Programme de colle no 1

MP*1
2016/2017
Programme de colle no 1
Semaine du 12 septembre
Dénombrabilité
Parties d’un ensemble dénombrable, stabilité de la dénombrabilité par union dénombrable et produit
fini. Dénombrabilité de Q, non-dénombrabilité de R via celle de {0, 1}N . Existence de nombres transcendants.
Révisions de première année sur les nombres réels
On revoit les notions de base : maniement des bornes supérieure/inférieure, densité (ce dernier point
sera repris en détail dans le cours de topologie).
Convexité
• Barycentres, parties convexes d’un espace vectoriel réel. Enveloppe convexe. Théorème de Carathéodory.
• Fonctions convexes d’une variable réelle. Caractérisation par la croissance des pentes. Conséquences sur la régularité. Caractérisation par la dérivée. Exemples d’inégalité obtenues par un
argument de convexité. Inégalités de Hölder et de Minkowski dans Rn .
Pas encore de topologie bien entendu.