Corrigé Calcul littéral et Vitesse

Corrigé Calcul littéral et Vitesse
Exercice 1
On propose le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Soustraire 6.
Calculer le carré du résultat obtenu.
1. On choisit le nombre – 4 au départ, montrer que le résultat obtenu est 100.
Choix du nombre : – 4
Soustraire 6 : – 4 – 6 = – 10
Calculer le carré du résultat : (– 10)² = 100.
Conclusion : En choisissant – 4 au départ, on obtient bien 100 comme résultat.
2. On choisit 15 comme nombre de départ. Quel est le résultat obtenu ?
Choix du nombre : 15
Soustraire 6 : 15 – 6 = 9
Calculer le carré du résultat : 9² = 81.
Conclusion : En choisissant 15 au départ, on obtient 81 comme résultat.
3. Quel(s) nombre(s) pourrait-on choisir pour que le résultat du programme soit le nombre
144 ? Justifier la réponse.
On remonte le programme de calcul :
On a 2 nombres dont le carré vaut 144 : 12 et – 12
On a donc 2 possibilités :
Soit le nombre de départ était : 12 + 6 = 18.
Soit le nombre de départ était : – 12 + 6 = – 6.
Exercice 2
On considère les programmes de calcul suivants :
1. On choisit 5 comme nombre de départ.
Quel résultat obtient-on avec chacun des deux programmes ?
Programme A
Programme B
Choix du nombre de départ : 5
Choix du nombre de départ : 5
Lui ajouter 1 : 5 + 1 = 6
Ajoute 1 au double de ce nombre : 2×5 + 1 = 11
Calculer le carré : 6² = 36
Soustraire le carré du nombre de départ : 36 – 5²
= 36 – 25 = 11
Avec les programmes A et B, et en prenant 5 comme nombre de départ, on obtient 11 comme
résultat.
2. Démontrer que quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deux
programmes sont toujours égaux.
Prenons x comme nombre de départ.
Avec le programme A, le résultat obtenu est (x + 1)² – x² = x² + 2x + 1 – x² = 2x + 1 qui est le
résultat obtenu avec le programme B. On obtient donc bien toujours le même résultat avec les deux
programmes quelque soit le nombre choisi au départ.
Exercice 3
Trouver le nombre auquel je pense.
• Je pense à un nombre.
• Je lui soustrais 10.
• J'élève le tout au carré.
• Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j'ai pensé.
• J'obtiens alors : – 340.
Si x est le nombre auquel on pense, alors on obtient (x – 10)² – x² = – 340
On développe : x² – 20x + 100 – x² = – 20x + 100
On résout – 20x + 100 = – 340
– 20x = – 440
x = 22.
Le nombre auquel on a pensé est 22.
Vérifions : (22 – 10)² – 22² = 12² – 22² = 144 – 484 = – 340. 22 est donc bien le nombre cherché.
Exercice 4
Mathilde et Paul saisissent sur leur calculatrice un même nombre. Voici leurs programmes de
calcul :
Programme de calcul de Mathilde
Programme de calcul de Paul
•
•
•
•
•
•
Saisir un nombre
Multiplier ce nombre par 9
Soustraire 8 au résultat obtenu
1. On considère la feuille de calcul suivante :
A
B
C
D
E
1 Nombre de départ
2 Mathilde
3 Paul
0
1
2
3
Saisir un nombre
Multiplier ce nombre par – 3
Ajouter 31 au résultat obtenu
F
G
H
I
J
K
L
4
5
6
7
8
9
10
a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B2 puis étirer jusqu'à la cellule L2 pour obtenir les
résultats obtenus par Mathilde ?
On doit saisir "=B1*9–8"
b. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B3 puis étirer jusqu'à la cellule L3 pour obtenir les
résultats obtenus par Paul ?
On doit saisir "=B1*(–3)+31".
2. Voici ce que la feuille de calcul fait apparaître après avoir correctement programmé les
cellules B2 et B3.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2 Mathilde
–8
1
10
19
28
37
46
55
64
73
82
3 Paul
31
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
1 Nombre de départ
Mathilde et Paul cherchent à obtenir le même résultat.
Au vu du tableau, quelle conjecture pourrait-on faire sur l'encadrement à l'unité du nombre à saisir
dans les programmes pour obtenir le même résultat ?
