L3 - Mathématiques 2013–2014 Topologie Générale Examen final - le 16/12/2013 - corrigé Question de cours. Soit X un ensemble et T un ensemble de parties de X. Rappeler les axiomes qui font de T une topologie. Exercice 1. On munit R de sa topologie usuelle associée à la valeur absolue | · |. 1.1. Montrer que R est homéomorphe à l’intervalle ]0, 1[. L’application f : R −→ ]0, 1[ définie par f (x) = π1 arctg x + 12 est continue, bijective, d’inverse continu. Elle réalise un homéomorphisme entre R et l’intervalle ]0, 1[. 1.2. Une partie ouverte de R peut-elle admettre un maximum (justifier la réponse) ? Par l’absurde. Soit O un ouvert de R qui admet un maximum en x ∈ O. Comme O est ouvert, il existe ε > 0 tel que l’intervalle ]x − ε, x + ε[⊂ O. Mais alors x < x + ε ∈ O. Contradiction. 1.3. Montrer que l’ensemble C := {(x, y) ∈ R2 ; x > y} est un connexe de R2 . Il est convexe donc connexe. 1.4. Soit f : R −→ R une fonction continue et injective. On introduit la fonction F : R2 −→ R définie par F (x, y) = f (x) − f (y). En considérant F (C), montrer que f est strictement monotone. L’image de C connexe par F continue est un connexe F (C) de R, donc un intervalle. Cet intervalle ne peut pas contenir 0 car sinon f ne serait pas injective. On a donc F (C) ⊂ R∗+ ou bien F (C) ⊂ R∗− , ce qui équivaut à la stricte monotonie de f . Exercice 2. On munit R de sa topologie usuelle associée à la valeur absolue | · |. Répondre sans justification aux questions qui suivent. 2.1. Soit (X, T ) un espace topologique, tel que toute fonction f : X −→ R soit continue. Déterminer T . T est la topologie discrète. 2.2. Soit (X, T ) un espace topologique, et A une partie de X. On considère la fonction caractéristique χA : X −→ R (qui à x ∈ A associe 1, et qui à x 6∈ A associe 0). On note F(A) l’ensemble des points de X en lesquels la fonction χA est continue. Exprimer F(A) à l’aide d’opérations topologiques et ensemblistes telles que le passage à l’adhérence, à l’intérieur, à la frontière, au complémentaire, · · · F(A) = X \ F r(A). 2.3. Donner un exemple d’espace topologique (X, T ) pour lequel la fonction caractéristique χA : X −→ R n’est continue en aucun point, ceci quel que soit le choix de A 6∈ {∅, X}. Par exemple, la topologie grossière. 2.4. On munit N de la topologie dont les fermés sont les ensembles finis. On considère f : N −→ N. Donner une condition impliquant la limite de f en +∞, permettant d’affirmer que f est une application continue. f tend vers +∞ pour n qui tend vers +∞. Problème. Soit a ∈ ]0, +∞[. On considère l’espace vectoriel (E, k · k∞ ) formé des fonctions continues sur l’intervalle [0, a], à valeurs réelles, muni de la norme de la convergence uniforme. Partie A. Soit T : E −→ E qui à f ∈ E associe la fonction T (f ) définie via : Z x T (f )(x) := 1 + f (s) ds , ∀ x ∈ [0, a] . 0 3.A.1. Montrer que l’application T est Lipschitzienne pour un certain rapport k. Quelle est la valeur minimale possible pour k ? Etant donnés f et g dans E, on a : Z x |T (f )(x) − T (g)(x)| ≤ |f (s) − g(s)| ds ≤ |x| k f − g k∞ ≤ a k f − g k∞ . 0 Si f ≡ 1, g ≡ 0 et x = a, on a égalité partout. Donc a est la valeur minimale recherchée. 3.A.2. On suppose a ∈ [0, 1[. Montrer qu’il existe un élément unique f ∈ E vérifiant la relation T (f ) = f . (E, k · k∞ ) est un espace de Banach. Pour a ∈ [0, 1[, l’application T est contractante de rapport < 1. Le théorème du point fixe garantit l’existence d’un élément unique f ∈ E vérifiant la relation T (f ) = f . 3.A.3. On note f0 lafonction nulle. On considère la suite des itérés de f0 sous l’action de T , à savoir T n (f0 ) n∈N . En déterminer la limite. Par récurrence, on obtient : T n (f0 )(x) = n−1 X j=0 1 j x , j! ∀ n ∈ N∗ , qui converge uniformément vers ex pour n qui tend vers +∞. Partie B. Dans cette partie, on prend a = 1 et on se donne g ∈ E. On considère l’application ϕ : E −→ R définie par : Z 1 ϕ(f ) := g(x) f (x) dx . 0 3.B.1. Montrer que ϕ est une forme linéaire continue. Z 1 |g(x)| |f (x)| dx ≤ k g kL1 ([0,1]) k f k∞ . |ϕ(f )| ≤ 0 3.B.2. On suppose que g est une fonction strictement positive. Calculer la norme |||ϕ||| de ϕ en fonction de g, et montrer que celle-ci est atteinte pour une certaine fonction f de norme 1 à déterminer. Pour f˜ = g/|g| qui est dans E si g est une fonction strictement positive, on obtient : k f˜ k∞ = 1 , |ϕ(f˜)| = k g kL1 ([0,1]) |||ϕ||| =k g kL1 ([0,1]) . =⇒ 3.B.3. On suppose que g est la fonction qui à x fait correspondre x − (1/2). Calculer la norme |||ϕ||| de ϕ en fonction de g. Celle-ci peut-elle être atteinte ? Pour n ∈ N∗ , on introduit la fonction fn −1 n (x − 12 ) fn (x) = 1 On a : 1 1 −n 2 Z ϕ(fn ) ≥ ∈ E avec k fn k∞ ≤ 1 définie par : si 0 ≤ x ≤ 12 − n1 , si 12 − n1 ≤ x ≤ 12 + si 12 + n1 ≤ x ≤ 1 , . Z 1 |g(t)| dt + |g(t)| dt − 1 1 +n 2 0 1 n Pour n qui tend vers +∞, on récupère : lim ϕ(fn ) ≥k g kL1 ([0,1]) , n→+∞ ce qui implique de nouveau : |||ϕ||| =k g kL1 ([0,1]) . , . 2 . n Par contre, cette norme n’est pas atteinte car l’égalité : |ϕ(f )| = |||ϕ||| = k g kL1 ([0,1]) , k f k∞ ≤ 1 , implique f (t) = sgn g(t) qui n’est pas dans E (discontinuité en 1/2). 3.B.4. On note en la fonction monôme en (x) = xn restreinte à [0, 1]. On suppose que ϕ(en ) = 0 pour tout n ∈ N. En appliquant un résultat de densité du cours, qu’on demande de citer et dont on vérifiera les hypothèses, montrer que ϕ ≡ 0. En déduire que g ≡ 0. C’est le théorème de Stone-Weierstrass. Voir dans le cours ses hypothèses ainsi que leur vérification dans le cas de l’algèbre A des polynômes. Comme A est dense dans E , du fait de la continuité, l’application ϕ vaut 0 sur E tout entier et |||ϕ||| = 0. D’après ce qui précède, la norme L1 de g vaut zéro. Comme g est continue, cela implique g ≡ 0. Question bonus. Donner un exemple de forme linéaire non continue. Sur E, changer la norme L∞ en la norme L1 . Puis considérer la forme linéaire qui à f associe f (0).