Cours d`Ondes Électromagnétiques - Université Nice Sophia Antipolis

Ondes Électromagnétiques
Iannis Aliferis
École Polytechnique de l’Université Nice Sophia Antipolis
Polytech’Nice Sophia
Département d’Électronique, 3e année, 2012–2013
http://www.polytech.unice.fr/~aliferis
Introduction
Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les 4 forces fondamentales . . . . . . . . . . . . . . .
Scalaire, vecteur, système de coordonnées . . . . .
Vecteur de position; produit scalaire et vectoriel.
Champ scalaire, champ vectoriel . . . . . . . . . . .
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3
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5
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Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell (régime temporel) . .
La divergence: un champ scalaire . . . . . . . . . .
Le rotationnel: un champ vectoriel . . . . . . . . .
Régime harmonique: amplitude complexe . . . .
Avantages de la notation complexe . . . . . . . .
Les équations de Maxwell (régime harmonique)
Les champs D et H; relations constitutives . . .
Les équations de Maxwell (lhi; harmonique) . .
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Ondes électromagnétiques(milieux lhi sans pertes)
Équation d’ondes (temporel) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équation de Helmholtz (harmonique) . . . . . . . . . . .
Onde plane, progressive, monochromatique vers +z .
Onde électromagnétique PPM selon k̂ . . . . . . . . . .
Amplitude complèxe d’une OPPM . . . . . . . . . . . . .
Propriétés d’une OPPM (milieu sans pertes)
...
Impédance caractéristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation linéaire d’une OPPM . . . . . . . . . . . . .
Polarisation circulaire d’une OPPM
.........
Permittivité relative: quelques valeurs typiques . . . . .
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Ondes électromagnétiques(milieux lhi avec pertes)
Types de pertes dans la matière. . . . . . . . . . . . . . .
Permittivité effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre d’onde complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficients α et β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
École Polytechnique de l’UNS
Polytech’Nice-Sophia
Département d’Électronique, 3e année
2012–2013
Milieu lhi sans pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Milieu lhi avec pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
OPPM dans les conducteurs
35
Conducteurs: bons et parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Le nombre d’onde dans un bon conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
OPPM dans un bon conducteur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Puissance électromagnétique: vecteur de Poynting
Énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Puissances: pertes et transport; Poynting . . . . . . . .
[Produit de deux fonctions harmoniques]. . . . . . . . .
Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques . . . .
OPPM énergie électrique = magnétique . . . . . . . . .
OPPM densité de puissance transportée . . . . . . . . .
Réflexion / transmission entre deux milieux lhi
Conditions aux limites entre deux milieux lhi . . .
Incidence normale sur une interface . . . . . . . . .
Incidence normale: conditions aux limites . . . . .
Incidence normale: coefficients amplitude . . . . .
Incidence normale: coefficients puissance. . . . . .
Incidence normale, structure multicouche . . . . .
Incidence oblique sur une interface: définitions . .
Incidence oblique ⊥: champs . . . . . . . . . . . . . .
Incidence oblique ⊥: Snel – Descartes . . . . . . .
Incidence oblique ⊥: conditions aux limites . . . .
Incidence oblique ⊥: coefficients amplitude
.
Incidence oblique ⊥: coefficients puissance . . . .
Incidence oblique k: champs . . . . . . . . . . . . . .
Incidence oblique k: conditions aux limites . . . .
Incidence oblique k: coefficients amplitude
..
Incidence oblique k: coefficients puissance . . . . .
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62
Propagation guidée
Lignes de transmission, guides d’ondes . . . . . . . .
Guide métallique à plaques parallèles 1 . . . . . . . .
Guide métallique à plaques parallèles 2 . . . . . . . .
Guide métallique à plaques parallèles: récapitulatif
Guide métallique de section rectangulaire . . . . . .
Guide métallique de section rectangulaire: TM. . .
Guide métallique de section rectangulaire: TE . . .
Guide métallique: propriétés de propagation. . . . .
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. 71
Dispersion
Définition du phénomène .
Exemple: deux fréquences .
Vitesse de groupe . . . . . .
Enveloppe gaussienne. . . .
Délai de groupe . . . . . . .
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2012–2013
Ce document contient les transparents du cours mais il n’est en aucun cas complet (auto-suffisant) ; une
grande quantité d’information (commentaires, explications, diagrammes, démonstrations etc.) est donnée
pendant les séances, oralement ou à l’aide du tableau.
Le logo du logiciel R à droite d’un titre contient un lien vers le script illustrant les résultats présentés
dans le transparent. L’étude du graphique (mais pas celle du script !) fait partie intégrante du cours. Tous
les scripts sont accessibles dans la partie « Documents / Compléments multimédia » du site :
http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/ondes_electromagnetiques/
Toutes les ressources externes, disponibles en lien hypertexte à partir de ce document, sont aussi répertoriées
dans la partie « Ressources Externes » du site :
http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/elec3/ondes_electromagnetiques/
Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin, MIT : Walter Lewin, 8.02 Electricity
and Magnetism, Spring 2002. (Massachusetts Institute of Technology : MIT OpenCourseWare),
http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-2002/
(Accessed September 9, 2009). License : Creative Commons BY-NC-SA.
Document préparé avec LATEX et powerdot, sous licence Creative Commons BY-NC-SA :
Paternité – Pas d’Utilisation Commerciale – Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France.
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Introduction
2
Plan du cours
H
H
Lignes de transmission (8 séances CM ; 4 TD ; 1 DS)
Ondes électromagnétiques (14 séances CM ; 7 TD ; 1 DS)
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Introduction
Les équations de Maxwell
Ondes planes dans les milieux linéaires
Énergie et puissance ; le vecteur de Poynting
Réflexion / transmission
Propagation guidée
Dispersion
3
Les 4 forces fondamentales
H
H
H
H
Force
Force
Force
Force
gravitationnelle
électromagnétique
nucléaire faible
nucléaire forte
~em = q(E
~ +~
~
F
v ∧ B)
~ et B.
~
Exercée sur une charge q de vitesse ~
v se déplaçant dans un champ E
~
~
H E, B : champ électrique / magnétique
4
4
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Scalaire, vecteur, système de coordonnées
Scalaire Φ
Objet mathématique représentant une seule valeur
~ (mathinsight.org)
H Vecteur A
Objet mathématique représentant
~ ou A
◮ une norme (scalaire) : kAk
◮ une direction
H
H
Trois composantes + des propriétés de transformation
Vecteur unitaire â
Vecteur représentant uniquement une direction
~
â = A~
kAk
H
Système de coordonnées
Façon de décrire les points de l’espace :
cartésien (x, y, z) ; cylindrique (ρ, φ, z) ; sphérique (r, θ, φ)
Trois vecteurs unitaires (en cart. : êx , êy , êz )
montrant la direction d’augmentation de la coordonnée en indice
5
Vecteur de position ; produit scalaire et vectoriel
H
Vecteur de position ~
r
Il relie l’origine du système des coordonnées à un point M
~
r = xêx + yêy + zêz
H
(en coord. cart.)
~ ·B
~ (mathinsight.org)
Produit scalaire A
~ ·B
~ = AB cos θ cart
A
= Ax Bx + Ay By + Az Bz
~ · n̂ = A cos θ, la projection de A
~ sur n̂
Cas spécial 1 : A
2
~ ·A
~ = A , le carré de la norme
Cas spécial 2 : A
~
~ (mathinsight.org)
H Produit vectoriel A ∧ B
~
~
Norme : kA ∧ Bk = AB sin θ
~ vers B
~
Orientation : règle de la main droite, de A
êx êy êz ~ ∧B
~ cart
~ ∧B
~ ⊥A
~ et B
~
A
= Ax Ay Az A
Bx By Bz 5
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Champ scalaire, champ vectoriel
Champ scalaire : l’association à chaque point de l’espace d’un scalaire (un seul nombre) : p.ex.
température, altitude, . . .
