Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement

Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
! − →
"
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, →
u,−
v .
On note C l’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1) Proposition : Pour tout entier naturel n : (1 + i)4n = (−4)n .
!
"
2) Soit (E) l’équation (z − 4) z2 − 4z + 8 = 0 où z désigne un nombre complexe.
Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans C, de (E) sont les sommets d’un triangle
d’aire 8.
3) Proposition : Pour tout nombre réel α, 1 + e2iα = 2eiα cos(α).
1
n
4) Soit A le point d’affixe zA = (1 + i) et Mn le point d’affixe (zA ) où n désigne un entier naturel supérieur
2
ou égal à 2.
Proposition : si n − 1 est divisible par 4, alors les points O, A et Mn sont alignés.
5) Soit j le nombre complexe de module 1 et d’argument
Proposition : 1 + j + j2 = 0.
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1
2π
.
3
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Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
Proposition 1.
VRAI
Proposition 2.
FAUX
Proposition 3.
VRAI
Proposition 4.
VRAI
Proposition 5.
VRAI
!
"2
1) (1 + i)2 = 1 + 2i − 1 = 2i puis (1 + i)4 = (1 + i)2 = (2i)2 = −4. Soit alors n un entier naturel.
La proposition 1 est vraie.
!
"n
(1 + i)4n = (1 + i)4 = (−4)n .
2) Soit z un nombre complexe.
!
"
(z − 4) z2 − 4z + 8 = 0 ⇔ z = 4 ou z2 − 4z + 8 = 0.
Le discriminant de l’équation z2 − 4z + 8 = 0 est ∆ = (−4)2 − 4 × 1 × 8 = −16 < 0. L’équation z2 − 4z + 8 = 0 admet
−(−4) + 4i
donc deux solutions non réelles conjuguées à savoir z1 =
= 2 + 2i et z2 = z1 = 2 − 2i.
2
Les solutions de l’équation (E) dans C sont 4, 2 + 2i et 2 − 2i.
2
1
1
2
3
4
−1
−2
L’aire du triangle dont les sommets ont pour affixes les solutions de (E) est la moitié de l’aire du rectangle de sommets
4×2
les points de coordonnées (2, 2), (4, 2), (4, −2) et (2, −2). Cette aire est égale à
= 4. La proposition 2 est fausse.
2
3) Soit α un nombre réel.
!
"
1 + e2iα = eiα e−iα + eiα = eiα (cos α − i sin α + cos α + i sin α) = 2eiα cos(α).
La proposition 3 est vraie.
√
√
4) |1 + i| = 12 + 12 = 2 puis
√ #
$ √ %
%π&
% π && √2 iπ
2
2
1
1
1
√ + i√
cos
+ i sin
=
(1 + i) =
=
e4.
2
2
2
4
4
2
2
2
% −−→&
!
π
nπ
π
n"
−
[2π] puis arg (zMn ) = arg (zA ) =
[2π]. On en déduit que →
u , OA =
[2π] et
En particulier, arg (zA ) =
4
4
4
% −−−→& nπ
−
que →
u , OMn =
[2π] puis que
4
% −−→& % −−−→&
%−−→ −−−→& %−−→ & % −−−→&
π nπ
(n − 1)π
−
−
−
−
OA, OMn = OA, →
u + →
u , OMn = − →
u , OA + →
u , OMn = − +
=
[2π].
4
4
4
Supposons de plus que n − 1 soit divisible par 4. Posons n = 4p où p est un entier naturel.
%−−→ −−−→& 4pπ
= pπ [2π].
OA, OMn =
4
Mais alors les points O, A et Mn sont alignés. La proposition 4 est vraie.
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5) j = e
2iπ
3
puis
2
1 + j + j = 1 + cos
#
2π
3
$
+ i sin
#
2π
3
$
+ cos
#
4π
3
$
+ i sin
#
4π
3
$
√
√
1
3 1
3
=1− +i
− −i
= 0.
2
2
2
2
La proposition 5 est vraie.
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