Racine carrée = a. et a

Chapitre 7 : Racine carrée
I) Définition :
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif, noté
 a,
dont le
carré est a.
Exemples :
 16 
Remarque :
a
= 4
 1024
= 32
n'a pas de sens lorsque a est un nombre strictement
négatif.
Une utilisation :
On donne AB = 10 cm et et AC = 6 cm, calculons BC :
B
A
–
Le triangle ABC est rectangle,
–
D'après le théorème de Pythagore,
–
On a AB² = AC² + BC² donc 10² = 6² + BC²
C
100 = 36 + BC²
BC² = 100 – 36 = 64
BC =
 64
= 8
Le segment [BC] mesure 8 cm.
II) A connaître
Pour tout nombre positif a,
Exemples :
1

2
= 1 donc
2
 3,6 
1
= 1
= 3,6
5 est positif donc
 52
= 5
 a2 = a .
et
2
a 
=
a
III) Règle de calculs
Pour tous nombres positifs a et b,
 a×b= a× b
Exemples :
A =
 3×  27
B =
 32
=
=
 3×27
 81
= 9
peut s'écrire sous la forme
a b
avec a et b deux nombres
entiers positifs, b étant le plus petit possible.
B =
 32
=
 16×2
On fait apparaître le produit d'un carré parfait (le plus grand possible)
par un entier.
B =
 42×2
=
 42 ×  2
=
4×  2
=
4 2
Pour tous nombres positifs a et b (b ≠ 0),
√
a √a
=
b √b
IV) Réduire une somme de racines carrées :
Exemples :
Réduire la somme A =
2 √ 72 – 7 √ 18
sous la forme c
√d ,
où c et d sont deux entiers relatifs, d étant le plus petit possible.
A =
=
2  72 – 7  18
2  36×2 – 7  9×2
(On décompose 72 et 18 pour faire apparaître le produit d'un carré
parfait le plus grand possible par un même entier.)
=
2  36× 2 – 7×  9×  2
=
12  2 – 21  2
=
– 9 2
=
=
2×6×  2 – 7×3× 2
12 – 21  2
(on a factorisé par
2 )