Controle

Licence 3 — Mathématiques
2012–2013
Topologie Générale
Contrôle du lundi 22/10/2012 (durée : 1 heure)
Les documents et téléphones portables ne sont pas autorisés.
Question de cours
Exercice 1
1 Donner une définition d’un espace topologique connexe.
2 Soit (𝑋, T ) un espace topologique. On munit {0, 1} de la topologie discrète. Montrer que 𝑋
est connexe si et seulement si toute application continue de 𝑋 dans {0, 1} est constante.
Exercice 2
Soit (𝑋, T ) un espace topologique et 𝐴, 𝐵 deux parties de 𝑋 telles que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Montrer que si 𝐴 ∪ 𝐵 est fermé, alors 𝐴 et 𝐵 sont fermés.
1
T.S.V.P.
Exercice 3
Le but de cet exercice est de donner un exemple de topologie sur R qui n’est pas métrisable.
1
Soit (𝑋, 𝑑) un espace métrique. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
a. il existe une partie dénombrable 𝐴 de 𝑋 qui est dense dans 𝑋 ;
b. il existe une base d’ouverts B de la topologie de 𝑋 qui est dénombrable.
Indication : pour l’implication a ⇒ b : on pourra considérer les boules ouvertes B(𝑎, 1/𝑘) où 𝑎 ∈ 𝐴
et 𝑘 est un entier strictement positif.
Dans la suite de l’exercice, on considère l’ensemble R des nombres réels et l’ensemble T de
parties de R défini de la manière suivante : ∅ ∈ T et une partie 𝑈 non vide de R appartient à T
si et seulement si pour tout 𝑥 ∈ 𝑈 , il existe des réels 𝑎 < 𝑏 tels que 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏[ ⊆ 𝑈 .
2 Montrer que T est une topologie sur R.
3 Justifier que Q est dense dans R pour la topologie T .
4 Soit B = (𝐵𝑛 )𝑛∈N une base d’ouverts dénombrable de la topologie T . Justifier que, pour
tout 𝑥 de R, il existe un entier 𝑛 > 0 tel que
𝑥 ∈ 𝐵𝑛 ⊆ [𝑥, 𝑥 + 1[.
Soit 𝑛𝑥 le plus petit de ces entiers 𝑛. Prouver que l’application
R
→ N
𝑥 ↦→ 𝑛𝑥
est injective.
5 En déduire que la topologie T sur R n’est pas métrisable.
2
T.S.V.P.
3
T.S.V.P.
Exercice 4
Soient (𝑋, 𝑑) un espace métrique et 𝐴 une partie de 𝑋. Soient 𝜀 > 0 un réel et 𝑥, 𝑦 deux
points de 𝐴. Une 𝜀-chaîne de 𝐴 reliant 𝑥 à 𝑦 est la donnée d’une suite de points 𝑥0 , . . . , 𝑥𝑛 de 𝐴
telle que 𝑥0 = 𝑥, 𝑥𝑛 = 𝑦 et 𝑑(𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ) < 𝜀 pour tout 𝑖 ∈ {0, . . . , 𝑛 − 1}. Une partie 𝐴 de 𝑋 est
dite bien enchaînée si pour tout 𝜀 > 0, deux points quelconques de 𝐴 peuvent être reliés par une
𝜀-chaîne de 𝐴.
1 Soient 𝑥 ∈ 𝐴 et 𝜀 > 0 un réel. On note 𝐶𝑥𝜀 l’ensemble des points 𝑦 de 𝐴 pouvant être reliés à
𝑥 par une 𝜀-chaîne de 𝐴. Montrer que 𝐶𝑥𝜀 est une partie ouverte et fermée de 𝐴.
2 Montrer que si 𝐴 est connexe, alors 𝐴 est bien enchaînée.
3 Donner un exemple de partie bien enchaînée dans R2 mais non connexe.
4