Chapitre XII : Trigonométrie (Couche n°2)

Chapitre XII : Trigonométrie
(Couche n°2)
I. Version collège : dans un triangle rectangle
1. Définitions
Dans un triangle rectangle, on peut connaître la mesure de chaque angle aigu en calculant le rapport de deux
côtés du triangle. Ces rapports sont appelés cosinus, sinus et tangente.
AC
cos α = BC
AB
sin α = BC
sin α
AB
tan α =
=
cos α AC
2. Unités d’angle
a) Le degré et le radian
Le degré est l’unité de mesure d’angle historique. Cette échelle de mesure est définie ainsi : un angle plat
mesure 180 degrés (au fait, pourquoi 180 et pas un autre nombre ?)
Le radian est l’unité utilisée par les mathématiciens. Sa définition est qu’un angle plat mesure π radians.
Cette définition permet le calcul immédiat des longueurs d’arc. En effet, lorsque la mesure de l’angle qui
sous-tend un arc est exprimée en radians, la longueur de l’arc est égale au produit de l’angle par le rayon.
b) Conversions d’unités
La mesure d’un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degré. Pour convertir une mesure, il suffit
donc d’utiliser un tableau de proportionnalité en se souvenant que π rad correspondent à 180°.
Mesure en degrés
0
Mesure en radians
0
30
45
60
90
6
4
3
2
π
π
π
180
π
π
270
3π
2
360
2π
1) Donnez la mesure en radians d’un angle de 126°.
2) Donnez la mesure en degrés d’un angle de π8 rad.
3. Applications immédiates (
)
a) Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté
On en déduit que
cos
π
3
=
a mesure
3
a.
2
1
π
3
et que cos =
.
2
6
2
b) Calcul de la diagonale d’un carré
La diagonale d’un carré de côté
Chapitre 12 : Trigonométrie
c mesure
2 c . On en déduit que cos
1/5
π
4
=
2
2
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II. Version lycée : dans le cercle trigonométrique
1. Définition du cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique un cercle dont le rayon mesure une unité, muni d’un sens direct : le sens
inverse des aiguilles d’une montre. On parle également de sens trigonométrique, ou de sens positif (et à
l’inverse, de sens indirect ou négatif).
2. Enroulement de l’axe des réels sur le cercle
On considère le repère orthonormé (O ; I, J) tel que
l’origine du repère coïncide avec le centre du cercle
trigonométrique.
A chaque point de l’axe des réels, on fait
correspondre un unique point du cercle.
Ainsi, 0 a
π
I,
2
a J et 2π a I ,
J
3π
aJ.
2
-1
+
I 0
O
(on remarque plusieurs réels peuvent correspondre à
un même point du cercle)
A chaque point du cercle correspond une infinité de
réels de l’axe.
- -1
a) Correspondance non univoque
Soit un point
M du cercle trigonométrique et un réel x de l’axe tel que x corresponde à M ( x a M ).
(x + k × 2π ) a M ).
Alors pour tout entier relatif k , le réel x + k × 2π correspond à M (i.e. :
Dans chaque cas, dire si les deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique.
a) x
=
9π
5π
et x ' = −
7
7
b) x
=
13π
4π
et x ' = −
9
9
b) Notion d’angle orienté
x de l’axe tel que x corresponde à M .
On dit que x est une mesure (en radians) de l’angle orienté OI; OM . On note OI ; OM = x rad .
Lorsque x ∈ ] − π ; π ] , on dit qu’il s’agit de la mesure principale de l’angle.
Soit un point M donné du cercle trigonométrique et un réel
(
)
(
)
Remarques :
La mesure d’un angle orienté peut-être négative.
Dans ce cas, on tourne dans le sens indirect.
Sur une figure géométrique, un angle orienté se
code avec son sens.
On omet souvent l’unité radian
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3. Cosinus, sinus et tangente d’un nombre réel
a) Définitions des fonctions circulaires
On considère le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé (O ; I, J).
Soit
α
un réel et
(
)
M un point du cercle tel que OI ; OM = α rad .
On appelle fonctions circulaires (ou trigonométriques) les trois fonctions définies ainsi :
On appelle cosinus de α (notée cos(α ) ), l’abscisse de M .
On appelle sinus de
α
On appelle tangente de
(notée
α
sin (α ) ), l’ordonnée de M .
(notée
tan (α ) ) comme : tan (α ) =
Remarques :
On peut lire graphiquement la valeur de
sin (α )
.
cos(α )
tan (α ) sur la
tangente au cercle.
La tangente n’est pas définie pour les réels dont le
cosinus est nul (ex : π2 , −2π , 32π , …).
