Électromagnétisme Iannis Aliferis École Polytechnique de l’Université Nice Sophia Antipolis Polytech’Nice Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année, 2012–2013 http://www.polytech.unice.fr/~aliferis Introduction Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . Règles du jeu / conseils . . . . . . . . Un tout petit peu d’histoire. . . . . . Qu’est-ce qu’on fait ici? . . . . . . . . Forces gravitationnelle et électrique L’É/M est partout! . . . . . . . . . . . Champs électromagnétiques . . . . . Comment ça marche? . . . . . . . . . Champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Analyse vectorielle: champ, flux La notion de champ. . . . . . . . . . Coordonnées cartésiennes . . . . . . Coordonnées cylindriques . . . . . . Coordonnées sphériques . . . . . . . Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . Le produit scalaire: une projection Vecteurs unitaires . . . . . . . . . . . [Extra] Le vecteur de position ~ r. . Coordonnées cartésiennes (bis) . . Champ scalaire . . . . . . . . . . . . . Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . Flux d’un champ vectoriel (intro). Flux d’un champ vectoriel. . . . . . Loi de Gauss (électrostatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . . . . 27 . 28 . 29 . 30 . 31 . 32 . 33 . . . . . . . . . . . . . . Analyse vectorielle 2: divergence Couper un volume en morceaux. . . . . . . . . Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de Gauss (électrostatique): forme locale. Calcul de la divergence. . . . . . . . . . . . . . . Théorème de la divergence (1) . . . . . . . . . Théorème de la divergence (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Loi de Gauss: intégrale vers locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Superposition 35 ~ ~ ~ Le principe de superposition: 1 + 1 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Exemple de superposition: deux plans infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Visualisation de champs vectoriels Deux approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un autre regard sur le flux (et la divergence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lignes de champ en électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . 39 . 40 . 41 Travail dans un champ électrostatique: potentiel Le travail de A vers B (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . Le travail de A vers B (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . De quoi dépend WA→B ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . Du travail au potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potentiel: le travail par charge. . . . . . . . . . . . . . . Travail: charge × ddp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potentiel créé par une charge ponctuelle . . . . . . . . Du champ électrostatique au potentiel . . . . . . . . . Du potentiel au champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 Analyse vectorielle 3: gradient 52 Le gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Le gradient dans les trois systèmes de coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Du champ au potentiel: un raccourci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Analyse vectorielle 4:circulation, rotationnel Couper une surface en morceaux. . . . . . . . . . Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotationnel du champ électrostatique. . . . . . Calcul du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . Le rotationnel en coordonnées cartésiennes . . Le rotationnel en coordonnées cylindriques . . Le rotationnel en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 . 57 . 58 . 59 . 60 . 61 . 62 . 63 Énergie électrostatique Charge ponctuelle . . . . . . . . . . Ensemble de N charges (1) . . . Ensemble de N charges (2) . . . Distribution continue de charges Densité volumique d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 65 66 67 68 69 Électrostatique: récapitulatif 70 Équations du champ électrique (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Équations du champ électrique (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Conducteurs en électrostatique Qu’est-ce qu’un conducteur?. . . . . . . . . Le champ et les charges à l’intérieur. . . . Le champ et les charges dans une cavité . Le champ à la surface du conducteur (1) Le champ à la surface du conducteur (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.polytech.unice.fr/~aliferis 73 . 