H Un champ scalaire est une fonction de 3 variables
p.ex. en coordonnées cartésiennes : Φ(x, y, z)
H Champ vectoriel : l’association à chaque point de l’espace d’un vecteur (module et direction) :
p.ex. vent, vitesse, . . .
H Un champ vectoriel est un ensemble de 3 fonctions (les composantes) chacune de 3 variables (les
coordonnées) :


Ax (x, y, z)
~
A(x,
y, z) = Ay (x, y, z) 
Az (x, y, z)
H
H
Ne pas confondre composantes et coordonnées !
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6
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Équations de Maxwell
8
Les équations de Maxwell (régime temporel)
H
Maxwell, 1864
~ r , t) = ̺(~
div D(~
r , t)
~ r , t) = 0
div B(~
Gauss électrique
Gauss magnétique
~ r , t)
∂ B(~
−
→~
rot E(~
r , t) = −
∂t
~ r , t)
−
→ ~
~ r , t) + ∂ D(~
rot H(~
r , t) = J(~
∂t
Faraday
Maxwell-Ampère
H
H
H
H
H
H
H
(1)
(2)
(3)
(4)
E~ : champ électrique (V m−1 )
~ : induction électrique (C m−2 )
D
~ : induction magnétique (T)
B
~ : champ magnétique (A m−1 )
H
̺ : densité volumique de charge (libre) (C m−3 )
J~ : densité de courant (libre) (A m−2 )
Charges et courants : les sources des champs
9
7
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La divergence : un champ scalaire
~ r ) (mathinsight.org)
Divergence d’un champ vectoriel : div A(~
Scalaire : une valeur (<, =, > 0) à chaque point de l’espace
Volume élémentaire (p.ex. petite sphère) autour d’un point ;
~ percent la surface du volume ;
les vecteurs de A
~ > 0 ; s’ils rentrent, div A
~ <0
s’ils sortent, div A
H Calculer la divergence en coordonnées cartésiennes :
H
H
H
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az
div A
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
astuce
=
êx +
êy +
êz ·(Ax êx + Ay êy + Az êz )
∂x
∂y
∂z
|
{z
}
~ nabla
∇
~ ·A
~
,∇
H
H
~ ·A
~
Formules + compliquées dans les autres systèmes ; on note toujours ∇
~ · (wA)
~ = w∇
~ ·A
~
Utile : si w une constante, ∇
10
Le rotationnel : un champ vectoriel
H
H
H
H
H
H
H
H
H
−
→~
Rotationnel d’un champ vectoriel : rot A(~
r ) (mathinsight.org)
Vecteur, indiquant la tendance du champ à « tourner »
Plus subtil : plonger un « moulin » dans le champ ;
le maintenir au même point, changer d’orientation, chercher la vitesse de rotation la plus élevée
−
→~
Direction de rot A(~
r ) : axe du moulin
−
→ ~
Sens de rot A(~
r ) : règle de la main droite
−
→ ~
Module de rot A(~
r ) ∝ vitesse de rotation du moulin
Calculer le rotationnel en coordonnées cartésiennes :
êx êy êz −
→ ~ ∂
∂
∂ astuce ~
~
rot A
= ∂x ∂y
∂z = ∇ ∧ A
A A A x
y
z
~ ∧A
~
Formules + compliquées dans les autres systèmes ; on note toujours ∇
~
~
~
~
Utile : si w une constante, ∇ ∧ (wA) = w∇ ∧ A
11
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Régime harmonique : amplitude complexe
H
H
On s’interesse uniquement aux phénomènes d’oscillation
« Dépendance temporelle harmonique » :
~ r , ω)cos(ωt + φ(~
~ r , t) = E(~
r , ω))
E(~
~ r , ω) et de phase initiale φ(~
Oscillations d’amplitude E(~
r , ω)
j θ
j
θ
Euler : e = cos θ + j sin θ −→ cos θ = Re e
~ r ,t) :
H Réécrire le champ E(~
n
o
~ r , ω)Re e j (ωt+φ(~r,ω))
~ r , t) = E(~
E(~
o
n
~ r , ω)e j φ(~r,ω) e j ωt
= Re E(~
H
H
H
~ r , ω) , E(~
~ r , ω)e j φ(~r,ω) :
On définit l’amplitude complexe Ẽ(~
o
n
~ r , ω)e+ j ωt
~ r , t) = Re Ẽ(~
E(~
H
(5)
~ r , ω) fréquence
~ r , t) ←→ Ẽ(~
temps E(~
12
Avantages de la notation complexe
H
H
On se débarasse du temps t !
Opération linéaire :
Si
alors
~ (~
E~1,2 (~
r , t) ←→ Ẽ
1,2 r , ω)
~ r , ω)
~ (~
~2 (~
c1 E~1 (~
r , t) + c2 E
r , t) ←→ c1 Ẽ
1 r , ω) + c2 Ẽ2 (~
On ne multiplie jamais les amplitudes complexes !
(sauf une exception : puissance/énergie moyenne, cf. tr.#42)
H Les dérivées temporelles se simplifient :
H
∂ ~
~ r , ω)
E(~
r , t) ←→ j ω Ẽ(~
∂t
H
~ r , ω) et ∂/∂t par j ω
~ r , t) par Ẽ(~
Remplacer E(~
H
Superposition de fréquences −→
Fourier−1
signal temporel arbitraire
13
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Les équations de Maxwell (régime harmonique)
~ r , ω) = ρ̃(~
~ · D̃(~
∇
r , ω)
~ r , ω) = 0
~ · B̃(~
∇
G.é.
G.m.
~ r , ω) = − j ω B̃(~
~ r , ω)
~ ∧ Ẽ(~
∇
~ r , ω)
~˜ r , ω) + j ω D̃(~
~ r , ω) = J(~
~ ∧ H̃(~
∇
F.
M.-A.
H
H
(7)
(8)
(9)
Tout oscille à la fréquence f = ω/2π
Pour revenir aux signaux temporels on utilise (5) :
p.ex.
H
(6)
̺(~
r , t) = Re ρ̃(~
r , ω)e j ωt
Charges et courants ne sont pas indépendants
~ ·∇
~ ∧A
~ = 0, ∀A)
~ :
(utile : ∇
(6)
~ · (9) = 0 −→
~ · J~˜ + j ω ρ̃ = 0 continuité
∇
∇
(1)
~ · J~ + ∂̺ = 0 de la charge
~ · (4) = 0 −→
∇
∇
∂t
14
Les champs D et H ; relations constitutives
~ et B
~ sont les champs « fondamentaux »
E
~ et magnétisation M
~ ; apparition de charges /
Dans la matière ils provoquent : polarisation P
courants « liés » à la matière
~ et H
~ font apparaître uniquement les charges/courants libres
H D
H Milieux linéaires, homogènes, isotropes (lhi) :
H
H
~ = ǫ χ Ẽ
~
P̃
0 e
~ = χ H̃
~
et M̃
m
χe , χm : susceptibilité élec. / magn. (sans unités ; 0 dans le vide)
lhi
~ = ǫ Ẽ
~ + P̃
~=
~ −→ D̃
~ = ǫ ǫ Ẽ
~
~ = D̃
~ − P̃
~ −→ D̃
ǫ0 (1 + χe )Ẽ
ǫ0 Ẽ
0
0 r
| {z }
ǫr
1 ~
~ −→ H̃
~ = 1 B̃
~ + M̃
~ lhi
~
= (1 + χm )H̃
B̃ = H̃
| {z }
µ0
µ0 µr
µr
H
H
ǫ0 permittivité du vide, 8.85 × 10−12 F m−1 ; ǫr permit. relative (s.u.)
