Université dTEl#Oued 2eme année Master Mathématiques Institut

2eme année Master Mathématiques
Module: Topologie générale et applications
Par : Habita Khaled. 2013-14
Université d’El-Oued
Institut de technologie
Département de Maths et Informatiques
Série d’exercices n 3
Exercice n 1: (Homéomorphisme).
Soit f : R ! C n f (x) = 4x
3ix:
1) Montrer que f une application linéaire.
2) f est-elle injective ? est-elle surjective ?
3) Dé…nir l’ensemble f (R) et montrer que g : R ! f (R) est une homéomorphisme.
4) Calculer kgkL(R;C) et kg 1 kL(C;R) :
Exercice n 2: (Continuité de la fonction distance)
Montrer que, si E est un espace métrique alors, la distance est une fonction Lipschitziènne
de E E dans R.
Exercice n 3 : (Topologie co…nie)
Soit E un ensemble. On pose
E : Ac est …nig :
= f?g [ fA
1) Montrer que (E; ) est un espace topologique quasi-compact.
2) Montrer que si E est …nie alors
= P (E) ( est la topologie discrète).
3) En déduire que (E; ) est un espace compact.
4) Montrer que :
(E; P (E)) est compact () E est …ni.
Exercice n 4 : (convergence faible)
Soit (E; k:k) un espace vectoriel normé.
Montrer que :
xn ! x ) xn * x:
1
Exercice n 5 : (Continuité par rapport à une topologie)
Soit
R
la topologie naturelle de R:
On pose
0
= P (N) [ fR; R g :
1) Montrer que
0
est une topologie sur R:
2) Comparer les topologies
R
et
0
(i.e, quelle est la moins …ne que l’autre).
3) Montrer que l’espace topologique (R;
4) Est ce que l’espace topologique (R;
0)
R)
n’est pas compact.
est quasi-compact ? Est-il compact ?
5) Montrer que l’application
f : (R;
0)
! (R;
R)
n f (x) = sin x
n’est pas continue.
6) Est ce que l’application
f : (R;
0)
! (R;
R)
n f (x) =
3;
5;
x=0
x 6= 0:
est continue ?
7) Quelle est la topologie
est continue ?
la moins …ne telle que l’application f : (R; ) ! (R;
2
R)