74 . 75 . 76 . 77 . 78 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Rigidité diélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Rigidité diélectrique: quelques valeurs typiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Courants électriques Des charges en mouvement. . . . . . . . . . . . . . Calculer la densité de courant . . . . . . . . . . . . Conservation de la charge: forme intégrale . . . Conservation de la charge: forme locale . . . . . Électronique: loi des nœuds. . . . . . . . . . . . . . Vitesses des électrons dans les conducteurs (1) Vitesses des électrons dans les conducteurs (2) Vitesses des électrons dans les conducteurs (3) Courants dans les conducteurs. . . . . . . . . . . . Conductivité: quelques valeurs typiques. . . . . . Électronique: loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . Électronique: puissance consommée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnétostatique Magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ magnétique d’une charge en mouvement Sources du champ magnétique . . . . . . . . . . . . Force magnétique (Laplace et Lorentz) . . . . . . . Force magnétique sur un courant . . . . . . . . . . . Force entre deux courants. . . . . . . . . . . . . . . . Loi d’Ampère (forme intégrale) . . . . . . . . . . . . Théorème du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . Loi d’Ampère (forme locale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 . 95 . 96 . 97 . 98 . 99 100 101 102 103 104 Magnétostatique: récapitulatif 105 Équations du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ~ Analyse vectorielle 5: le nabla ∇ L’opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations avec le nabla (1) . . . . . . . . . . . . . Opérations avec le nabla (2) . . . . . . . . . . . . . Quelques formules avec le nabla . . . . . . . . . . Le(s) Laplacien(s): nabla au carré . . . . . . . . . Gauss, Stokes, etc.: un autre point de vue (1) . Gauss, Stokes, etc.: un autre point de vue (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 108 109 110 111 112 113 114 Électrostatique – Magnétostatique:une comparaison 115 Deux champs bien différents (?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Phénomènes d’Induction(enfin, un peu de mouvement!) « Force » électromotrice (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Force » électromotrice (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fem due au mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fem due au mouvement: des exemples! . . . . . . . . . . . . . . Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de Faraday (forme intégrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de Faraday (forme locale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La règle du flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.polytech.unice.fr/~aliferis 117 118 119 120 121 122 123 124 125 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Le champ électrique induit . . . . . . Inductance: mutuelle . . . . . . . . . . Inductance: self. . . . . . . . . . . . . . Énergie magnétique (1) . . . . . . . . Énergie magnétique (2) . . . . . . . . ~ non conservatif [Bizarre] Champ E Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 127 128 129 130 131 Induction: récapitulatif 132 Les 4 équations, forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Les 4 équations, forme locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Équations de Maxwell Un problème avec la loi d’Ampère? . . . . . . . . Le terme qui manque: courant de déplacement James Clerk Maxwell (1831–1879) . . . . . . . . . Les trois régimes en électromagnétisme. . . . . . Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 136 137 138 139 140 Ondes Qu’est-ce qu’une onde? . . . . . . . . [Rappel] L’argument d’une fonction Propagation d’une impulsion .. L’équation d’onde (1) . . . . . . . . . L’équation d’onde (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 142 143 144 145 146 Ondes électromagnétiques La prévision théorique de Maxwell (1) . . . . La prévision théorique de Maxwell (2) . . . . La lumière est une onde électromagnétique! Le spectre électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 148 149 150 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes électromagnétiques planes, progressives,monochromatiques (OPPM) Onde monochromatique vers +z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagation d’une sinusoïde ................................. Onde électromagnétique PPM selon +êz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde électromagnétique PPM selon k̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notation complexe: définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notation complexe: avantages (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notation complexe: avantages (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notation complexe: avantages (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notation complexe: application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations de Maxwell: régime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations de Maxwell dans le cas d’une OPPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés d’une OPPM dans le vide ............................ Polarisation linéaire d’une OPPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarisation circulaire d’une OPPM ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 OPPM dans les conducteurs Conducteurs et loi d’Ohm (bis) . . . . . . . . . . . Les équations de Maxwell dans un conducteur . L’équation d’onde dans un conducteur . . . . . . OPPM dans un bon conducteur ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 168 169 170 171 . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Conditions aux limites vide-conducteur 172 Interface vide-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Puissance électromagnétique: vecteur de Poynting [Rappel] Énergie électro/magnétostatique . . . . . . . . Énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travail du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . Énergie É/M et puissance fournie (1) . . . . . . . . . . . Énergie É/M et puissance fournie (2) . . . . . . . . . . . Énergie É/M et puissance fournie (3) . . . . . . . . . . . Puissance É/M transportée: vecteur de Poynting . . . [Produit de deux fonctions harmoniques]. . . . . . . . . Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques . . . . OPPM énergie électrique = magnétique . . . . . . . . . Impédance caractéristique du vide . . . . . . . . . . . . . Champ électrique dans la matière Diélectriques (isolants). . . . . . . . . . . . . . . . . Effet de la polarisation de la matière . . . . . . . Polarisation: charges induits . . . . . . . . . . . . . Loi de Gauss dans les diélectriques . . . . . . . . . Milieux LHI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permittivité relative: quelques valeurs typiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 . . . . . . 187 188 189 190 191 192 193 Champ magnétique dans la matière Phénomènes magnétiques: dus aux courants Magnétisation: courants induits . . . . . . . . . Loi d’Ampère dans les diélectriques . . . . . . Milieux LHI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Susceptibilité magnétique: quelques valeurs . Ferromagnétisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 195 196 197 198 199 200 Équations de Maxwell dans la matière Courant de polarisation . . . . . . . . . . . . . Équations de la divergence . . . . . . . . . . . Équations du rotationnel . . . . . . . . . . . . Équations de Maxwell dans la matière (1) . Équations de Maxwell dans la matière (2) . Équations de Maxwell dans la matière (3) . Énergie et puissance dans la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 202 203 204 205 206 207 208 . . . . . . . 209 210 211 212 213 214 215 216 OPPM dans les milieux lhi OPPM dans un milieu lhi . . . . . Types de pertes dans la matière. Permittivité effective . . . . . . . . Nombre d’onde complexe . . . . . Coefficients α et β . . . . . . . . . Milieu lhi sans pertes . . . . . . . . Milieu lhi avec pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Refléxion / transmission entre deux milieux lhi 217 Conditions aux limites entre deux milieux lhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence Incidence normale sur une interface . . . . . . . . normale: conditions aux limites . . . . normale: coefficients amplitude . . . . normale: coefficients puissance. . . . . oblique sur une interface: définitions . oblique ⊥: champs . . . . . . . . . . . . . oblique ⊥: Snel – Descartes . . . . . . oblique ⊥: conditions aux limites . . . oblique ⊥: coefficients amplitude oblique ⊥: coefficients puissance . . . oblique k: champs . . . . . . . . . . . . . oblique k: conditions aux limites . . . oblique k: coefficients amplitude . oblique k: coefficients puissance . . . . Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.polytech.unice.fr/~aliferis 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Ce document contient les transparents du cours mais il n’est en aucun cas complet (auto-suffisant) ; une grande quantité d’information (commentaires, explications, diagrammes, démonstrations etc.) est donnée pendant les séances, oralement ou à l’aide du tableau. Le logo du logiciel R à droite d’un titre contient un lien vers le script illustrant les résultats présentés dans le transparent. L’étude du graphique (mais pas celle du script !) fait partie intégrante du cours. Tous les scripts sont accessibles dans la partie « Documents / Compléments multimédia » du site : http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/cip2/electromagnetisme/ Toutes les ressources externes, disponibles en lien hypertexte à partir de ce document, sont aussi répertoriées dans la partie « Ressources Externes » du site : http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/cip2/electromagnetisme/ Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin, MIT : Walter Lewin, 8.02 Electricity and Magnetism, Spring 2002. (Massachusetts Institute of Technology : MIT OpenCourseWare), http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-02Electricity-and-MagnetismSpring2002/CourseHome/ (Accessed September 9, 2009). License : Creative Commons BY-NC-SA. Document préparé avec LATEX et powerdot, sous licence Creative Commons BY-NC-SA : Paternité – Pas d’Utilisation Commerciale – Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France. 7 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Introduction 2 Plan du cours Introduction Analyse vectorielle Électrostatique Magnétostatique Phénomènes d’induction Équations de Maxwell Ondes électromagnétiques 26 séances cours + 26 séances TD (39h × 2) H Optique ondulatoire 6 séances cours + 6 séances TD (9h × 2) H H H H H H H 3 Règles du jeu / conseils H Travail individuel Contrôles : 3 (IA) + 1 (PV) Coefficients croissants 14%, 18%, 22%, 26% ◮ Contrôle continu : quiz, tableau, etc. 20% (harmonisation des notes entre groupes TD) ◮ ◮ H H H H Les transparents Classeurs, prise de notes J@lon : http://jalon.unice.fr ... 4 8 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Un tout petit peu d’histoire. . . H H H H H L’ambre (ἤλεκτρον) et l’aimant (μαγνήτης) : 3000 ans d’histoire ! Premières traces écrites : Thalès (624–547 av. J.C.) Platon (427–341 av. J.C.) Deux phénomènes distincts. . . . . . unifiés à la fin du XIXe siècle (1864) par James Clerk Maxwell (1837–1879) (et après ?) 5 Qu’est-ce qu’on fait ici ? Pourquoi étudier l’électromagnétisme ? La technologie (toutes ces applications. . . ) C’est tout ? H Les quatre forces (interactions) de la Nature : H H 1. 2. 3. 4. H Gravitationnelle Électromagnétique Nucléaire forte Nucléaire faible Dans quels contextes ? Dans quel ordre ? 6 9 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Forces gravitationnelle et électrique Deux électrons me = 9.1 × 10−31 kg qe = −1.6 × 10−19 C H Force gravitationnelle H Fg = G H me me r2 Force électrique Fe = kc H H qe qe r2 (G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2 ) (kc = 8.99 × 109 N m2 C−2 ) Fe /Fg = 0.23 × 1042 1 × 1026 m Univers = 0.6 × 1041 = proton 1.6 × 10−15 m 7 L’É/M est partout ! Les forces et les phénomènes électromagnétiques se trouvent partout autour de nous ! (mais pourquoi on ne sent rien ?) 8 10 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Champs électromagnétiques H H ~ et B ~ pour décrire ces phénomènes ? Pourquoi utiliser les champs E Force électrique entre deux charges : loi de Coulomb ~ = kc q1 q2 û1→2 F r2 Valable uniquement si les charges sont immobiles ! Sinon ? la formule devient très compliquée. . . H Force électromagnétique (force de Lorenz) : ~ = q(E ~ +~ ~ F v ∧ B) (1) ~ et B. ~ Exercée sur une charge q de vitesse ~ v se déplaçant dans un champ E Valable toujours. 9 Comment ça marche ? 1. Les charges « sources » (immobiles ou pas) créent des champs. 2. Les champs agissent sur d’autres charges (force de Lorenz). ~ et B) ~ créés par les Il suffit de (bien) décrire les champs (E sources. Charge : valeur multiple de qe . . . 