µ0 perméabilité du vide, 4π10−7 H m−1 ; µr perméab. relative (s.u.)
15
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Les équations de Maxwell (lhi ; harmonique)
H
~ et H
~
On choisit (electrical engineers) de travailler avec E
G.é.
G.m.
F.
M.-A.
H
H
H
~ r , ω) = − j ωµH̃(~
~ r , ω)
~ ∧ Ẽ(~
∇
~ r , ω) = J(~
~˜ r , ω) + j ωǫẼ(~
~ r , ω)
~ ∧ H̃(~
∇
(10)
(11)
(12)
(13)
ǫ = ǫ0 ǫr : permittivité du milieu ; ǫr = 1 + χe
µ = µ0 µr : perméabilité du milieu ; µr = 1 + χm
En général :
◮
◮
H
r , ω)
~ r , ω) = ρ̃(~
~ · Ẽ(~
∇
ǫ
~
~ · H̃(~
r , ω) = 0
∇
χ̃e , χ̃m complexes (pertes diélectriques / magnétiques)
χ̃e (ω), χ̃m (ω) dépendent de la fréquence (dispersion)
Notation générale :
◮
◮
ǫ̃(ω) = ǫ0 ǫ̃r (ω)
µ̃(ω) = µ0 µ̃r (ω) (mais on prendra ici µ ≈ µ0 )
16
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Ondes électromagnétiques
(milieux lhi sans pertes)
17
Équation d’ondes (temporel)
H
H
H
H
H
Loin des sources : ni charges ̺ = 0 (milieux neutres) ni courants J~ = 0
Le champ électromagnétique s’auto-alimente !
Découpler les équations du rotationnel
~
~ ∧∇
~ ∧A
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ −∇
~ 2A
Utile : ∇
En temporel : Faraday (3) + Maxwell-Ampère (4)
2~
(4)
~ ∧ (3) −→
~ = µǫ ∂ E
~ 2E
∇
∇
∂t2
H
équ. d’ondes
(14)
√
√
Vitesse de propagation : v = 1/ µǫ (c = 1/ µ0 ǫ0 )
1
c
c
v=√ =√
,
µǫ
µ r ǫr
n
H
Indice de réfraction
n,
√
µ r ǫr
(15)
18
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Équation de Helmholtz (harmonique)
H
H
Même procédure, regime harmonique
Faraday (12) + Maxwell-Ampère (13)
(13)
~ = −ω 2 µǫẼ
~
~ ∧ (12) −→
~ 2 Ẽ
∇
∇
(16)
Équation de Helmholtz vectorielle
~ cart
~ 2A
= ∇2 Ax êx + ∇2 Ay êy + ∇2 Az êz
H Utile : ∇
~ ·∇
~ = ∂ 22 + ∂ 22 + ∂ 22
∇2 = ∇
∂x
∂y
∂z
H Équation de Helmholtz scalaire (en cart.)
∇2 Ẽx,y,z + ω 2 µǫẼx,y,z = 0
(17)
19
Onde plane, progressive, monochromatique vers +z
H
TD 1.1 et 1.2 : OPPM, la plus simple solution de (14)
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − kz) = E(z,
~ t) ⊥ êz
E(~
|{z}
(18)
cste
issue d’une perturbation initiale harmonique (à z = 0) :
2π
t = cos(ωt)
∝ cos
T
se propageant selon +êz : t → t− vz
∝ cos
H
H
H
H
H
2π
2π
t−
z
T
λ
= cos(ωt − kz)
λ = vT : longueur d’onde, la période spatiale (en m)
k = 2π/λ : nombre d’onde (en rad m−1 )
~
k = kk̂ = k(+êz ) : vecteur d’onde
φ(z, t) = ωt − kz : la phase de l’onde
vφ = ω/k : la vitesse de phase ( dz/ dt à φ(z, t) = cste)
20
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Onde électromagnétique PPM selon k̂
H
Onde PPM se propageant selon êz :
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − kz)
E(~
H
H
La phase de l’onde dépend uniquement de z
z : la projection de ~
r sur la direction de propagation êz
z=~
r · êz = ~
r · k̂
H
Cas général, onde PPM se propageant selon k̂ :
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − k k̂ · ~
~ 0 cos(ωt − ~
E(~
r )=E
k·~
r)
|{z}
(19)
z si k̂=êz
H
H
Fronts d’onde (même phase) : des plans perpendiculaires à k̂
Déphasage entre deux points ~
r1 , ~
r2 :
∆φ = φ1 − φ2 = ~
k · (~
r2 − ~
r1 ) = ~
k·~
r1→2
H
OPPM : remplit tout l’espace (modèle mathématique !)
21
Amplitude complèxe d’une OPPM
H
Propagation selon +êz
Amplitude complexe
o
n
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − kz) = Re E
~ 0 e− j kz e+ j ωt
E(~
~ r , ω) = E
~ 0 e− j kz
Ẽ(~
H
(20)
Propagation selon k̂
Amplitude complexe
o
n
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − ~
~ 0 e− j ~k·~r e+ j ωt
E(~
k·~
r ) = Re E
~ r , ω) = E
~ 0 e− j ~k·~r
Ẽ(~
(21)
22
14
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Propriétés d’une OPPM (milieu sans pertes)
H
H
Les équations de Maxwell imposent des conditions supplémentaires
Une OPPM est une onde TEM :
Le champ électrique est transversal (TE) : perpendiculaire à k̂
Le champ magnétique est transversal (TM) : perpendiculaire à k̂
~ H,
~ ~
H Les vecteurs E,
k forment un trièdre direct :
◮
◮
~ ∧H
~ k~
E
k
H
H
Les champs électrique et magnétique sont en phase
L’équation d’ondes en régime harmonique (16) impose :
k2 = ω 2 µǫ
d’où le nombre d’onde
√
k = ω µǫ
(22)
23
Impédance caractéristique
H
~
~ (ou E/H) est constant :
Le rapport kEk/k
Hk
~ ~ ~k
1
~ = k̂ ∧ E E⊥
−→ H = E
H
Z
Z
H
Impédance caractéristique du milieu :
Z,
H
Dans le vide (ou l’air) :
Z0 ,
H
(23)
r
r
µ
=
ǫ
r
µr
Z0
ǫr
(Ω)
(24)
µ0
≈ 120πΩ ≈ 377 Ω
ǫ0
Milieux sans pertes (Z réel) :
(23) valide en temporel et en harmonique ;
Milieux avec pertes (Z̃ complexe) :
(23) valide seulement en harmonique
24
15
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Polarisation linéaire d’une OPPM
H
« Polarisation » : l’orientation du vecteur du champ électrique
E~ = E0 cos(ωt − ~
k·~
r )û
H
H
~ ⊥~
Cas d’une OPPM k̂ = êz : E
k
Polarisation linéaire : l’orientation ne change pas dans le temps
~
◮ Polarisation verticale (V) : Ẽ = E e− j kz ê
0
x
~
◮ Polarisation horizontale (H) : Ẽ = E0 e− j kz êy
~ et êx
◮ Cas général : angle θ entre E
E~ = E0 cos(ωt − kz)(cos θêx + sin θêy )
~ = E e− j kz (cos θê + sin θê )
Ẽ
0
x
y
25
Polarisation circulaire d’une OPPM
H
H
Deux composantes Ẽx et Ẽy
Même amplitude, déphasage 90◦
~ = E e− j kz (ê + j ê )
Ẽ
0
x
y
~
E = E0 cos(ωt − kz)êx − E0 sin(ωt − kz)êy
H
H
H
À t fixe, regarder dans le sens de propagation
Rotation dans le sens horaire : polarisation droite (RCP)
Rotation dans le sens anti-horaire : polarisation gauche (LCP) :
~ = E e− j kz ( j ê + ê )
Ẽ
0
x
y
E~ = −E0 sin(ωt − kz)êx + E0 cos(ωt − kz)êy
H
(25)
(26)
Attention : à z fixe, le vecteur E~ tourne dans l’autre sens !
