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Université BORDEAUX 1
L2/2015 Topologie des espaces métriques
Liste d’exercices no 1
(Espaces topologiques)
Exercice 1
Soit E = {1, 2, 3, 4, 5}. Lesquelles des familles suivantes définissent des topologies sur E ?
T1 = {∅, {1}}, T2 = {∅, {1}{1, 2, 3, 4, 5}}, T3 = {∅, {1}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}},
T4 = {∅, {1, 2}, {2, 4}, {1, 2, 3, 4, 5}}.
Exercice 2
Donner toutes les topologies sur un ensemble à 3 éléments.
Exercice 3
Soit R muni de la topologie usuelle.
1. Trouver les intérieurs et adhérences des ensembles suivants. Lesquels sont ouverts ? fermés ?
(a) R (b) ]0, 1[∪]1, 3[;
(c)[0, 3[;
(d) {6}; (e) { n1 : n ∈ (Z+ )∗ }.
2. Soit A = { n1 : n ∈ (Z+ )∗ }∪]1, 2[∪]2, 3[∪{4} ∪ (Q∩]7, 8]). Déterminer les points limites et les points
isolés du sous-ensemble A. Déterminer les parties suivantes :
◦
◦
◦
◦
A,
A,
A,
A,
◦
◦
A,
A.
Exercice 4 (espace topologique séparé)
Soit (X, T ) un espace topologique. On dit que T est séparée, (ou que l’espace (X, T ) est séparé) si
pour tout (x, y) ∈ X 2 , x 6= y, il existe deux ouverts U, V ∈ T tels que U ∩ V = ∅, x ∈ U et y ∈ V .
1. Montrer que la topologie usuelle sur R est séparée.
2. Montrer que la topologie discrète sur ensemble X est toujours séparée. À quelle condition la
topologie grossière sur X est-elle séparée ?
3. Parmi les topologies trouvées à l’exercice 2, lesquelles sont séparées ?
4. Pouver qu’un espace topologique est séparé si et seulement si l’intersection des voisinages fermés
d’un point arbitraire est réduite à ce point.
Exercice 5 (topologie des compléments finis)
Soit X un ensemble. On pose T = {U ⊂ X; U = ∅ ou X \ U fini}.
1. Montrer que T est une topologie sur X.
2. Décrire T pour X fini.
3. Prouver que T est séparée si et seulement si X est fini.
Exercice 6
On considère l’ensemble des entiers naturels N muni de la topologie des compléments finis (cf exercice 5) notée T1 .
1. Soient A1 = {1, 4}, A2 = {2n : n ∈ N}
Trouver les points intérieurs et les points adhérents de A1 et A2 dans T1 . En déduire leurs adhérences et
leurs intérieurs.
2. Soit T2 = {∅, {n : n ≥ k}∞
k=1 , N}. Montrer que T2 définit une topologie sur N et trouver les
adhérences et les intérieurs de A1 et A2 dans (E, T2 ).
Exercice 7
Soit (X, ≤) un ensemble ordonné. Si a ∈ X, on pose
[a, → [= {x ∈ X; a ≤ x} et
] ←, a] = {x ∈ X; x ≤ a}.
On note S ⊂ P(X) l’ensemble des réunions de parties de la forme [a, → [.
1. Soient a, b ∈ X. Si x ∈ [a, → [∩[b, → [, vérifier que [x, → [ est inclus dans [a, → [∩[b, → [. En
déduire que [a, → [∩[b, → [∈ S, puis que T = S ∪ {∅} ⊂ P(X) est une topologie sur X.
2. Dans cette question, on prend X = N muni de l’ordre usuel. Comparer T avec T2 (cf exercice 6).
3. Si x ∈]
/ ←, a] (a, x ∈ X), vérifier que [x, → [∩] ←, a] = ∅. En déduire que ] ←, a] est fermé.
4. Prouver que l’adhérence (pour T ) d’un point a ∈ X (c’est-à-dire de {a}) vaut ] ←, a].
5. Si a et b sont deux points distincts de X, montrer qu’il existe un voisinage (pour T ) de l’un ne
comprenant pas l’autre. [on distinguera deux cas, suivant que a et b sont comparables ou non]
6. Expliciter T quand X est l’ensemble des parties d’un ensemble à deux éléments, ordonné par
l’inclusion.