10 11 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Champ électrostatique H H H « Statique » : les charges ne se déplacent pas Loi de Coulomb (1785) Force exercée par la charge 1 sur la charge 2 : ~1→2 = F 1 q1 q2 û1→2 4πǫ r 2 | {z 0} kc H Champ électrique généré par la charge 1 : ~ ~ 1 , F1→2 = 1 q1 û1→2 E q2 4πǫ0 r 2 H Donc, à partir du champ électrique : ~1→2 = q2 E ~1 F 11 12 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Analyse vectorielle : champ, flux 12 La notion de champ H H H H H Champ scalaire : l’association à chaque point de l’espace d’un scalaire (un seul nombre) : p.ex. température, altitude, . . . Champ vectoriel : l’association à chaque point de l’espace d’un vecteur (longueur et orientation) : p.ex. vent, vitesse, . . . Il faut d’abord pouvoir se repérer et s’orienter dans l’espace ! Systèmes de coordonnées (1, 2 ou 3 dimensions ?) Vecteurs 13 13 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Système de coordonnées cartésiennes Variable valeurs longueur élémentaire x y z ] − ∞, ∞[ ] − ∞, ∞[ ] − ∞, ∞[ dx dy dz H H H H H Surface élémentaire dS x constant : dy dz y constant : dz dx z constant : dx dy Volume élémentaire dV = dx dy dz Vecteur de position : ~ r = xêx + yêy + zêz Un système d’exception ! les trois variables ont les mêmes dimensions (longueur) et sont équivalentes. (et l’oreille interne ?) 14 Système de coordonnées cylindriques Variable valeurs longueur élémentaire ρ φ z [0, ∞[ [0, 2π] ] − ∞, ∞[ dρ ρ dφ dz Surface élémentaire dS ρ constant : ρ dφ dz φ constant : dρ dz z constant : ρ dρ dφ H Volume élémentaire dV = ρ dρ dφ dz r = ρêρ + zêz H Vecteur de position : ~ H 15 14 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Système de coordonnées sphériques Variable valeurs longueur élémentaire r θ φ [0, ∞[ [0, π] [0, 2π] dr r dθ r sin θ dφ Surface élémentaire dS r constant : r 2 sin θ dφ dθ θ constant : r sin θ dr dφ φ constant : r dr dθ H Volume élémentaire dV = r 2 sin θ dr dθ dφ H Vecteur de position : ~ r = rêr H 16 Vecteurs Objet mathématique ayant une longueur (norme), une direction et un sens (orientation). Notation : ~ le vecteur : A ~ ou A (un nombre) sa norme : kAk H Un vecteur est défini par ses trois composantes : A1 ~ = A2 A A3 H H Les A1 , A2 , A3 dépendent du système de coordonnées choisi, mais le vecteur non ! ~ a la même orientation que A ~ mais kûA k = 1 ! H Astuce : le vecteur ûA = 1~ A kAk Vecteur « unitaire » 17 15 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Le produit scalaire : une projection H ~ et B, ~ deux vecteurs formant un angle θ : Le produit scalaire de A ~ ·B ~ = kAkk ~ Bk ~ cos θ A ~ ·B ~ = AB cos θ (notation plus simple) A (2) (Ne pas oublier le point · entre les vecteurs !) ~ sur la direction de B ~! H A cos θ : la projection de A H Si û un vecteur unitaire (orientation) : H ~ · û = projection de A ~ sur la direction de û A Dans tous les systèmes de coordonnées : ~ ·B ~ = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 A (3) 18 Vecteurs unitaires H H H Des vecteurs « à part » Notation : lettre miniscule + chapeau û, n̂, ê, . . . Information sur l’orientation : Systèmes de coordonnées : êx , êρ , êθ , . . . montrent le sens d’augmentation de la variable concernée ◮ Surfaces : n̂ montrent le sens de la normale par rapport à la surface (donc la définissent + entrée/sortie) ◮ H « Utilité » : ◮ ~ sur la direction du vecteur unitaire û : A ~ · û « Extraire » la composante d’un vecteur A (C’est quoi les composantes d’un vecteur ?) 19 16 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 [Extra] Le vecteur de position ~ r Pour chaque point M , le vecteur ~ r indique : la distance par rapport à l’origine (OM ) l’orientation (de O vers M ). H Coordonnées cartésiennes, M (x, y, z) : H ~ r = xêx + yêy + zêz H Coordonnées cylindriques, M (ρ, φ, z) : ~ r = ρêρ + zêz (où est passé φ ?) H Coordonnées sphériques, M (r, θ, φ) : ~ r = rêr (où sont passés θ et φ ?) 