26
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Permittivité relative : quelques valeurs typiques
Matériau
ǫr
Vide
Hydrogène
Air (sec)
Diamand
Sel
Silicone
Eau
Glace (−30 ◦C)
1
1.00025
1.00054
5.2
5.9
11.8
80.1
99
27
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Ondes électromagnétiques
(milieux lhi avec pertes)
28
Types de pertes dans la matière
1. Pertes de conductivité (ohmiques)
~
J~˜ = σ Ẽ
loi d’Ohm
(27)
σ : conductivité en S m−1
~ = χ̃ Ẽ
~
2. Pertes diélectriques P̃
e
ǫ̃ = 1 + χ̃e , ǫ′ − j ǫ′′ = ǫ0 (ǫ′r − j ǫ′′r ) = ǫ0 ǫ̃r
~
~ = χ̃ H̃
3. Pertes magnétiques M̃
m
µ̃ = 1 + χ̃m , µ′ − j µ′′ = µ0 (µ′r − j µ′′r ) = µ0 µ̃r
(on considère toujours ici µr ≈ 1)
29
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Département d’Électronique, 3e année
2012–2013
Permittivité effective
H
Pertes ohmiques et diélectriques dans Maxwell-Ampère :
σ
~
~
~
~
~ ∧ H̃ = σ Ẽ + j ωǫ0 ǫ̃r Ẽ = j ωǫ0 ǫ̃r − j
Ẽ
(13) : ∇
|{z}
ωǫ0
˜
J~
H
Définir une permittivité effective
ǫ̃reff
H
σ
= ǫ′r − j
, ǫ̃r − j
ωǫ0
ǫ′′r
σ
+
ωǫ0
= ǫ′reff − j ǫ′′reff
(28)
L’équation de Maxwell-Ampère (13) devient
~ = j ωǫ ǫ̃ Ẽ
~
~ ∧ H̃
∇
0 reff
H
On peut reprendre tous les résultats précédents (lhi sans pertes) et remplacer ǫr −→ ǫ̃reff
30
Nombre d’onde complexe
H
Le nombre d’onde
H
Nombre d’onde complexe !
p
√
k = ω µǫ −→ k̃ = ω µǫ̃eff
k̃ , β− j α
~ =E
~ 0 e− j k̃z = E
~ 0 e− j (β− j α)z = E
~ 0 e−αz e− j βz
Ẽ
~ 0 e−αz cos(ωt − βz)
E~ = E
H
H
H
β : « constante de phase » (rad m−1 )
α : « coefficient d’atténuation » (Np m−1 )
δ = 1/α : « profondeur de peau »
31
19
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Coefficients α et β
H
Milieu lhi sans pertes magnétiques, avec permittivité complexe
q
q
p
√
k̃ = ω µ0 ǫ0 µr ǫ̃reff = k0 µr (ǫ′reff − j ǫ′′reff ) = k0 µr ǫ′reff
H
H
s
1− j
ǫ′′reff
ǫ′reff
Tangente de pertes , ǫ′′reff /ǫ′reff
Coefficient d’atténuation / constante de phase :
α = k0
r
β = k0
r
s
1/2
′′ 2
µr ǫ′reff
ǫreff
 1+
− 1
2
ǫ′reff
s
1/2
′′ 2
µr ǫ′reff
ǫreff
 1+
+ 1
2
ǫ′reff
(29)
(30)
32
Milieu lhi sans pertes
H
Milieu sans pertes : ǫ′′reff = 0
α=0
β=ω
H
La vitesse de phase :
q
µǫ′eff = k0
vφ =
H
Indice de réfraction :
q
µr ǫ′reff
c
ω
c
= p ′ = ≤c
β
n
µr ǫreff
n,
H
La longueur d’onde :
λ=
(comparer avec (22))
q
µr ǫ′reff
2π
λ0
λ0
=p ′ =
≤ λ0
β
n
µr ǫreff
20
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Milieu lhi avec pertes
H
Milieu avec pertes : ǫ′′reff 6= 0
α 6= 0 et β 6= ω
H
La vitesse de phase (réelle) :
vφ =
H
q
Indice de réfraction (complexe) :
La longueur d’onde (réelle) :
λ=
H
(utiliser (29), (30))
ω
ω
ω
c
c
√
√
=
=
=
≤c
=
β
Re
{ñ}
Re
ω
µǫ̃
Re
µ
ǫ̃
Re{k̃}
r reff
eff
ñ ,
H
µǫ′eff
p
µr ǫ̃reff
λ
2π
λ0
2π
=
√ 0
=
=
≤ λ0
β
Re {ñ}
Re
µr ǫ̃reff
Re{k̃}
L’impédance caractéristique du milieu (complexe)
Ẽ
=
Z̃ =
H̃
r
µ
ǫ̃eff
si µr =1
=
Z0
ñ
34
21
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OPPM dans les conducteurs
35
Conducteurs : bons et parfaits
H
Conducteur : des porteurs de charge en circulation libre
~
Loi d’Ohm, (27) : J~˜ = σ Ẽ
H
Conducteur électrique « parfait » (PEC) : σ = ∞
~
PEC
~ = J˜ −→
0
Ẽ
σ
~ nul à l’intérieur d’un conducteur parfait
Champ Ẽ
H Ohm + continuité de la charge + (1) + lhi :
∂̺(t) σ
+ ̺(t) = 0
∂t
ǫ
̺(t) = ̺0 e−t/tr
,
tr = ǫ/σ
En harmonique, ̺ = 0 si T ≫ tr −→ f ≪ σǫ
H « Bon conducteur » : σ ≫ ǫω ou σ/ω ≫ ǫr ǫ0
36
22
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Le nombre d’onde dans un bon conducteur
H
Milieu avec pertes ohmiques, permittivité effective (28) :
ǫ̃reff = ǫ′r − j
H
bon conducteur
≈
−j
σ
= − j ǫ′′reff
ωǫ0
Nombre d’onde complexe k̃
k̃ = ω
H
σ
ωǫ0
q
p
1− j√
µr =1 √
µǫ̃eff = ω µ0 ǫ0 − j ǫ′′reff = √
µ0 ωσ
2
Coefficient d’atténuation, constante de phase :
r
µ0 ωσ
2
r
µ0 ωσ
β=
2
α=
37
OPPM dans un bon conducteur
H
Épaisseur de peau :
1
δ= =
α
H
r
2
µ0 ωσ
(31)
OPPM dans un bon conducteur (k̂ = êz ) :
√ µ ωσ
√ µ ωσ
~ =E
~ 0 e−z/δ e− j z/δ
~ 0 e− j k̃z = E
~ 0 e− 02 z e− j 02 z = E
Ẽ
| {z } | {z }
atténuation
2π
β
vφ = ωβ
H
Longueur d’onde : λ =
H
H
Vitesse de phase :
= ωδ =
Impédance caractéristique :
propagation
= 2πδ
Z̃ = p
p
2ω/µ0 σ (dépend de ω !)
