HLMA 502 Contrôle Continu du jeudi 17 novembre 2016

Université de Montpellier - Faculté des Sciences
Année Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Contrôle Continu du jeudi 17 novembre 2016
Durée : 1h30
Questions de cours
1. Topologie quotient. Soient (X, OX ) et (Y, OY ) deux espaces topologiques et ∼ une relation
d’équivalence sur X. On note p : X → X/∼ la projection qui, à tout x ∈ X, associe sa classe
d’équivalence [x] dans X/∼ .
(a) Donner la définition de la topologie quotient O∼ sur X/∼ et montrer que p est continue
pour cette topologie.
(b) Montrer que f : X/∼ → Y est continue sur X/∼ si et seulement si f ◦ p est continue sur X.
2. Connexité.
(a) Donner la définition d’un espace topologique connexe.
(b) Soient (X, OX ) et (Y, OY ) deux espaces topologiques et f : X → Y une application continue. Montrer que pour toute partie connexe A ∈ P(X), son image directe f (A) est
connexe dans Y .
Exercice 1
On considère E = C 0 ([0, 1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] muni de la norme
k.k∞ et on note
E → R
R1
N:
u 7→ 0 |u(t)|t2 dt
Par ailleurs, pour tout k ∈ N∗ on note uk : [0, 1] → R définie par
1 − kt si t ≤ k1
uk (t) =
0 si t > k1
1. Montrer que N est une norme sur E.
2. Pour toutk ∈ N∗ , justifier que uk ∈ E, et calculer N (uk ). La suite (uk )k∈N∗ converge-t-elle dans
(E, N ) ?
3. Pour tout a ∈ [0, 1], on considère l’application Ja : E → R définie, pour tout u ∈ E par
Ja (u) = u(a). Montrer que l’application Ja est continue pour la norme k.k∞ . En déduire que la
suite (uk )k∈N∗ ne converge pas dans (E, k.k∞ ).
4. Soit F = {u ∈ E | u(0) = 0}. Montrer que F est une partie fermée de (E, k.k∞ ) et une partie
dense de (E, N ).
Exercice 2
On considère un espace topologique (X, OX ). On rappelle qu’une partie A ∈ P(X) est dense si
Ā = X.
1. Montrer que A ∩ B ⊂ Ā ∩ B̄ et donner un exemple où l’inclusion est stricte.
2. (a) Montrer que A est dense si et seulement si Ac est d’intérieur vide.
(b) Montrer que A est dense si et seulement si, pour tout ouvert non vide U on a A ∩ U 6= ∅.
3. (a) Donner un exemple de deux parties denses dont l’intersection n’est pas dense.
(b) Soient U et V deux ouverts denses de X. Montrer que U ∩ V est dense.
(c) Si (U1 , . . . , Un ) est une famille finie d’ouverts denses, l’intersection U1 ∩ · · · ∩ Un est-elle une
partie dense? Que se passe-t-il pour une famille quelconque ?