20 Système de coordonnées cartésiennes (bis) Variable valeurs longueur élémentaire x y z ] − ∞, ∞[ ] − ∞, ∞[ ] − ∞, ∞[ dx dy dz Surface élémentaire dS x constant : dy dz y constant : dz dx z constant : dx dy H Volume élémentaire dV = dx dy dz H Un système d’exception ! les trois variables ont les mêmes dimensions (longueur) et sont équivalentes. H En plus, les trois vecteurs unitaires êx , êy , êz , restent les mêmes à chaque point de l’espace ! H 21 17 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Champ scalaire Champ scalaire : l’association à chaque point de l’espace d’un scalaire (un seul nombre) : p.ex. température, altitude, . . . H Un champ scalaire est une fonction de 3 variables p.ex. en coordonnées cartésiennes : Φ(x, y, z) H 22 Champ vectoriel Champ vectoriel : l’association à chaque point de l’espace d’un vecteur (module et direction) : p.ex. vent, vitesse, . . . H Un champ vectoriel est un ensemble de 3 fonctions (les composantes) chacune de 3 variables (les coordonnées) : Ax (x, y, z) ~ A(x, y, z) = Ay (x, y, z) Az (x, y, z) H H Ne pas confondre composantes et coordonnées ! 23 18 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Flux d’un champ vectoriel (intro) (Qu’est-ce qui traverse une surface ?) H Champ vectoriel ~ h : kg s−1 m−2 H Surface élémentaire (ouverte) dS ◮ ◮ ◮ H Surface ouverte S ◮ H Vecteur normal à la surface n̂ ~ = n̂ dS Vecteur dS ~? Que représente ~ h · dS Que représente Surface fermée S ◮ Que représente R S ~ ~? h · dS H S ~ ~? h · dS 24 Flux d’un champ vectoriel H H ~ Champ vectoriel A Surface (ouverte) S ~ à travers S : Flux du champ A Z ~ · dS ~ A ou I ~ · dS ~ A ou S H Z ~ · n̂ dS A (4) I ~ · n̂ dS A (5) S Surface (fermée) S (n̂ sortant) ~ à travers S : Flux du champ A S S Le flux à travers une surface fermée donne des informations sur les « sources » du champ à l’intérieur de la surface 25 19 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Loi de Gauss (électrostatique) H H Électrostatique : les charges sont immobiles Loi de Gauss : « Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge totale incluse à l’intérieur de cette surface » I S ~ · dS ~= E I ~ · n̂ dS = Qint E ǫ0 S (6) −9 −1 (rappel sur les La constante ǫ0 (permittivité du vide) est égale à 8.85 × 10−12 F m−1 ≈ 10 36π F m −1 dimensions : F = C V ). H n̂ est perpendiculaire à chaque point de la surface S et sa direction est vers l’extérieur de celle-ci. H Le champ électrique en V m−1 H 26 20 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Analyse vectorielle 2 : divergence 27 Couper un volume en morceaux. . . H H H H H Volume V entouré par S (donc fermée) Partager V en V1 , V2 , entourés par S1 , S2 I I ~ · n̂ dS = A Continuer. . . S1 S . . . jusqu’où ? Surface fermée Si élémentaire I S ~ · n̂1 dS + A ~ · n̂ dS = A X I i Si I S2 ~ · n̂2 dS A ~ · n̂i dS A (7) 28 21 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Divergence H H H Quel est le flux à travers une surface élémentaire fermée ? Divergence = flux surface élémentaire / volume 1 ∆V→0 ∆V ~ , lim div A H H H H I S ~ · dS ~ A (8) ~ : un champ scalaire ! (> 0, < 0, = 0) div A ~ ∝ flux à travers surface fermée autour de ce point À chaque point de l’espace, div A flux ∝ sources ~ est proportionnelle La divergence du champ A à la densité volumique des sources qui le génèrent. 29 Loi de Gauss (électrostatique) : forme locale H Surface élémentaire autour d’un volume élémentaire ∆V incluant une charge ∆Q : I S H H ~ · dS ~= E I ~ · n̂ dS = ∆Q E ǫ0 S Densité volumique R de charge ρ = dQ/ dV Charge ∆Q = ∆V ρ dV = ρ∆V I ~ · dS ~ = ρ∆V E ǫ0 S ~= ρ div E ǫ0 H (9) (et alors ?) 30 22 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Calcul de la divergence Système de coordonnées cartésiennes Surface élémentaire autour de (x, y, z) : cube centré à (x, y, z), de dimensions ∆x, ∆y, ∆z H Calculer le flux à travers sa surface H H H ~= div A flux ∆x,∆y,∆z→0 volume ~= div A ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z lim H H (10) Systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques. . . 31 Théorème de la divergence (1) H H H Surface fermée S autour d’un volume V Découper V en plusieurs petits morceaux Vi Si la surface (fermée) autour de Vi flux à travers S = X flux à travers Si i I S H ~ · n̂ dS = A X I i Si ~ · n̂i dS A À la limite où la surface Si devient infiniment petite (englobe ∆V → 0) : I 1 ~ · n̂i dS = div A ~ lim A ∆V→0 ∆V Si 32 23 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Théorème de la divergence (2) flux volume divergence = I Si H H Donc : I S ~ · n̂i dS = div A ~ dV A ~ · n̂ dS = A Z ~ dV div A (11) V Théorème ◮ ◮ ◮ de la divergence de Gauss de Ostrogradsky 33 Loi de Gauss : intégrale vers locale H Loi de Gauss, forme intégrale (6), tr.26 : I ~ · n̂ dS = Qint E ǫ0 S R r ) dV La charge à l’intérieur de S : Qint = V ρ(~ R H ~ ~ dV H Le flux à travers S : S E · n̂ dS = V div E H Z Z ~ div E dV = H V V ρ(~ r) ǫ0 dV ~= ρ div E ǫ0 34 24 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Superposition 35 Le principe de superposition : ~1 + ~1 = ~2 L’effet de la somme = la somme des effets Charge ponctuelle qi à ~ ri , ~i à ~ crée un champ E r: qi ~ r −~ ri 1 ~ i (~ E r) = 4πǫ0 k~ r −~ ri k2 k~ r −~ ri k P ~ r) ~ r) = H Ensemble de charges crée E(~ i Ei (~ H Distribution continue de charges, densité volumique ρ (C m−3 ), crée : Z ~ r −~ r′ 1 1 ~ ρ(~ r ′ ) dV ′ E(~ r) = 4πǫ0 V ′ k~ r −~ r ′ k2 k~ r −~ r ′ k | {z } H H dq H Condition : pas d’interaction entre les charges ! 