Z0
− j =1e− j π/2
− j σ/(ωǫ0 )
=
r
µ0 ω j π/4
e
σ
(32)
38
23
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Puissance électromagnétique : vecteur de Poynting
39
Énergie électromagnétique
H
L’énergie potentielle « stockée » dans un volume V (milieu lhi) :
Z 1
~ r , t) · D(~
~ r , t) + B(~
~ r , t) · H(~
~ r , t) dV
Uem (t) =
E(~
2 V
H
H
Comment évolue l’énergie électromagnétique dans le temps ?
Que se passe-t-il dans un volume V ?
H
1. Énergie Uem emmagasinée dans les champs
2. Travail du champ sur les charges du volume (« milieu »)
à travers la force de Lorentz : puissance P fournie au milieu (pertes)
3. Échange d’énergie avec le monde extérieur
à travers la surface S qui englobe V :
puissance Pt sortant du volume
Conservation de l’énergie :
dUem
+ P + Pt = 0
dt
40
Puissances : pertes et transport ; Poynting
H
Puissance de pertes dans le volume V :
P=
H
V
~ · J~ dV
E
Puissance sortant du volume V :
Pt =
H
Z
I
S
~ · n̂ dS
(E~ ∧ H)
Densité surfacique de puissance transportée :
~ , E~ ∧ H
~
S
H
H
(W m−2 )
~ : vecteur de Poynting , montre la direction de la puissance
S
Puissance transportée par une onde à travers une surface S :
Z
~ · n̂ dS
S
Pt =
(33)
(34)
S
41
24
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[Produit de deux fonctions harmoniques]
H
Exemple : les champs d’une onde É/M harmonique
n
o
n
o
~
j ωt
~ t) = E
~ 0 cos(ωt − kz + φ) = Re E
~ 0 e j φ e j (ωt−kz) = Re Ẽ(z)e
E(z,
o
o
n
n
~
j ωt
~
~ 0 cos(ωt − kz + θ) = Re H
~ 0 e j θ e j (ωt−kz) = Re H̃(z)e
H(z,
t) = H
H
Produit des modules : EH 6= Ẽ H̃ !
EH = E0 H0 cos(ωt − kz + φ) cos(ωt − kz + θ)
1
= E0 H0 [cos(φ − θ) + cos(2ωt − 2kz + φ + θ)]
2
o
1
1 n
< EH > = E0 H0 cos(φ − θ) = . . . = Re E0 e j φ H0 e− j θ
2
2
H
o
1 n
< EH > = Re Ẽ H̃ ∗
2
(35)
Le seul cas où on peut multiplier des amplitudes complexes ! (cf. tr.#13)
42
Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques
H
Énergie moyenne É/M emmagasinée dans les champs :
Z 1
ǫ′ |Ẽ|2 + µ|H̃|2 dV
< Uem > =
4 V
H
Puissance moyenne É/M fournie au milieu :
Z
Z
n
o
1
Ohm 1
~
~
∗
˜
Re Ẽ · J dV =
σ|Ẽ|2 dV
<P > =
2 V
2 V
H
Puissance moyenne É/M transportée par l’onde :
Z
~ > · n̂ dS
<S
< Pt > =
S
~> =
<S
H
~ > k (W m−2 )
Intensité : I = k < S
1 n ~ ~ ∗o
Re Ẽ ∧ H̃
2
(36)
43
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OPPM énergie électrique = magnétique
H
Une OPPM d’amplitude E0 se propageant selon k̂ = êz dans un milieu lhi avec pertes :
~ = E e−αz e− j βz ê
Ẽ
0
x
~ = E0 e−αz e− j βz− j φ ê
H̃
y
|Z̃|
E~ = E0 e−αz cos(ωt − βz)êx
~ = E0 e−αz cos(ωt − βz − φ)êy
H
|Z̃|
H
Densités volumiques d’énergie (J m−3 ), milieu sans pertes :
instantanée
moyenne
1 ′ 2
ǫ E0
4
1 E02 sans pertes 1 ′ 2
µ
ǫ E0
=
4 Z2
4
élec. :
mag. :
H
H
OPPM dans lhi sans pertes : énergie électrique = magnétique
Égalité en énergies instantanées et moyennes
44
OPPM densité de puissance transportée
H
Densité de puissance moyenne transportée par une OPPM (lhi avec pertes) :
2
1
1
Z̃=|Z̃|e j φ 1 E0 −2αz
~
E02 e−2αz êz
=
< S > = Re
e
cos φ êz
2
2 |Z̃|
Z̃ ∗
H
Milieu lhi sans pertes :
~> =
<S
H
1 E02
êz
2 Z
(37)
On peut réécrire le dernier résultat :
√ 2
2
E
/
0
~> k =
k <S
Z
H
2 /R
Rappel : en électronique, < P > = Veff
45
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Réflexion / transmission entre deux milieux lhi
46
Conditions aux limites entre deux milieux lhi
H
Les équations de Maxwell dans la matière (6)–(9)
~ =0
~ · B̃
∇
~ = J~˜ + j ω D̃
~
~ ∧ H̃
∇
~ = ρ̃
~ · D̃
∇
~ = − j ω B̃
~
~ ∧ Ẽ
∇
H
Interface entre deux milieux lhi, n̂ de 2 vers 1
~ − D̃
~ ) = ρ̃
n̂ · (D̃
1
2
s
~ − B̃
~ )=0
n̂ · (B̃
1
ǫ1 Ẽnor1 − ǫ2 Ẽnor2 = ρ̃s
2
~ ) = ~0
~ − Ẽ
n̂ ∧ (Ẽ
2
1
~
~
n̂ ∧ (H̃1 − H̃2 ) = J~˜s
(38a)
µ1 H̃nor1 − µ2 H̃nor2 = 0
(38b)
Ẽtan1 − Ẽtan2 = 0
(38c)
H̃tan1 − H̃tan2 = J˜s
(38d)
~
~
Ẽ
tan continu ; H̃nor continu (si milieux non magnétiques)
ρ̃s : densité surfacique de charges (C m−2 )
~
H J˜s : courant surfacique (A m−1 ), uniquement sur un conducteur parfait
H
H
47
Incidence normale sur une interface
H
H
H
Interface entre deux milieux lhi à z = 0
Incidence normale : k̂i = êz
Ondes incidente, réflechie et transmise :
~ = E e− j ~k̃i ·~r ê = E e− j k̃i z ê
Ẽ
x
i0
x
i
i0
~ = Ẽ e− j ~k̃r ·~r ê = Ẽ e+ j k̃i z ê
Ẽ
x
r0
x
r
r0
~ = Ẽ e− j ~k̃t ·~r ê = Ẽ e− j k̃t z ê
Ẽ
x
t0
x
t
t0
H
~ = (k̂ ∧ Ẽ)/
~ Z̃ :
Champs magnétiques H̃
~ = + 1 E e− j k̃i z ê
H̃
i0
y
i
Z̃1
~ = − 1 Ẽ e+ j k̃i z ê
H̃
r
r0
y
Z̃1
~ = + 1 Ẽ e− j k̃t z ê
H̃
t
t0
y
Z̃2
48
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Incidence normale : conditions aux limites
Appliquer les conditions aux limites (38) à z = 0
~
H (38a) : pas de composantes normales de Ẽ
~
H (38b) : pas de composantes normales de B̃
H
H
~ (selon ê )
(38c) : composantes tangentielles de Ẽ
x
Ei0 + Ẽr0 = Ẽt0
H
~ (selon ê )
(38d) : composantes tangentielles de H̃
y
Ẽt0
Ei0 Ẽr0
−
=
Z̃1
Z̃1
Z̃2
49
Incidence normale : coefficients amplitude
H
H
Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :
r̃ ,
Ẽr0
Z̃2 − Z̃1
=
Ei0
Z̃2 + Z̃1
(39)
t̃ ,
Ẽt0
2Z̃2
=
Ei0
Z̃2 + Z̃1
(40)
Quelques propriétés
1. 1 + r̃ = t̃
2. r, t réels si milieux sans pertes : pas de déphasage
2 −Z1
r= Z
Z2 +Z1 < 0 si Z2 < Z1
Milieux non magnétiques : Z2 < Z1 =⇒ ǫ1 > ǫ2
ǫ1 > ǫ2 =⇒ v1 < v2 (milieu « lent » vers « rapide »)
q
3. Si milieu 2 conducteur parfait : Z̃2 = ǫ′ −µ2j σ → 0, r = −1, t = 0
◮
◮
◮
ω
28
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Incidence normale : coefficients puissance
H
Puissance transportée, calculée à l’interface, z = 0 (tr. #45) :
( )
1
1
2
Ii = Re
Ei0
2
Z̃1∗
( )
( )
1
1
1
1
2
2
|Ẽr0 | = Re
|r̃|2 Ei0
Ir = Re
∗
∗
2
2
Z̃1
Z̃1
( )
( )
1
1
1
1
2
It = Re
|Ẽt0 |2 = Re
|t̃|2 Ei0
∗
∗
2
2
Z̃2
Z̃2
H
Coefficients de réflexion/transmission en intensité :
R,
T ,
It
Ii
Ir
= |r̃|2
Ii
(41)
n
o
Re 1/Z̃2∗
n
o |t̃|2 = 1 − R
=
Re 1/Z̃1∗
(42)
51
Incidence normale, structure multicouche
H
H
H
H
Deux demi-espaces : a, b
M couches entre a et b, d’épaisseur lm
M + 1 interfaces
Zm − Zm−1
(39) : rm =
Zm + Zm−1
où Z0 = Za et ZM +1 = Zb
Coefficient de réflexion en amplitude :
Γm =
H
, m = 1, . . . , M + 1
réf
Ẽm−1
inc
Ẽm−1
=
rm + Γm+1 e− j 2km lm
1 + rm Γm+1 e− j 2km lm
Formule recursive ; initialiser par ΓM +1 = rM +1
52
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Incidence oblique sur une interface : définitions
H
H
H
H
H
H
Interface entre deux milieux lhi sans pertes, à z = 0
« Plan d’incidence » : défini par n̂ et k̂i
« Angle d’incidence » θi : entre n̂ et k̂i (0 ≤ θi ≤ 90◦ )
« Angle de réflexion » θr : entre n̂ et k̂r (0 ≤ θr ≤ 90◦ )
« Angle de réfraction » θt : entre n̂ et k̂t (0 ≤ θt ≤ 90◦ )
Incidence oblique :
~
ki = ki sin θi êx + ki cos θi êz
~
kr = ki sin θr êx − ki cos θr êz
~
kt = kt sin θt êx + kt cos θt êz
H
H
H
H
H
H
(kr = ki )
~ ⊥ plan d’incidence
Polarisation perpendiculaire (⊥, s, TE) : E
~ k plan d’incidence
Polarisation parallèle (k, p, TM) : E
Cas général : perpendiculaire + parallèle
Milieux non magnétiques (µ1,2 = µ0 ) sans pertes (ǫ1,2 réels)
√
k = k0 ǫr = nk0
√
Z = Z0 / ǫr = Z0 /n
53
Incidence oblique ⊥ : champs
H
H
~ ⊥ plan d’incidence
Polarisation perpendiculaire (⊥, s, TE) : E
Champs électriques :
~ = E e− j ~ki ·~r ê
Ẽ
i
i0
y
H
~ = E e− j ~kr ·~r ê
Ẽ
r
r0
y
~ = E e− j ~kt ·~r ê
Ẽ
t
t0
y
~ = (k̂ ∧ Ẽ)/Z
~
Champs magnétiques H̃
:
~ = 1 E e− j ~ki ·~r (− cos θ ê + sin θ ê )
H̃
i
i0
i x
i z
Z1
~ = 1 E e− j ~kr ·~r (+ cos θ ê + sin θ ê )
H̃
r0
r x
r z
r
Z1
~ = 1 E e− j ~kt ·~r (− cos θ ê + sin θ ê )
H̃
t0
t x
t z
t
Z2
54
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Incidence oblique ⊥ : Snel – Descartes
H
H
Appliquer les conditions aux limites (38) à z = 0
~ (selon êy )
(38c) : composantes tangentielles de E
~
~
~
Ei0 e− j ki ·~r + Er0 e− j kr ·~r = Et0 e− j kt ·~r
H
∀~
r = (x, y, 0)
Égalité possible à condition que :
~
ki · ~
r =~
kr · ~
r =~
kt · ~
r
∀~
r = (x, y, 0)
« Continuité de la phase sur l’interface »
H Conséquences :
~
ki · ~
r =~
kr · ~
r ⇒ sin θi = sin θr ⇒ θi = θr
~
ki · ~
r =~
kt · ~
r ⇒ n1 sin θi = n2 sin θt
H
(43)
(44)
Loi de (Willebrord) Snel – Descartes
Simplifier la notation : θ1 , θi = θr et θ2 , θt
55
Incidence oblique ⊥ : conditions aux limites
Appliquer les conditions aux limites (38) à z = 0
~
H (38a) : pas de composantes normales de Ẽ
~
H (38b) : composantes normales de B̃ (selon ê )
H
z
µ0
H
1
1
1
Ei0 sin θ1 + µ0 Er0 sin θ1 = −µ0 Et0 sin θ2
Z1
Z1
Z2
~ (selon ê )
(38c) : composantes tangentielles de Ẽ
y
Ei0 + Er0 = Et0
(38b) + Z = Z0 /n + Snell-Descartes = (38c)
~
H (38d) : composantes tangentielles de H̃ (selon êx )
−
H
1
1
1
Ei0 cos θ1 +
Er0 cos θ1 =
Et0 cos θ2
Z1
Z1
Z2
Mêmes relations en incidence normale (cf. tr.#49) si on définit Z⊥ , Z/ cos θ
56
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Incidence oblique ⊥ : coefficients amplitude
H
Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :
r⊥ ,
Z2⊥ − Z1⊥
Er0
=
Ei0
Z2⊥ + Z1⊥
(45)
t⊥ ,
Et0
2Z2⊥
=
Ei0
Z2⊥ + Z1⊥
(46)
Z1
cos θ1
Z2
,
cos θ2
Z1⊥ ,
Z2⊥
H
H
H
H
r⊥ , t⊥ dépendent de θ1
r⊥ 6= 0 (TD 4.2)
Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 = 0, r⊥ = −1, t⊥ = 0
Z⊥ = |Etan |/|Htan | (comp. tangentielles à l’interface, ici |Ey |/|Hx |)
57
Incidence oblique ⊥ : coefficients puissance
H
Puissance transportée de façon normale à l’interface :
1 1 2
E cos θ1
2 Z1 i0
1 1 2
1 1 2 2
Er0 cos θ1 =
r E cos θ1
Ir =
2 Z1
2 Z1 ⊥ i0
1 1 2
1 1 2 2
It =
Et0 cos θ2 =
t E cos θ2
2 Z2
2 Z2 ⊥ i0
Ii =
H
Coefficients de réflexion/transmission en intensité :
Ir
2
= r⊥
Ii
(47)
It
1/Z2 cos θ2 2
t = 1 − R⊥
=
Ii
1/Z1 cos θ1 ⊥
(48)
R⊥ ,
T⊥ ,
58
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Incidence oblique k : champs
H
H
~ k plan d’incidence
Polarisation parrallèle (k, s, TM) : E
Champs magnétiques :
~ = 1 E e− j ~kr ·~r ê
H̃
r
r0
y
Z1
~ = 1 E e− j ~ki ·~r ê
H̃
i0
y
i
Z1
H
~ = 1 E e− j ~kt ·~r ê
H̃
t
t0
y
Z2
~ = (H̃
~ ∧ k̂)Z :
Champs électriques Ẽ
~ = E e− j ~ki ·~r (+ cos θ ê − sin θ ê )
Ẽ