Lorsqu’il n’y a pas ambigüité de notation, on écrit sans
les parenthèses : cos x , sin x , tan x .
Ex :
cos(2 x + 1) , cos 2 x
De même :
(cos(x ))2
= cos 2 ( x ) = cos 2 x
b) Valeurs remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0
tan x
0
π
π
π
π
6
4
2
3
2
1
2
2
2
2
2
3
1
2
3
3
1
π
0
−1
3
2
1
0
3
/!\
0
Remarques :
Ce tableau est à connaître par cœur !
On peut s’en souvenir efficacement en comprenant sa structure et en retenant seulement le cosinus.
DEMONSTRATION (
)
Démontrez le tableau de valeurs ci-dessus à l’aide des pistes ci-dessous :
• Pour 0 , π2 et π : par contemplation du cercle trigonométrique
Pour
π
•
Pour
π
•
Pour
π
•
3
6
4
: hauteur du triangle équilatéral (cf. I.3.a)
: complémentaire de
π
3
.
: diagonale du carré (cf. I.3.b)
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4. Utilisation de la calculatrice
La calculatrice (en mode RADIAN !) est capable de déterminer un réel à
partir de son cosinus (ou de son sinus).
Néanmoins, la correspondance non univoque des réels avec les points
du cercle trigonométrique fait que le résultat de la calculatrice peut être
faussé. Plus précisément :
arccos renvoie un réel dans l’intervalle [ 0 ; π ] .
Si le réel cherché appartient à ] − π ; 0 [ , ce sera − arccos x .
La fonction
La fonction arcsin renvoie un réel dans l’intervalle
 π π
− 2 ; 2  .
 π 3π 
 2 ; 2  , ce sera π − arcsin x .
 π 3π 
, ce sera − (π − arcsin x ) .
Si le réel cherché appartient à  ;
 2 2 
Si le réel cherché appartient à
A l’aide de la calculatrice, déterminez l’arrondi au centième du réel
a)
 π 3π 
sin x = 0,9 et x ∈  ; 
2 2 
x tel que :
cos x = 0,1 et x ∈ [− π ; 0 ]
b)
5. Propriétés classiques des lignes trigonométriques
a) Issues de la définition du sinus et du cosinus
Pour tout réel
x,
− 1 ≤ cos x ≤ 1
− 1 ≤ sin x ≤ 1
cos 2 x + sin 2 x = 1
b) Périodicité
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques, de période 2π .
i.e. :
Pour tout réel x ,
cos( x + 2π ) = cos x et
sin (x + 2π ) = sin x
c) Symétries
x ∈ , cos(− x ) = cos x ).
Le graphe de sin est symétrique par rapport à O (i.e. : pour tout x ∈ , sin (− x ) = − sin x ).
Le graphe de cos est symétrique par rapport à (Oy) (i.e. : pour tout
Calculez le cosinus et le sinus des réels suivants : a)
−
π
3
b)
5π
3
d) Propriétés angulaires (Programme de 1ère S)
x
cos
sin
tan
−x
(symétrie)
cos x
− sin x
− tan x
π −x
π +x
− cos x
sin x
− tan x
− cos x
− sin x
tan x
π
−x
2
sin x
cos x
cot x
π
+x
2
− sin x
cos x
− cot x
2π + x
(périodicité)
cos x
sin x
tan x
DEMONSTRATION (Par contemplation du cercle trigonométrique).
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III.Fonctions circulaires (Programme de 1ère S)
cos sont définies sur
cos est l'intervalle [− 1;1 ] .
Les fonctions sin et cos étant 2π -périodiques, il est suffisant d’étudier leurs variations sur un intervalle
de diamètre 2π .
Les fonctions sin et
L’image de sin et
x
−π
sin(x)
0
cos( x)
−
π
2
2
1
0
−1
1
0
−1
π
0
0
A l’aide du cercle trigonométrique, dressez le tableau de variations de
Les fonctions
sin et cos admettent une infinité d’extrema sur
Graphe de
Les courbes des fonctions
π
0
−1
cos sur [− 7π ; − 5π ] .
.
sin (en trait plein) et cos (en pointillés)
sin et cos sont appelées sinusoïdes.
La courbe représentative de
sin est l’image de celle de cos par la translation de vecteur AB =
C’est l’explication géométrique de la formule : « pour tout
 π
t ∈ , sin  t +  = cos(t ) ».
2

π
2
OI .
Dans chaque cas, comparez les deux nombres sans utiliser la calculatrice.
a)
π 
π 
sin   et sin  
7
 12 
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b)
5/5
π 
π 
cos  et cos 
7
 12 
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