers mètres de la plaque ?
On donne ν = 10 −6 m 2 / s.
Solution :
6.30
= 1,8.108
−6
ν
10
Le coefficient de frottement moyen est :
Nous avons : ℜ L =
U .L
=
Pour ℜ > 10 7 on admet que pour une plaque plane lisse parallèle à U de longueur L :
Cx = 0,455. (log10 ℜ L ) −2,58
0,455
= 1,965.10 −3
231,8
Et nous avons l’air d’une face de la plaque : S = 3.30 = 90 m2.
⇒Cx =
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2013
La force s’exerçant sur une face :
U2
= 1,965.10-3.90.1000.36/2 = 3183 N.
2
Si le nombre critique de transition correspond à ℜ = 5.10 5
La position de la ligne de transition est située à la distance x du bord d’attaque :
F = Cx. ρ .S .
U.x
6.x
⇒ x = 0,083 m.
ν
10 6
En négligeant l’influence du frottement dans la couche limite laminaire (x = 0,083 m)
5.10 5 =
=
Cx sur les 3 m de la plaque : Cx = 0,455. (log10 ℜ L ) −2,58
U .L 6.30
= −6 = 1,8.108
Avec ℜ L =
ν
10
-3
⇒ Cx = 2,74.10 .
La force de frottement sur S’ :
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Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
S’ = 3.3 = 9 m2
Fx = Cx. ρ .S .
U2
= 2,74.10-3.9.1000.36/2 = 444 N.
2
Exercice 2 :
Dans l’écoulement laminaire d’un fluide sur une plaque mince et plate, on admet que la
distribution des vitesses dans la couche limite répond à l’équation :
u
π y
= Sin( . )
2 δ
U
Avec :
U : vitesse du fluide libre (écoulement)
u : vitesse à la distance y de la paroi
δ : épaisseur de la couche limite.
1- calculer latéralement : δ x , θ x , δ lx , H , C fx , C F , etτ local x ?
2- on donne :
U = 15 m/s
L = 4.10-2 m.
ν = 10-6 m2 /s
ρ = 1,2 kg/m3.
1
2
∫ Sin xdx = 2.( x − Sinx.Cosx)
Solution :
1du
a- τ = µ
dy
δ
δ * = ∫ (1 −
0
δ
= µ .U .
u
).dy =
U
⇒δ * = δ +
b- θ =
y =0
2δ
π
δ
π
π y
.Cos ( . )
2δ
2 δ
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π
= µ .U .
y =0
2π
π y ⎤
⎡
∫ ⎢⎣1 − Sin( 2 . δ )⎥⎦.dy = δ +
0
.(Cos
π
2
− Cos 0) = δ −
2δ
π
2δ
π y
.Cos( . )
π
2 δ
δ
0
= 0,363. δ
δ
u
u
π y
π y
∫0 U (1 − U ).dy = ∫0 Sin( 2 . δ ).[1 − Sin( 2 . δ )].dy =
δ
δ
π y
2 π y
∫0 Sin( 2 . δ ).dy - ∫0 Sin ( 2 . δ ).dy
1
On a aussi : ∫ Sin 2 xdx = .( x − Sinx.Cosx)
2
1
⇒ ∫ Sin 2 udu = .(u − Sinu.Cosu )
2
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Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
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⇒θ = -
=
2δ
π
−
π
2δ ⎡
⎤ 2δ
.⎢Cos − Cos 0⎥ −
π ⎣
2
⎦ π
π y
π y ⎤δ
⎡1 π y
.⎢ .( . − Sin . .Cos . )⎥ =
2 δ
2 δ ⎦0
⎣2 2 δ
δ ⎡π
2 1
⎤ 2δ δ
.⎢( − 0) − (0 − 0)⎥ =
− = δ .( − ) = 0,137.δ
π ⎣ 2
2
π 2
⎦ π
⇒ θ = 0,137.δ
c- τ local = ρ .U 2 .
π
dθ
dδ
= ρ .U 2 .0,137.
= µ .U.
2.δ
dx
dx
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π
ν
dδ ν
d (δ 2 )
= .
⇒
= 22,931.
dx U 0,137
dx
U
ν .x
⇒ δ 2 = 22,931.
, multipliant le deuxième terme de cette équation par x/x, nous obtenons :
U
ν .x 2 22,931 2
x
=
⇒ δ 2 = 22,931.
.x ⇒ δ =
.4,789
ℜx
U .x
ℜx
⇒ τ local = 2δ .
⇒ θ = 0,137.
x
ℜx
.4,789 = 0,656.
Et δ * devient : δ * = 1,738.
d- H =
ℜx
x
ℜx
δ*
= 2,649
θ
e- Cf = 2.
f- CF =
x
dθ 0,656
=
dx
ℜx
2.θ 1,312
=
L
ℜL
Et τ local devient :
τ local = µ .U .
π
ρ .ν .U .π
=
= 0,328.ν .U . ℜ x / x
2.δ
2δ
2- application numérique :
*
ℜ L = 6.10 5 ; δ L = 0,247 mm ; δ L = 0,0897mm
θ L = 0,0338mm ; CF = 1,694.10-3 ; Cf = 8,468.10-4.
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Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
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Exercice 3 :
Un filtre à nid d’abeilles, placé en avant du collecteur d’une soufflerie, est constitué de
mailles carrées dont le coté est de 3 m, la profondeur des lamelles dans le sens de la vitesse
est de 4 cm. On suppose que chaque lamelle se comporte comme une plaque plane à la vitesse
U = 15 m/s.