i
i0
i x
i z
~ = E e− j ~kr ·~r (− cos θ ê − sin θ ê )
Ẽ
r
r0
r x
r z
~
− j~
kt ·~
r
Ẽ = E e
(+ cos θ ê − sin θ ê )
t
H
t0
t x
t z
Même procédure que celle du cas ⊥ (cf. tr.#55) :
1. Continuité de phase sur l’interface : ~
ki · ~
r =~
kr · ~
r =~
kt · ~
r
2. Snel – Descartes : θi = θr et n1 sin θi = n2 sin θt
3. θ1 , θi = θr et θ2 , θt
59
Incidence oblique k : conditions aux limites
Appliquer les conditions aux limites (38) à z = 0
~
H (38a) : composantes normales de D̃ (selon êz )
H
−ǫ1 Ei0 sin θ1 − ǫ1 Er0 sin θ1 = −ǫ2 Et0 sin θ2
~
(38b) : pas de composantes normales de B̃
~
H (38c) : composantes tangentielles de Ẽ (selon êx )
H
Ei0 cos θ1 − Er0 cos θ1 = Et0 cos θ2
H
~ (selon ê )
(38d) : composantes tangentielles de H̃
y
Et0
Ei0 Er0
+
=
Z1
Z1
Z2
H
(38a) + Z = Z0 /n + Snell-Descartes = (38d)
On définit Zk , Z cos θ
60
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Incidence oblique k : coefficients amplitude
H
Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :
rk , −
tk ,
Z2k − Z1k
Er0
=
Ei0
Z2k + Z1k
2Z2k cos θ1
Et0
=
Ei0
Z2k + Z1k cos θ2
(49)
(50)
Z1k , Z1 cos θ1
Z2k , Z2 cos θ2
H
H
H
H
H
~ i et E
~ r sont opposés
rk , −Er0 /Ei0 parce que si θ1 ≈ 0, E
rk , tk dépendent de θ1
rk = 0 si θ1 = θB : angle de Brewster, tan θB = Z1 /Z2 (TD 4.2)
Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 = 0, rk = −1, tk = 0
Zk = |Etan |/|Htan | (comp. tangentielles à l’interface, ici |Ex |/|Hy |)
61
Incidence oblique k : coefficients puissance
H
Puissance transportée de façon normale à l’interface :
1 1 2
E cos θ1
2 Z1 i0
1 1 2
E cos θ1 =
Ir =
2 Z1 r0
1 1 2
E cos θ2 =
It =
2 Z2 t0
Ii =
H
1 1 2 2
r E cos θ1
2 Z1 k i0
1 1 2 2
t E cos θ2
2 Z2 k i0
Coefficients de réflexion/transmission en intensité :
Ir
= rk2
Ii
(51)
1/Z2 cos θ2 2
It
=
t = 1 − Rk
Ii
1/Z1 cos θ1 k
(52)
Rk ,
Tk ,
62
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Propagation guidée
63
Lignes de transmission, guides d’ondes
H
H
Structures de confinement d’une onde dans l’espace
Lignes de transmission : cas spécial
◮
◮
◮
◮
◮
◮
H
Deux conducteurs (+ diélectrique)
Champ TEM (définir tension/courant)
Pas de fréquence de coupure
Pertes importantes à hautes fréquences
Petite section (p.ex. coaxial) : champs faibles
Grande section (basses fréqu.) : champs forts
Guides d’ondes
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Métalliques ou diélectriques
Mode : configuration géométrique du champ É/M
Champ non TEM : modes TE, TM, hybrides
Fréquence de coupure : f > fc
Pertes acceptables à hautes fréquences
Niveaux de champs élevés
Basses fréqu. : grande taille, coût élevé
64
Guide métallique à plaques parallèles 1
H
H
H
H
Deux plaques métalliques (PEC), à x = 0 et x = d
Largeur en y : b ≫ d
Champs indépendants de y : ∂/∂y = 0
Propagation vers +êz , champ TE :
~ = E f (x)e− j βz ê
Ẽ
0
y
H
Équation de Helmholtz (17) :
d2 f (x)
+ (k2 − β 2 )f (x) = 0
| {z }
dx2
κ2
~ = E [A cos(κx) + B sin(κx)]e− j βz ê
Solution : Ẽ
0
y
H Conditions aux limites :
~
~ = 0 (et H̃
sur la surface du conducteur, Ẽ
tan
nor = 0)
H x=0:A=0
H x = d : κd = mπ −→ κm = mπ
d , m = 1, 2, . . .
65
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Guide métallique à plaques parallèles 2
H
Les champs du mode TEm (m = 1, 2, . . .) :
Ẽy = E0 sin
mπx d
e− j βm z
1 ~
~
~ (12)
∇ ∧ Ẽ
H̃
= j
ωµ
mπx βm
H̃x = −
e− j βm z
E0 sin
ωµ
d
mπx κm
e− j βm z
E0 cos
H̃z = j
ωµ
d
H
H
H
2 + κ2 = ω 2 µ ǫ = ω 2 /c2 et κ = mπ/d :
k2 = βm
0 0
m
m
r
mπc 2
πc
−→ ω ≥ ωc,m , m
βm = k 1 −
ωd
d
TD 5.1 : κm = k cos θm , βm = k sin θm ; cos θm = ωc,m/ω
Développement similaire pour les modes TMm (m = 0, 1, . . .) : TD 5.2 (TM0 : mode TEM)
66
Guide métallique à plaques parallèles : récapitulatif
H
H
H
H
H
Modes TEm , TMm (m > 0) et TEM
Conditions aux limites :
mπx mπx ~ , H̃
~
~ , H̃
~
et Ẽ
Ẽ
nor
tan ∝ cos
tan
nor ∝ sin
d
d
m semi-périodes harmoniques selon x
Constante de phase
r
ω 2
ω
c,m
βm =
1−
c
ω
ωc,m = m
πc
d
Propagation du mode m (βm réel) si ω > ωc,m
vph,m =
H
où
ω
=q
βm
c
1−
ωc,m 2
ω
≥c
Approche géométrique : réflexions internes ; angle d’incidence
cos θm =
ωc,m
ω
67
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Guide métallique de section rectangulaire
Section sur le plan xy de dimensions a × b (a > b)
Propagation vers +êz , champs proportionnels à e− j βz
On peut exprimer les composantes transversales (Ẽx , Ẽy , H̃x , H̃y ) en fonction des composantes
longitudinales (Ẽz , H̃z )
H Deux cas possibles :
H
H
H
H
H
1. Ẽz 6= 0, H̃z = 0 : modes TM
2. H̃z =
6 0, Ẽz = 0 : modes TE
Conditions aux limites : sur la surface des conducteurs,
~ = 0 et H̃
~
Ẽ
tan
nor = 0
mπx nπy nπy mπx Ẽx ∝ cos
sin
cos
H̃x ∝ sin
a b a b nπy
nπy
mπx
mπx
cos
sin
H̃y ∝ cos
Ẽy ∝ sin
a b a b nπy
nπy
mπx
mπx
sin
cos
H̃z ∝ cos
Ẽz ∝ sin
a
b
a
b
m sémi-périodes selon x et n selon y
68
Guide métallique de section rectangulaire : TM
H
Le champ É/M du mode TMmn :
TM
Ẽz,mn
= E0 sin
mπx a
sin
nπy b
e− j βmn z
m, n = 1, 2, . . .
