dm - le produit de cinq nombres entiers consecutifs n`est pas

DM - LE PRODUIT DE CINQ NOMBRES
ENTIERS CONSECUTIFS
N’EST PAS UN CARRE
Soit a1 , . . . , a5 , tels que ai = a1 + (i − 1), cinq nombres entiers consécutifs strictement positifs. On va
démontrer que le nombre
√
X = a1 a2 a3 a4 a5
ne peut être entier.
Préliminaires
Etudions pour commencer les valeurs prises par la différence A2 − B 2 lorsque A et B sont des entiers
strictement positifs.
A2 − B 2 = 1
On aurait
A−B = A+B = 1
et donc A = 1 et B = 0, ce qui est impossible.
A2 − B 2 = 2
On aurait
A + B = 2 et A − B = 1 .
Les solutions de ce système ne sont pas entières, donc l’équation n’a pas de solution.
A2 − B 2 = 3
Cette fois
A + B = 3 et A − B = 1
et le système a pour unique solution A = 2 et B = 1.
A2 − B 2 = 4
On aurait soit
A + B = 4 et A − B = 1
et les solutions de ce système ne sont pas entières, soit
A+B = A−B = 2
DM 2
qui a comme unique solution A = 2 et B = 0, ce qui est impossible.
Démonstration
Nous supposons par l’absurde que l’on a
a1 a2 a3 a4 a5 = X 2
avec X entier.
Si p est un facteur premier de X qui divise deux nombres distincts ai et aj , alors p divise le nombre
|ai − aj | qui est inférieur ou égal à 4. Il en résulte que p = 2 ou p = 3.
Les autres facteurs premiers de X divise un seul des nombres ai . Dons si pk divise X, alors p2k divise
ce nombre ai . Il en résulte que les nombres ai sont de la forme
ai = 2αi 3βi ki2 .
On va étudier les situations possibles, suivant la place dans la liste du nombre ai divisible par 6.
1) Aucun des nombres ai n’est divisible par 6.
Dans ce cas a1 − 1 et a5 + 1 sont divisibles par 6. Alors a5 et a1 ne sont divisibles ni par 2, ni par 3.
Donc ce sont des carrés. On en déduit
a5 − a1 = 4 = A2 − B 2 ,
ce qui est impossible.
2) Un nombre ai , où i ∈ {2, 3, 4} est divisible par 6.
Alors ai−1 et ai+1 ne sont divisibles ni par 2, ni par 3. Donc ce sont des carrés. On en déduit
ai+1 − ai−1 = 2 = A2 − B 2 ,
ce qui est impossible.
3) Le nombre a1 est divisible par 6.
Alors a2 est un carré, et les nombres a3 et a5 sont soit des carrés, soit le double d’un carré.
– Si a3 est un carré, comme a2 est un carré, on a
a3 − a2 = 1 = A2 − B 2 ,
ce qui est impossible.
DM 3
– Si a5 est un carré, comme a2 est un carré, on a
a5 − a2 = 3 = A2 − B 2 ,
ce qui est possible si et seulement si A = 2 et B = 1. Mais alors a2 = B 2 = 1, et donc a1 = 0, ce qui
est impossible.
– Si a5 et a3 sont le double d’un carré, alors
a5 − a3 = 2 = 2A2 − 2B 2 ,
donc
1 = A2 − B 2 ,
ce qui est impossible.
4) Le nombre a5 est divisible par 6.
Alors a4 est un carré, et les nombres a3 et a1 sont soit des carrés, soit le double d’un carré, et le
raisonnement est le même que dans 3).
Finalement aucun cas n’est possible.