Racines carrées

Racines carrées
I – Définition
Soit a un nombre positif ou nul : on appelle racine carrée de a (et on note
nombre positif dont le carré est égal à a.
Exemples :
la racine carrée de 81 est 9 car 99=81 ; on écrit
0 =0 car 00=0.
1 =1 car 11=1.
a ) le
81 =9
Remarques : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas ! on n’écrira jamais 25 !
Une racine carré n’a pas forcément une valeur décimale. Par exemple,
3 1,7. On laissera alors le résultat sous la forme 3 .
II – Équations x2=a
on distingue trois cas :
* a>0 ; l’équation x2=a possède alors deux solutions : a et - a
* a =0 ; l’équation x2=0 possède une unique solution : 0.
* a<0 ; l’équation x2=a ne possède pas de solution.
Exemples :
Les solutions de l’équation x2=49 sont 49 et - 49 , c’est à dire 7 et –7.
L’équation x2=-100 ne possède pas de solution
III – Formules
1 Soient a et b deux nombres positifs. L’unique nombre positif dont le carré est égal à
ab se note ab . Mais considérons le nombre a  b : c'est lui aussi un nombre positif et le
calcul de son carré donne :
 a  b    a  b   a  b 
 a    b  a  b
Il n’y a qu’un seul nombre positif dont le carré est égal à ab ; or  ab    a  b   ab
2
2
a a b b 
2
2
2
Donc :
Soient a et b deux nombres positifs. On a : a  b  a  b
Exemples :
2  50  2  50  100  10
72  36  2  36  2  6 2
Remarque : attention, en général
a  b  a  b et
a  b  a b
Par exemple, 16  25  4  5  9 mais 16  25  41  9
2 Soient a et b deux nombres positifs, b n’étant pas nul. On peut écrire :
 a 
  
 b 
Donc
a
b
a  a a


b
 b b
2
2
a
b

a

b
a
b
est un nombre positif dont le carré est égal à
2
a
. Comme il n'y en a qu'un, on
b
peut en déduire que :
Si a et b deux nombres positifs (b0), on a :
Exemple :
192
3

192
 64  8
3
a
a

b
b