Chap 4 Les racines carrées I Racine carrée d`un nombre positif

Chap 4 Les racines carrées
I Racine carrée d’un nombre positif
Définition 1 :
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre se note a .
Le symbole
s’appelle le radical.
Autrement
! dit : Pour tout nombre positif a :
a existe ,
!
a "0 ,
!
!
!
!
!
!
( a)
2
=a
Exemples :
9 est le nombre positif dont le carré est égal à 9, d’où : 9 = 3
25 est le nombre positif dont le carré est égal à 25, d’où 25 = 5 .
2 est le nombre positif dont le carré est 2. 2 n’a pas d’écriture décimale ni fractionnaire.
C’est un nombre irrationnel. On ne peut donner que
! des valeurs décimales approchées du
nombre 2 .
!
!
-9 n’a pas de sens. Il n’existe aucun nombre dont le carré soit égal à -9.
Attention
!
Exemples : Donner l’écriture entière des nombres suivants :
(!1,7 )
2
= 1,7
" 16 = "4
!
!
!
!
!
!
(3 " 5 )
2
= 32 "
( 5)
2
= 9 " 5 = 45
Remarque : Pour tout nombre positif a, le nombre " a désigne l’opposé du nombre
Propriété 1 : Pour tout nombre positif a :
a2 = a
!
a .
!
Démonstration :
a 2 est par définition le nombre positif dont le carré est égal à a 2 .
Or les seuls nombres dont le carré est égal à a 2 sont a et –a .
Comme a est positif alors : a 2 = a .
!
Exemple :
!
112 = 11
!
Définition 2 :
On appelle carré parfait un nombre entier positif dont la racine carrée est un nombre entier.
Exemples :
0 ;1 ;4 ;9 ;16 ; 25 ;36 ; 49 ;64 ;81 ;100 ;121 ;144 ;169 ;196 ;225 sont des carrés parfaits.
En effet :
1 = 12 = 1
4 = 22 = 2
9 = 32 = 3
25 = 5 2 = 5
36 = 6 2 = 6
49 = 7 2 = 7
!
64 = 8 2 = 8
81 = 9 2 = 9
100 = 10 2 = 10
121 = 112 = 11
144 = 12 2 = 12
169 = 132 = 13
196 = 14 2 = 14
225 = 15 2 = 15
II Produit et quotient de deux radicaux
!
Propriété 2 :
La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit de leur racine
carrée.
Autrement dit : Si a et b sont des nombres positifs alors :
a"b = a " b
Démonstration :
(
2
) !
= ( a) " ( b)
a " b
2
2
=a"b
Ce qui signifie que a " b (qui est positif) a pour carré a " b .
Or par définition a " b est l’unique nombre positif dont le carré est a " b .
Par conséquent a " b = a " b .
!
!
!
!
Exemples :
!
1°) 8 " 2 = 8 " 2 = 16 = 4
2°)
!
4"3 = 4 " 3 =2" 3 =2 3
!
!
Propriété 3:
La racine carrée du quotient de deux nombres positifs non nuls est égale au quotient de leur
racine carrée.
Autrement dit Si a et b sont des nombres positifs avec b non nul alors :
a
a
=
b
b
Démonstration :
!
" a %2
$
'
# b &
2
( a)
=
( b)
=
a
b
a
.
b
a
a
Or par définition
est l’unique nombre positif dont le carré est .
b
b
a
a
!
!
Par conséquent
.
=
b
b
!
!
Exemples :
100
100 10
1°) ! =
=
49
7
49
Ce qui signifie que
!
2°)
!
!
a
b
(qui est un quotient positif) a pour carré
72
72
=
= 36 = 6
2
2
Attention : En général :
a + b " a+b
En effet :
16 + 9 = 4 + 3 = 7
!
16 + 9 = 25 = 5
donc 16 + 9 " 16 + 9
!
Les savoir-faire du chapitre 4
Soient a,b, et n des nombres entiers positifs.
1) Ecrire le nombre n sous la forme a b avec b le plus petit
possible.
Méthode: Ecrire le nombre n sous la forme d’un produit dont un facteur est un carré
parfait.
!
!
Exemples:
45
72
= 9"5
= 36 " 2
= 9" 5
= 36 " 2
=3 5
=6 2
2) Simplifier une somme avec des radicaux.
Méthode : Ecrire chaque n sous la forme a b avec b le plus petit possible de façon à
faire apparaître un facteur commun puis factoriser .
Exemples :
!
! B = 3 200 + 4 18 " 32
B = 3 100 # 2 + 4 9 # 2 " 16 # 2
A = 12 + 5 27!
A = 4 # 3 +5 9 # 3
A =2 3 +5 # 3 3
B = 3 # 10 2 + 4 # 3 2 " 4 2
A = 2 3 +15 3
B = 30 2 +12 2 " 4 2
A = 3 # (2 +15)
B = 2 # ( 30 +12 " 4 )
A = 17 3
B = 38 2
3) Ecrire a b avec sous la forme
n.
2
Méthode : Utiliser l’égalité a = a et les propriétés 2 et 3 du chapitre 5
Exemples:
!
!
7 5
!
!
3
4
3
= 72 " 5
=
= 49 " 5
=
3
42
= 245
=
3
16
!
42
4) Développer un produit ou une identité remarquable avec des
radicaux.
Exemples:
(
)
2
C= 5 2 "3
A = 24 2 + 3 # 2
(
)(
)
B = (2 5 ) " 7
B = 2 # ( 5 ) " 49
A = 24 2 + 6
B = 4 # 5 " 49
C = 25 # 2 " 30 2 + 9
A = 24 2 + 6
B = 20 " 49
C = 50 " 30 2 + 9
A = 24 2 + 6
B = "29
C = 59 " 30 2
A = 3 2 8+ 2
A = 3 2 #8+3 2 # 2
B= 2 5"7 2 5+7
2
2
2
2
(
)
C = (5 2 ) " 2 # 5 2 # 3 + 3
C = 5 # ( 2 ) " 30 2 + 9
2
2
2
2