On peut penser qu'ils obtiendront les mêmes résultats pour une valeur de départ comprise entre 3 et
4.
3. Déterminer par le calcul le nombre de départ à saisir par Mathilde et Paul pour obtenir le
même résutlat et vérifier la conjecture sur l'encadrement.
Notons x la valeur de départ cherchée.
On doit avoir les mêmes résultats pour Mathilde et pour Paul et donc résoudre : 9x – 8 = – 3x + 31.
12x – 8 = 31
12x = 39
x = 3,25
Ce qui confirme bien que la valeur cherchée était comprise entre 3 et 4, puisqu'elle vaut 3,25.
Exercice 5
Voici un programme de calcul.
 Choisir un nombre
 Ajouter 1
 Calculer le carré de cette somme
 Soustraire 9 au résultat
1. Vérifier qu'en choisisssant 7 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec ce
programme est 55.
Choix du nombre de départ : 7
Ajouter 1 : 7 + 1 = 8
Calculer le carré : 8² = 64
Soustraire 9 : 64 – 9 = 55.
On obtient bien 55 comme résultat en prenant 7 au départ.
2. Lorsque le nombre choisi est – 6, quel résultat obtient-on ?
Choix du nombre : – 6
Ajouter 1 : – 6 + 1 = – 5
Calculer le carré : (– 5)² = 25
Soustraire 9 : 25 – 9 = 36
En prenant – 6 comme nombre de départ, on obtient 36.
3. Jim utilise un tableur pour essayer le programme de calcul avec plusieurs nombres. Il a fait
apparaître les résultats obtenus à chaque étape. Il obtient la feuille de calcul ci-dessous :
A
B
C
Résultat de la 1e étape Résultat de la 2e étape
D
1
nombre de départ
Résultat final
2
– 0,4
0,6
0,36
– 8,64
3
– 0,2
0,8
0,64
– 8,36
4
0
1
1
–8
5
0,2
1,2
1,44
– 7,56
6
0,4
1,4
1,96
– 7,04
7
0,6
1,6
2,56
– 6,44
8
0,8
1,8
3,24
– 5,76
9
1
2
4
–5
10
1,2
2,2
4,84
– 4,16
11
1,4
2,4
5,76
– 3,24
12
1,6
2,6
6,76
– 2,24
13
1,8
2,8
7,84
– 1,16
14
2
3
9
0
15
2,2
3,2
10,24
1,24
16
2,4
3,4
11,56
2,56
La colonne B est obtenue à partir d'une formule écrite en B2, puis recopiée vers le bas.
Quelle formule Jim a-t-il saisie dans la cellule B2 ?
La formule que Jim a saisie en B2 est "=A2+1"
4. Le programme donne 0 pour deux nombres. Déterminer ces deux nombres.
Pour trouver les deux nombres de départ qui donnent un résultat qui soit égal à 0, on remonte le
programme :
On ajoute 9 : 0 + 9 = 9
On cherche deux nombres dont le carré soit égal à 9 : 3 et – 3
Pour chacun de ces nombres, on soustrais 1 : 3 – 1 = 2 et – 3 – 1 = – 4.
On peut donc choisir 2 ou – 4 comme nombre de départ, pour obtenir 0 au résultat.
Exercice 6
Questions en vrac...
Si on développe et réduit l'expression (x + 2)(3x – 1) Qu'obtient-on ?
a) 3x² + 5x – 2
b) 3x² + 6x + 2
c) 3x² – 1
Réponse a)
(x + 2)(3x – 1) = 3x² – x + 6x – 2 = 3x² + 5x – 2
En développant l'expression (2x – 1)², Esther a obtenu 4x² – 4x – 1. A-t-elle raison ?
(2x – 1)² : on reconnaît l'identité remarquable (a – b)² avec a = 2x et b = 1.
qui se développe en a² – 2ab + b².
On obtientdra donc 4x² – 4x + 1 et non pas 4x² – 4x – 1. Esther n'a pas raison.
Exercice 7
Dans un collège de Caen (en Normandie) est organisé un échange avec le Mexique pour les élèves
de 3e qui étudient l'espagnol en seconde langue.
Le voyage se décompose en deux parties :
• le trajet Caen-Paris (256 km) se fait en bus ;
• puis le trajet Paris-Mexico (9 079 km) en avion.