Les caractéristiques de l’air sont : ρ = 1,2 kg/m3 et ν = 15.10-2 St.
a- montrer que la couche limite n’est pas en régime totalement turbulent ( ℜ eL < 5.105) ?
b- calculer l’épaisseur δ de la couche limite ?
c- en déduire les valeurs de δ l , θ , Cf, CF, τ local ?
d- calculer la somme des forces de frottement sur les quatre faces d’une maille ?
e- quelle est la chute de pression, à la traversée du filtre, pour une maille ?
f- en déduire le coefficient de perte de charge singulière ξ pour ce filtre ?
Solution :
a- ℜ eL =
b- δ =
U .L
ν
=
4,646.L
ℜ eL
15.4.10 −2
= 4.10 4 > 5.10 5
15.10 −6
=
4,646.4.10 −2
= 0,928mm
2.10 2
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c- δ 1 = 0,375.δ = 0,348mm
θ = 0,139.δ = 0,129mm
Cf =
CF =
0,646
ℜ eL
1,292
τ local =
ℜ eL
=
0,646
= 3,23.10 −3
2
2.10
= 6,46.10 −3 = 2.C f
3µ.U 3.15.10 −6.15.1,2
=
= 0,436 Pa
2.δ
2.0,928.10 −3
d- si la surface de frottement à la paroi est S :
1
1
Fv = τ p .S = .C F .ρ .U 2 .S = 6,46.10 −3.1,2.15 2.12.10 − 4 = 1,046.10 −3 N
2
2
⇒ 4. Fv = 4.1,046.10-3 = 4,186.10-3 N
e- si A est la section de passage : A = 32.10-4.
4.FV 4,186.10 −3
∆P =
= 2 − 4 = 4,65 Pa
A
3 .10
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f- hp = ξ .
⇒ξ=
U 2 ∆P
=
2 g ρg
2.∆P 2.4,65
=
= 0,034
ρ .U 2 1,2.15 2
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Exercice 4 :
Dans un écoulement laminaire d’un fluide sur une plaque mince et plate, on admet que le
profil des vitesses dans la couche limite répond à l’équation :
u 3 y 1 ⎛ y⎞
= . − .⎜ ⎟
U 2 δ 2 ⎝δ ⎠
3
Avec :
U : vitesse d’écoulement libre.
u : vitesse à la distance y de la paroi.
δ : épaisseur de la couche limite.
a- pour un calcul latéral appliqué à une unité de largeur, montrer que l’épaisseur de la couche
limite à la sortie de la plaque est donnée par :
⎡ L ⎤
δ = 4,646.⎢
⎥
⎣ ℜ eI ⎦
1/ 2
Sachant que :
τ P = τ local = µ .
du
et où L : est la largeur de la plaque.
dy y =0
b- en déduire les épaisseurs de quantité de mouvement θ , de déplacement δ * , les coefficients
de frottement local Cf et moyen CF ainsi que le facteur de forme H ?
Solution :
a- on a τ local
u 3 y 1 ⎛ y⎞
du
= µ.
avec :
= . − .⎜ ⎟
U 2 δ 2 ⎝δ ⎠
dy y =0
3
3
⇒ τ local =
3 U
3 U ⎛ y⎞
3 U
.u ( ) − .u. .⎜ ⎟ = .µ .
2 δ
2 δ ⎝δ ⎠
2 δ
D’autre part : τ local = ρ .U 2 .
dθ
dx
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δ
δ
u
u
3 y 1 y
3 y 1 y
Avec θ = ∫ (1 − ).dy ⇒ θ = ∫ [ . − ( ) 3 ].[1 − . + .( ) 3 ]dy
U
U
2 δ 2 δ
2 δ 2 δ
0
0
⇒θ =
3
δ δ
.δ − −
= 0,139.δ
10
8 28
⇒ τ local = ρ .U 2 .0,139.
⇒ 2.δ .
dδ 3 U
= .µ.
dx 2 δ
BOUZIDI
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γ
dδ d (δ 2 )
=
= 21,583.
dx
dx
U
On a : à x = 0 : δ = 0 ⇒ δ 2 = 21,583.
Pour la longueur L : δ =
21,583.
γ .x
x2
= 21,583.
U
ℜ ex
L2
ℜ el
b- l’épaisseur de quantité de mouvement sera :
θ = 0,139. δ = 0,646.
L
δ
δ
ℜ eL
- l’épaisseur de déplacement sera :
u
3 y 1 y
δ = δ l = ∫ (1 − ).dy = ∫ [1 − . + ( ) 3 ].dy
U
2 δ 2 δ
0
0
*
Par intégration, on obtient :
3
8
δ * = .δ = 0,375.δ
Pour la longueur L : δ * = δ l = 1,742.
L
ℜ eL
⎡
⎤
1/ 2 ⎥
⎢
dθ
dδ
dδ
d (4,646.x)
1 4,646
⎢
⎥= .
avec
- Cf = 2.
= 2.0,139.
=
U
2 ℜ ex
dx dx ⎢
dx
dx
( )1 / 2 ⎥
⎢⎣
⎥
γ
⎦
1 4,646 0,646
=
et Cf = 2.0,139. .
2 ℜ ex
ℜ ex
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