Formulaire PanaMaths → Trigonométrie circulaire

Formulaire PanaMaths
Æ Trigonométrie circulaire
Ensembles de définition
Fonction
sin
cos
sin
tan =
cos
cos
cotan =
sin
Ensemble de définition
\
\
⎧π
⎫
\ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬
⎩2
⎭
\ − {kπ , k ∈ ]}
Valeurs prises pour des angles simples
Angle
(radians)
Angle (degrés)
0
sin
0
cos
1
tan
0
cotan
0
ND
π
6
30
1
2
3
2
1
3
3
π
4
45
1
2
1
2
π
3
60
3
2
1
2
π
2
90
180
3π
2
270
1
0
-1
0
−1
0
1
3
ND
0
ND
1
1
3
0
ND
0
π
Dans le tableau ci-dessus, « ND » signifie « Non Définie ».
Périodicité
Le sinus et le cosinus sont 2π - périodiques.
La tangente et la cotangente sont π - périodiques.
PanaMaths
[1-8]
Décembre 2001
Relations entre les fonctions trigonométriques
Relation fondamentale
cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) = 1
Relations entre le sinus et le cosinus
Les relations suivantes sont valables ∀x ∈ \ :
⎛π
⎞
sin ⎜ − x ⎟ = cos ( x )
⎝2
⎠
⎛π
⎞
sin ⎜ + x ⎟ = cos ( x )
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cos ⎜ − x ⎟ = sin ( x )
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cos ⎜ + x ⎟ = − sin ( x )
⎝2
⎠
Relations entre la tangente et la cotangente
⎧ π
⎫
La relation suivante est valable ∀x ∈ \ − ⎨k , k ∈ ] ⎬ :
⎩ 2
⎭
tan ( x ) cotan ( x ) = 1
Les relations suivantes sont valables
∀x ∈ \ − {kπ , k ∈ ]} :
Les relations suivantes sont valables
⎧π
⎫
∀x ∈ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬ :
⎩2
⎭
⎛π
⎞
tan ⎜ − x ⎟ = cotan ( x )
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cotan ⎜ − x ⎟ = tan ( x )
⎝2
⎠
⎛π
⎞
tan ⎜ + x ⎟ = −cotan ( x )
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cotan ⎜ + x ⎟ = − tan ( x )
⎝2
⎠
PanaMaths
[2-8]
Décembre 2001
Relation entre le cosinus et la tangente
⎧π
⎫
La relation suivante est valable ∀x ∈ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬ :
⎩2
⎭
cos 2 ( x ) =
1
1 + tan 2 ( x)
Relation entre le sinus et la cotangente
La relation suivante est valable ∀x ∈ \ − {kπ , k ∈ ]} :
sin 2 ( x ) =
1
1 + cotan 2 ( x)
Symétries
Les relations suivantes sont valables ∀x ∈ \ :
sin ( − x ) = − sin ( x )
sin (π − x ) = sin ( x )
sin (π + x ) = − sin ( x )
cos ( − x ) = cos ( x )
cos (π − x ) = − cos ( x )
cos (π + x ) = − cos ( x )
⎧π
⎫
Les relations suivantes sont valables ∀x ∈ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬ :
⎩2
⎭
tan ( − x ) = − tan ( x )
tan (π − x ) = − tan ( x )
tan (π + x ) = tan ( x )
PanaMaths
[3-8]
Décembre 2001
Les relations suivantes sont valables ∀x ∈ \ − {kπ , k ∈ ]} :
cotan ( − x ) = −cotan ( x )
cotan (π − x ) = −cotan ( x )
cotan (π + x ) = cotan ( x )
Argument somme ou différence de deux angles
Les relations suivantes sont valables ∀ ( x, y ) ∈ \ 2 :
sin ( x + y ) = sin( x) cos ( y ) + cos( x) sin( y )
sin ( x − y ) = sin( x) cos ( y ) − cos( x) sin( y )
cos ( x + y ) = cos ( x ) cos( y ) − sin( x) sin( y )
cos ( x − y ) = cos( x) cos ( y ) + sin( x) sin( y )
2
⎛
⎧π
⎫⎞
Les relations suivantes sont valables ∀ ( x, y ) ∈ ⎜ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬ ⎟ et tels que :
⎩2
⎭⎠
⎝
⎧π
⎫
1. x + y ∈ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬
⎩2
⎭
tan ( x + y ) =
tan( x) + tan( y )
1 − tan( x) tan( y )
⎧π
⎫
2. x − y ∈ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬
⎩2
⎭
tan ( x − y ) =
tan( x) − tan( y )
1 + tan( x) tan( y )
Les relations suivantes sont valables ∀ ( x, y ) ∈ ( \ − {kπ , k ∈ ]} ) et tels que :
2
1. x + y ∈ \ − {kπ , k ∈ ]}
cotan ( x + y ) =
PanaMaths
cotan( x)cotan( y ) − 1
cotan( x) + cotan( y )
[4-8]
Décembre 2001
2. x − y ∈ \ − {kπ , k ∈ ]}
cotan ( x − y ) = −
cotan( x)cotan( y ) + 1
cotan( x) − cotan( y )
Cas particulier : angle double :
1. Les relations suivantes sont valables ∀x ∈ \ :
sin ( 2 x ) = 2sin( x) cos ( x )
cos ( 2 x ) = cos 2 ( x ) − sin 2 ( x) = 2 cos 2 ( x ) − 1 = 1 − 2sin 2 ( x)
π
⎧π
⎫
2. La relation suivante est valable ∀x ∈ \ − ⎨ + k , k ∈ ] ⎬ :
2
⎩4
⎭
tan ( 2 x ) =
2 tan( x)
1 − tan 2 ( x)
⎧ π
⎫
3. La relation suivante est valable ∀x ∈ \ − ⎨k , k ∈ ] ⎬ :
⎩ 2
⎭
cotan ( 2 x ) =
cotan 2 ( x) − 1
2cotan( x)
Formule de MOIVRE et généralisation
cos(nx) + i sin(nx) = ( cos( x) + i sin( x) )
n
De la formule de MOIVRE on tire, pour tout entier n non nul donné (les relations suivantes
sont valables ∀x ∈ \ ) :
cos ( nx ) = cos n ( x ) − Cn2 cos n − 2 ( x) sin 2 ( x) + Cn4 cos n − 4 ( x) sin 4 ( x) − ...
