Liste 5 : Compacts et connexes


J.
Topologie générale
P.
Raskin
Mathonet
Liste 5 : Compacts et connexes
Montrer que la sphère S 2 munie de la topologie initiale relative à la projection
p : (x, y, z) 7→ x est compacte.
Exercice 1.
On considère l'espace topologique (Rn , E). Montrer que si xm → x, alors {xm | m ∈
N} ∪ {x} est compact. Est-ce toujours le cas de {xm | m ∈ N} ?
Exercice 2.
√
Considérons l'ensemble X = N ∪ { 2} et
Exercice 3.
T = {U ⊂ X |
√
2∈
/ U ou X\U est ni}.
Montrer que T est une topologie sur X et que (X, T ) est un espace de Boole, c'est-à-dire qu'il est
compact, séparé et admet une base d'ouverts fermés.
Soient X un ensemble, A une partie de X et T la topologie sur X contenant le vide
et les parties de X contenant A. Quels sont les compacts de (X, T ) ? Justier.
Exercice 4.
Soit (X, T ) un espace topologique régulier. Montrer que si K est un compact de
(X, T ), alors K en est un aussi.
Exercice 5.
Exercice 6. Soient (X, T ) un espace topologique et B une base de T . Montrer que (X, T ) est
compact si et seulement si de tout recouvrement de X par des ouverts de B, on peut extraire un
recouvrement ni.
Exercice 7
(Bonus). Quels sont les compacts de R2 muni de la distance dSN CF suivante ?
dSN CF (x, y) =
d(x, y)
d(x, 0) + d(0, y)
si x = λy, λ ∈ R
sinon.
Exercice 8. Montrer que (X, T ) est connexe si et seulement si toute application continue de X
dans {0, 1} (muni de la topologie discrète) est constante.
(TVI). Montrer que (X, T ) est connexe si et seulement si, pour toute application
continue f : X → R et tous a, b, c ∈ R tels que a, b ∈ f (X) et a ≤ c ≤ b, on a c ∈ f (X).
Exercice 9
Exercice 10.
Montrer qu'un espace topologique inni muni de la topologie conie est connexe.
Exercice 11. Soit (X, T ) un espace topologique accessible et connexe. Montrer que tout ouvert
propre non vide de (X, T ) est inni.
Considérons X = ({0} × [−1, 1]) ∪ ([−1, 1] × {0}) muni de la topologie T induite
par la topologie euclidienne de R2 . Montrer que (X, T ) est connexe et déterminer les points (x, y)
de X tels que X\{(x, y)} est connexe.
Exercice 12.
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