F.d`E 2

MATH 452
ÉNONCÉS DES EXERCICES 2
A. ZEYTİN
(1) Supposons que τ1 et τ2 sont topologies sur un ensemble non-vide X. Décider si
I τ1 ∪ τ2
I τ1 ∩ τ2
est un topologie sur X.
(2) Soient f : X −→ Y une fonction et Xi ⊂ X, Yi ⊂ Y où i = 1, 2. Montrer que
I si Y1 ⊂ Y2 alors f−1 (Y1 ) ⊂ f−1 (Y2 )
I f−1 (Y1 ∪ Y2 ) = f−1 (Y1 ) ∪ f−1 (Y2 )
I f−1 (Y1 ∩ Y2 ) = f−1 (Y1 ) ∩ f−1 (Y2 )
I f−1 (Y1 \ Y2 ) = f−1 (Y1 ) \ f−1 (Y2 )
I si X1 ⊂ X2 alors f(X1 ) ⊂ f(X2 )
I f(X1 ∪ X2 ) = f(X1 ) ∪ f(X2 )
(3) Soit X un ensemble non-vide. On pose τ comme l’ensemble de tout les parties, U de X, tel que soit |X \ U| < ∞
soit X \ U = ∅. Montrer que τ est une topologie sur X.
(4) Soit X un ensemble non-vide. On pose τ comme l’ensemble de tout les parties, U de X, tel que soit |X \ U| est
dénombrable1 soit X \ U = ∅. Montrer que τ est une topologie sur X.
(5) Soit X un ensemble non-vide. Un ensemble, B ⊂ P(X), de parties de X est dit une base si:
• pour tout x ∈ X il existe un U ∈ B contenant x, i.e. x ∈ U.
• si pour B1 , B2 ∈ τ avec B1 ∩ B2 6= ∅ alors, il existe B3 ∈ B tel que B3 ⊂ B1 ∩ B2 .
Si B est une base alors
τ(B) := {U ⊂ X : pour tout x ∈ U il existe B ∈ B avec x ∈ B ⊂ U}.
Étant donne une base B de X montrer que τ(B) est une topologie sur X. Cette topologie est dit la topologie
engendré par B.
(6) (Droite de Sorgenfrey) On considère la droite réelle R muni de la topologie engendré par B := {[a, b) : a, b ∈
Ra < b}. On la note par S. Montrer que
I cette topologie sur R est strictement plus fine (c’est-à-dire qu’elle a strictement plus d’ouverts) que la
topologie usuelle (ou standarde)
I chaque intervalle semi-ouvert [a, )b est ouvert dans S, mais aussi fermé.
I une suite (xn ) dans S converge vers L si et seulement si elle approche L par la droite, c’est-à-dire si pour
tout > 0, il existe un indice N ∈ N tel que pour tout n > N, L ≤ xn < L + .
Donner un exemple d’une suite convergente et un exemple d’une suite divergente dans S.
(7) Déterminer la frontière, la clôture et l’intérieur des ensembles suivantes:
I [0, 1) ×√[0, 1] ⊂ R2
I {a + b√−1 ∈ C : a, b ∈ Z}
I {a + b −1 ∈ C : a, b ∈ Q}
I {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
I {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1}
(8) Soit (X, τ) une espace topologique.
I Montrer que si X est Hausdorff alors la limite d’une suite convergente (xn ) dans X est unique.
I Montrer par un exemple que si X n’est pas Hausdorff la limite d’une suite n’est pas nécessairement
unique.
1 Rappeler
qu’un ensemble A est dit dénombrable s’il existe un injection de A vers N.
(9) On considère B = B((a, b), R) = {f : (a, b) −→ R|f est bornée} muni de l’application d : B × B −→ R+ définie
par d(f, g) = supt∈(a,b) |f(t) − g(t)|. Montrer que (B, d) est un espace métrique.
(10) Pour x1 , . . . , xn ∈ R (ou C), montrer que (|x1 | + |x2 | + . . . + |xn |)2 ≤ n(|x1 |2 + . . . + |xn |2 ).
(11) Soit (X, τ) un espace topologique. On dit que X est separable si X possede une partie U qui est dense et dénombrable.
I Montrer que R est separable.
I Montrer que C est separable.
(12) Soit (X, d) un espace métrique et soit (xn ) une suite convergente dans X. Montrer que (xn ) est
I bornée, et
I de Cauchy.
(13) On fixe un nombre réel 1 ≤ p < ∞. Montrer que l’espace


`p := (xn ) : xn ∈ R pour tout n ∈ N,

∞
X
!1/p
|xn |p
n=1


<∞

est un espace complet sous la métrique
dp (xn , yn ) =
∞
X
!1/p
|xi − yi |
p
i=1
(14) Décider si Z muni de la métrique d(n, m) = |n − m| est une espace métrique complet.
(15) Soit c := {(xn ) : xn ∈ R( ou C) et (xn ) −→ xo ∈ R( ou C)}.
I Montrer que c ⊂ `∞ .
I Montrer que c est complet. Indication: Il est suffisante de montrer que c est fermé dans `∞ .