sin ( nx ) = C1n cos n −1 ( x) sin( x) − C3n cos n −3 ( x) sin 3 ( x) + ...
PanaMaths
[5-8]
Décembre 2001
Transformation des sommes
Les relations suivantes sont valables ∀ ( x, y ) ∈ \ 2 :
⎛ x+ y⎞
⎛ x− y⎞
sin( x) + sin( y ) = 2sin ⎜
⎟ cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ x− y⎞
⎛ x+ y⎞
sin( x) − sin( y ) = 2sin ⎜
⎟ cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ x+ y⎞
⎛ x− y⎞
cos( x) + cos( y ) = 2 cos ⎜
⎟ cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ x+ y⎞ ⎛ x− y⎞
cos( x) − cos( y ) = −2sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛π x+ y ⎞
⎛π x− y ⎞
sin( x) + cos( y ) = 2sin ⎜ +
⎟
⎟ cos ⎜ −
2 ⎠
2 ⎠
⎝4
⎝4
⎛π x+ y ⎞
⎛π x− y ⎞
sin( x) − cos( y ) = −2sin ⎜ −
⎟ cos ⎜ +
⎟
2 ⎠
2 ⎠
⎝4
⎝4
2
⎛
⎧π
⎫⎞
Les relations suivantes sont valables ∀ ( x, y ) ∈ ⎜ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬ ⎟ :
⎩2
⎭⎠
⎝
sin( x + y )
cos( x) cos( y )
sin( x − y )
tan( x) − tan( y ) =
cos( x) cos( y )
tan( x) + tan( y ) =
Les relations suivantes sont valables ∀ ( x, y ) ∈ ( \ − {kπ , k ∈ ]} ) :
2
sin( x + y )
sin( x) sin( y )
sin( x − y )
cotan( x) − cotan( y ) = −
sin( x) sin( y )
cotan( x) + cotan( y ) =
⎧π
⎫
Les relations suivantes sont valables ∀ ( x, y ) ∈ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬ × \ − {kπ , k ∈ ]} :
⎩2
⎭
cos( x − y )
cos( x) sin( y )
cos( x + y )
tan( x) − cotan( y ) = −
cos( x) sin( y )
tan( x) + cotan( y ) =
PanaMaths
[6-8]
Décembre 2001
Transformation des produits
Les relations suivantes sont valables ∀ ( x, y ) ∈ \ 2 :
1
( cos( x − y ) − cos( x + y ) )
2
1
cos( x) cos( y ) = ( cos( x + y ) + cos( x − y ) )
2
1
sin( x) cos( y ) = ( sin( x + y ) + sin( x − y ) )
2
sin( x) sin( y ) =
2
⎛
⎧π
⎫⎞
La relation suivante est valable ∀ ( x, y ) ∈ ⎜ \ − ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬ ⎟ :
⎩2
⎭⎠
⎝
tan( x) tan( y ) =
cos( x − y ) − cos( x + y )
cos( x − y ) + cos( x + y )
La relation suivante est valable ∀ ( x, y ) ∈ ( \ − {kπ , k ∈ ]} ) :
2
cotan( x)cotan( y ) =
cos( x − y ) + cos( x + y )
cos( x − y ) − cos( x + y )
Expressions en fonction de l’angle moitié
⎛ x⎞
Avec la simplification d’écriture : t = tan ⎜ ⎟ , on a :
⎝ 2⎠
Les relations suivantes sont valables ∀x ∈ \ − {π + 2kπ , k ∈ ]} :
1− t2
cos ( x ) =
1+ t2
2t
sin ( x ) =
1+ t2
⎛
⎧π
⎫⎞
La relation suivante est valable ∀x ∈ \ − ⎜ {π + 2kπ , k ∈ ]} ∪ ⎨ + kπ , k ∈ ] ⎬ ⎟ :
⎩2
⎭⎠
⎝
tan ( x ) =
PanaMaths
2t
1− t2
[7-8]
Décembre 2001
La relation suivante est valable ∀x ∈ \ − {kπ , k ∈ ]} :
cotan ( x ) =
PanaMaths
1− t2 1 ⎛ 1 ⎞
= ⎜ −t⎟
2t
2⎝t ⎠
[8-8]
Décembre 2001