nπy mπx βmn mπ
TM
Ẽx,mn
= −j 2
sin
e− j βmn z
E
cos
0
2
k − βmn
a
a
b
nπy mπx βmn nπ
TM
Ẽy,mn
= −j 2
cos
e− j βmn z
E
sin
0
2
k − βmn
b
a
b
nπy mπx ωǫ0 nπ
TM
cos
e− j βmn z
E
sin
H̃x,mn
= j 2
0
2
k − βmn
b
a
b
nπy mπx ωǫ0 mπ
TM
H̃y,mn
= j 2
sin
e− j βmn z
E
cos
0
2
k − βmn
a
a
b
TM
H̃z,mn
=0
(53a)
(53b)
(53c)
(53d)
(53e)
(53f)
69
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Guide métallique de section rectangulaire : TE
H
Le champ É/M du mode TEmn :
TE
H̃z,mn
= H0 cos
mπx nπy e− j βmn z
a
b
m, n = 0, 1, 2, . . . m + n > 0
nπy mπx ωµ0 nπ
TE
Ẽx,mn
= j 2
sin
e− j βmn z
H
cos
0
2
k − βmn
b
a
b
nπy mπx ωµ0 mπ
TE
cos
e− j βmn z
H
sin
Ẽy,mn
= −j 2
0
2
k − βmn
a
a
b
cos
TE
Ẽz,mn
=0
mπx βmn mπ
cos
e− j βmn z
H0 sin
2
kc,mn
a
b
a
nπy mπx βmn nπ
sin
e− j βmn z
H0 cos
= j 2
kc,mn b
a
b
mπ 2 nπ 2
+
=
a
b
TE
H̃x,mn
= j
TE
H̃y,mn
2
kc,mn
nπy (54a)
(54b)
(54c)
(54d)
(54e)
(54f)
70
Guide métallique : propriétés de propagation
H
Nombre d’onde k2 =
mπ 2
| a{z }
kx2
H
La constante de phase :
+
nπ 2
2
=
+ βmn
|{z}
b
| {z }
2
ky2
βmn
H
kz
ω
=
c
r
1−
Propagation (βmn réel) si ω > ωc,mn
r
ωc,mn = c
H
H
ω 2
c
ω
c,mn
ω
2
(55)
mπ 2 nπ 2
+
a
b
TE : m, n > 0 ; TM : m, n ≥ 0 et m + n > 0
Vitesse de phase
ω
=q
vph,mn =
βmn
38
c
1−
ωc,mn 2
ω
(56)
≥c
(57)
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Dispersion
72
Définition du phénomène
H
H
H
H
« Dispersion » : propagation dépendante de la fréquence
Exemple courant : le prisme (dispersion spatiale)
Les propriétés de propagation (p.ex. vph ) changent en fonction de la fréquence
Relation entre β et ω non linéaire
ω
β(ω) 6=
c
H
Trois types de dispersion :
1. D. de matériau (« chromatique ») : ǫ(ω), µ(ω), σ(ω)
2. D. de guide : βmn (ω) 6= ω/c (55)
3. D. de mode : chaque mode ses propriétés (si multi-mode)
H
Résultat : déformation d’un signal (non-monochromatique) pendant la propagation
73
Exemple : deux fréquences
Propagation de deux fréquences
ωa = ω0 − ∆ω et ωb = ω0 + ∆ω
H Constantes de phase :
H
βa = β(ωa ) ≈ β(ω0 ) − β1 ∆ω = β0 − ∆β
βb = β(ωb ) ≈ β(ω0 ) + β1 ∆ω = β0 + ∆β
dβ β0 , β(ω0 )
β1 ,
dω ω0
H
Champ total :
o
n
E(z, t) = Re E0 e− j βa z e j ωa t + E0 e− j βb z e j ωb t
o
n
= Re 2E0 cos(∆ωt − ∆βz)e j (ω0 t−β0 z)
= 2E0 cos(∆ωt − ∆βz) cos(ω0 t − β0 z)
{z
}|
{z
}
|
enveloppe
H
H
Vitesse de l’enveloppe : ∆ω/∆β −→
Visualisation : Group velocity
dω dβ β
porteuse
0
74
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Vitesse de groupe
H
H
H
H
H
L’énergie se propage à la vitesse de groupe
dω =
vg (ω0 ) ,
dβ β0
r
vg,mn (ω) = c 1 −
(58)
ω0
« Groupe » : ensemble de fréquences autour de ω0
Si β = ω/c, alors vg = vph = c (pas de dispersion)
En général, vg (ω) 6= vph (ω)
Vitesse de groupe dans un guide d’onde :
(55)
H
1
dβ dω ω
c,mn
ω
2
≤c
(59)
Dans un guide d’onde :
vg,mn (ω)vph,mn (ω)
(57),(59) 2
=
c
75
Enveloppe gaussienne
Propagation d’une impulsion non-monochromatique
Si vg dépend de la fréquence. . . déformation de l’impulsion
Dispersion : étalement dans le temps
d2 β H Variation de vg (ω) fait intervenir β2 , dω
2
H
H
H
H
ω0
Cas d’une impulsion initiale d’enveloppe gaussienne :
1
2
E(z = 0, t) = E0 e− 2 (t/T ) cos(ω0 t)
E(0, ±∆t)2 = Emax e−1 −→ ∆t = T
T : demi-largeur temporelle de l’impulsion initiale
H Le spectre de l’impulsion (TF d’une gaussienne) :
1
Ẽ(z = 0, ω) = E0 T e− 2 T
2 (ω−ω
2
0)
Ẽ(0, ω0 ± ∆ω)2 = Ẽmax e−1 −→ ∆ω = 1/T
1/T : demi-largeur spectrale de l’impulsion initiale
76
40
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Délai de groupe
H
Différence de délai de groupe (temps de propagation)
entre ωb = ω0 + ∆ω et ω0 (sur une distance z)
z
z
∆τ , τb − τ0 =
−
=z
vg (ωb ) vg (ω0 )
H
Développement de β(ω) autour de ω0
!
dβ dβ −
dω ωb
dω ω0
1
β(ω) = β(ω0 ) + (ω − ω0 )β1 + (ω − ω0 )2 β2 + . . .
2
dβ dω ω
H
D’où on obtient
H
Donc la différence entre délais de groupe
= β1 + (ω − ω0 )β2
∆τ = ∆ωβ2 z
H
H
imp. gaussienne
=
β2 : paramètre de dispersion, en s m−1 Hz ou s2 m−1
Demi-largeur temporelle de l’impulsion gaussienne à z :
p
T ′ = T 2 + ∆τ 2
41
β2 z/T
(60)
(61)
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