► 1. Le prix d'un billet d'avion aller-retour coûte 770,30 € par personne. Afin de financer cet
échange, deux actions sont mises en œuvre : un repas mexicain et une tombola. La somme
récupérée par les deux actions est de 1 929 €. Cette somme permet de réduire équitablement le prix
du billet d'avion pour les 24 élèves participants.
Quelle est la participation demandée par élève pour les billets d'avion ? (arrondir à l'unité)
Les actions mises en œuvre pour faire baisser le prix du billet d'avion ont rapporté 1 929 € pour les
24 élèves participants. Ce qui représente une baisse de prix de 80,375 € par élève (1 929 ÷ 24).
La participation demandée pa élève pour le billet sera donc de 690 € environ (770,30 – 80,375).
► 2. Le décollage se fait à 13h30. Cependant, les élèves et les accompagnateurs doivent être
impérativement à l'aéroport de Paris-Roissy à 11h30. On estime la vitesse moyenne du bus à 80
km/h.
À quelle heure, au maximum, doivent-ils partir de Caen ?
Pour aller de Caen à Paris, le bus doit faire 256 km à la vitesse de 80 km/h. Il va donc mettre 3h12
pour ce trajet (256 ÷ 80 = 3,2 h = 3h + 0,2×60 min).
Les élèves doivent donc partir au maximum à 8h18 (11h30 – 3h12).
► 3. L'avion arrive à Mexico à 17h24 heure locale. Il faut compter 7 heures de décalage avec la
France.
a) Quelle est la durée du trajet ?
Pour avoir l'heure francçaise d'arrivée, il faut ajouter les 7h de décalage horaire : 17h24 + 7 h = 0h
24. Le trajet aura donc duré 10h54 (de 13h30 à 0h24).
b) Quelle est la vitesse moyenne de l'avion ? (arrondir à l'unité)
La vitesse de l'avion est de 833 km/h (9079km ÷ 10,9h ; 10h54 = 10h + 54/60h).
Exercice 8
La distance d'arrêt est la distance que parcourt un véhicule entre le moment où son conducteur voit
un obstacle et le moment où le véhicule s'arrête.
Une formule permettant de calculer la distance d'arrêt est :
5
D=
× V + 0,006 × V²
 D est la distance d'arrêt en m.
18
 V est la vitesse en km/h.
1. Un conducteur roule à 130 km/h sur l'autoroute. Surgit un obstacle à 100 m de lui. Pourra-til s'arrêter à temps ?
5
×130 + 0,006×130² ≈ 137,5 m.
18
L'obstacle étant situé à 100 m de lui, il n'aura pas le temps de s'arrêter.
Dans le cas de ce conducteur, la distance d'arrêt est D =
2. On a utilisé un tableur pour calculer la distance d'arrêt pour quelques vitesses. Une copie de
l'écran obtenu est donnée ci-dessous. La colonne B est configurée pour afficher les résultats
arrondis à l'unité.
A
B
1
Vitesse en km/h
Distance d'arrêt en m
2
30
14
3
40
21
4
50
29
5
60
38
6
70
49
7
80
61
8
90
74
9
100
88
Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B2 avant de la recopier vers le bas ?
La formule saisie en B2 est "=5/18*A2+0,006*A2^2"
3. On entend fréquemment l'affirmation suivante : "Lorsqu'on va deux fois plus vite, il faut une
distance deux fois plus grande pour s'arrêter". Est-elle exacte ?
L'affirmation est fausse : Il suffit de regarder le tableau. En roulant à 50 km/h, la distance d'arrêt est
de 29 m alors qu'en roulant 2 fois plus vite, elle est de 88 m (or 29 × 2 = 58 m).
4. Au code de la route, on donne la règle suivante pour calculer de tête sa distance d'arrêt :
"Pour une vitesse comprise entre 50 km/h et 90 km/h, multiplier par lui-même le chiffre des
dizaines de la vitesse".
Le résultat calculé avec cette règle pour un automobiliste qui roule à 80 km/h est-il cohérent
avec celui calculé par la formule ?
Ce résultat est cohérent avec les résultats du tableau car : 8² = 64 m pour la distance d'arrêt d'un
véhicule qui roule à 80 km/h alors que le tableau donne 61 m. Les deux résultats sont proches.