Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences 2009-2010 L3S6 Topologie Devoir 2 Exercice 1. Soit (X, T ) un espace topologique. On dit qu’une fonction f : X → R ∪ {−∞} est semi-continue supérieurement (scs) si : ∀x tel que f (x) 6= −∞, ∀ε > 0, ∃Ux voisinage de x, ∀y ∈ Ux , f (y) ≤ f (x) + ε, ∀x tel que f (x) = −∞, ∀M < 0, ∃Ux voisinage de x, ∀y ∈ Ux , f (y) ≤ M. On considère la topologie S sur R ∪ {−∞} dont une base est constituée par les [−∞, c[, c ∈ R. Montrer que f est scs si et seulement si f continue pour la topologie S sur R ∪ {−∞}. Exercice 2. 1. Soit X un espace topologique, et D un sous-ensemble (partout) dense dans X. Montrer qu’il est aussi équivalent de dire (i) Le complémentaire de D est d’intérieur vide. (ii) Si F est un fermé contenant D, alors F = X. (iii) D rencontre tout ouvert non vide de X. Montrer qu’un ensemble A ⊂ X rencontre toute partie dense dans X si et seulement si il est d’intérieur non vide. 2. Soit E et G deux ouverts denses dans X ; montrer que E ∩ G est encore dense dans X. En déduire que toute intersection dénombrable d’ouverts denses est une intersection décroissante d’ouverts denses. 1