36 Exemple de superposition : deux plans infinis H H H H H H Deux plans parallèles Distance entre les plans : d Un plan infini de densité surfacique +ρs Un plan infini de densité surfacique −ρs ~ partout dans l’espace Calculer le champ E (un seul plan : TD 1, 1.3 ; WL, L3, 37m58s-41m00s ) ~1 + ~1 = ~2 37 25 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Visualisation de champs vectoriels 38 Deux approches 1. Dessiner des vecteurs H H H ~ r) À chaque point ~ r dessiner le vecteur E(~ L’origine du vecteur à ~ r Diagramme “quiver” (carquois) 2. Dessiner des « lignes de champ » H H H H H H Lignes continues ~ (orientation) Tangentes au champ E ~ Lignes/surface ∝ kEk (module) Ne se croisent jamais Pas de superposition ! (moins maniables que le champ. . . ) 39 Un autre regard sur le flux (et la divergence) nombre de lignes ∝E surface perpendiculaire Z ~ · dS ~ flux à travers S = E H S ∝ Z nombre de lignes traversant dS S = nombre de lignes traversant S H H H H H lignes traversant = lignes sortant − lignes entrant Flux positif : sorties > entrées Flux nul : équilibre entrées/sorties Flux négatif : sorties < entrées Divergence : flux « local » 40 26 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Lignes de champ en électrostatique Loi H de Gauss : Q ρ ~ ~ S E · n̂ dS = ǫ0 ou div E = ǫ0 H Nombre de lignes traversant une surface fermée ∝ Q (à l’intérieur) H Trois règles d’or : H H 1. Les lignes commencent (ր) sur les charges positives. . . 2. . . . et se terminent (ց) sur les charges negatives 3. Le nombre de lignes (ր − ց) autour d’une charge Q, est proportionnel à Q Exemples de lignes de champ : Applet “Electric field lines” et expériences de Walter Lewin (MIT) : Graines de gazon (WL, L2, 42m25-43m40) Jeu de ballon ! (WL, L2, 45m55-49m24) 41 27 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Travail dans un champ électrostatique : potentiel 42 Le travail de A vers B (1) Une charge (fixe) ponctuelle Q à l’origine (le reste n’est que superposition !) H On déplace une charge « test » q ~ de Q dans le champ E H Quel est le travail dépensé de A à B ? (« dépensé » : par celui qui déplace la charge) H Travail = force × déplacement : H ~ · d~l = F ~ · t̂ dl dW = F H H (J = N m) t̂ : vecteur unitaire, tangent à d~l WA→B = Z Γ: ~ rA →~ rB ~ · d~l F 43 28 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Le travail de A vers B (2) H Force exercée sur la charge q pendant le déplacement : (« exercée » : par celui qui déplace la charge) ~ = −F ~el = −(q E) ~ F H Travail dépensé de A à B : WA→B = −q Z Γ: ~ rA →~ rB ~ · d~l E (12) Γ: ~ rA → ~ rB le chemin de A vers B (lequel ? ) 44 De quoi dépend WA→B ? H H H H H . . . après réflexion, WA→B ne dépend que de ~ rA et ~ rB ~ k êr ) (parce que E Il n’y a que les points de départ et d’arrivée qui interviennent ! Le chemin Γ de A à B ne compte pas ! Conséquence : le travail le long d’une courbe fermée est nul, donc : I I ~ · t̂ dl = 0 ~ ~ E E · dl = (13) Γ Γ « La circulation du champ électrique le long d’une courbe fermée, est nulle » H Les forces électrostatiques sont conservatrices H 45 29 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Du travail au potentiel H H H WA→B = f (~ rA , ~ rB ) =? Remarque : WP →A + WA→P = 0 WA→B = WA→P →B (le chemin ne compte pas) = WA→P + WP →B = −WP →A + WP →B H H Travail dépensé de A à B par charge déplacée : WA→B /q WA→B WP →B WP →A = − q q q (14) 46 Potentiel : le travail par charge H On choisit un point de référence P et on définit le potentiel à chaque point A de l’espace : V (~ rA ) , H H WP →A q (15) q[V (~ rB ) − V (~ rA )] (16) Le potentiel V (~ r ) est un champ scalaire Le potentiel du point de référence : V (~ rP ) = H J C−1 = V WP →P =0 q Le travail dépensé de A à B : WA→B (14),(15) = 47 30 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Travail : charge × ddp H V (~ rB ) − V (~ rA ) : différence de potentiel (ddp) WA→B = q[V (~ rB ) − V (~ rA )] = charge × ddp H Si WA→B > 0 on fournit de l’énergie à la charge déplacée ◮ ◮ H (17) q > 0 et V (~ rB ) > V (~ rA ) q < 0 et V (~ rB ) < V (~ rA ) Si WA→B < 0 on récupère de l’énergie (déplacement « spontané » A → B) ◮ ◮ q > 0 et V (~ rB ) < V (~ rA ) q < 0 et V (~ rB ) > V (~ rA ) 48 Potentiel créé par une charge ponctuelle H H H H Charge Q à l’origine ~ = 1 Q2 êr E 4πǫ0 r Potentiel = travail / charge ; référence P à l’infini Z W∞→A ~ · t̂ dl V (~ rA ) = E =− q Γ: ~ r∞ →~ rA Z Q 1 =− êr · (−êr dr) 4πǫ0 Γ: ~r∞ →~rA r 2 Z ∞ Q 1 dr attention aux bornes ! = 4πǫ0 rA r 2 1 ∞ Q 1 Q − = = 4πǫ0 r rA 4πǫ0 rA (18) Ensemble de charges ou distribution de charges : superposition 49 31 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Du champ électrostatique au potentiel H Travail dépensé de A vers B par charge déplacée : WA→B = V (~ rB ) − V (~ rA ) q Z ~ · d~l E =− alors que V (~ rB ) − V (~ rA ) = Γ: ~ rA →~ rB Z dV Γ: ~ rA →~ rB ~ · d~l dV = −E (19) À un point de l’espace, examiner les cas : dV > 0 (max ?) ; dV < 0 (min ?) ; dV = 0 H Exemple : un condensateur (plaques parallèles) ; Van de Graaf et tube fluorescent (WL, L4, 43m00-49m01) ; Applet “Charges and Fields” H 50 Du potentiel au champ électrostatique H H ~ · d~l dV = −E En coordonnées cartésiennes, V (~ r ) = V (x, y, z) : dV = ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z et d~l = dxêx + dyêy + dzêz donc ~= −E −−→ ∂V ∂V ∂V êx + êy + êz , grad V ∂x ∂y ∂z −→ ~ = −− E grad V H (V m−1 ) (20) −→ ~ · d~l = − Remarque : dV = −E grad V · d~l 51 32 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Analyse vectorielle 3 : gradient 52 Le gradient d’un champ scalaire H −−→ −−→ dV = grad V · d~l = grad V · t̂ dl −−→ dV dérivée selon t̂ grad V · t̂ = dl H Le gradient d’un champ scalaire V : 1. Est un champ vectoriel 2. Perpendiculaire aux équipotentielles (V = cste, dV = 0) 3. Montre la direction de la plus forte augmentation de V ( dV max) −−→ 4. Module : dV dl max (max quand t̂ k grad V ) V (~ rB ) − V (~ rA ) = Z rappel : f (b) − f (a) = Z −−→ grad V · t̂ dl {z } Γ: ~ rA →~ rB | dV / dl b f ′ (x) dx = a Z b a df dx dx 53 Le gradient dans les trois systèmes de coordonnées H H H H H −−→ dV = grad V · d~l Exprimer dV et d~l. . . Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques −−→ ∂V ∂V ∂V grad V = êx + êy + êz ∂x ∂y ∂z (21) −−→ 1 ∂V ∂V ∂V êρ + êφ + êz grad V = ∂ρ ρ ∂φ ∂z (22) −−→ ∂V 1 ∂V 1 ∂V grad V = êr + êθ + êφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ (23) Coordonnées sphériques 54 33 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Du champ au potentiel : un raccourci R ~ · t̂ dl V (~ rB ) − V (~ rA ) = − Γ: ~rA →~rB E Deux conditions pour prendre un raccourci : ~ n’a qu’une seule composante. . . 1. Le champ E 2. . . . correspondant à une variable de longueur ~ = Eρ êρ H Exemple : coord. cylindriques et E −→ ~ = −− ◮ Commencer par E grad V ◮ Équ. (22) : ∂V /∂φ = 0 et ∂V /∂z = 0 ◮ Donc V est fonction uniquement de ρ ! dV (ρ) ◮ Eρ (ρ) = − dρ = −V ′ (ρ) Z V (ρ) = − Eρ (ρ) dρ + C H H ◮ (24) C : constante à déterminer en imposant une valeur de V (p.ex. Vréf = 0) 55 34 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Analyse vectorielle 4 : circulation, rotationnel 56 Couper une surface en morceaux. . . H ~ le long de Γ : Circulation du champ A Z ~ · d~l ou A Γ Z Γ ~ · t̂ dl A Circulation : un nombre (> 0, < 0, = 0) égal à la valeur moyenne de Atan × longueur de Γ H À partir de maintenant : courbe Γ fermée H Surface S (ouverte) entourée par Γ (fermée) H Partager S en S1 , S2 , entourées par Γ1 , Γ2 I I I ~ ~ A · t̂1 dl + A · t̂ dl = H Continuer. . . Γ1 Γ I Γ H H ~ · t̂ dl = A . . . jusqu’où ? Courbe fermée Γi et surface Si : élémentaires X I i Γi Γ2 (25) ~ · t̂2 dl A ~ · t̂i dl A (26) 57 35 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Rotationnel Quelle est la circulation le long d’une courbe élémentaire fermée ? courbe élémentaire fermée H Rotationnel , circulation aire surface plane entourée H Faire intervenir le vecteur n̂ de la surface H Sens de circulation t̂ ↔ sens de la normale n̂ (Périph’ externe ↔ tour Eiffel) H H 1 ∆S→0 ∆S − →~ n̂ · rot A , lim I Γ ~ · t̂ dl A (27) − →~ rot A : un champ vectoriel ! (norme + sens) − → ~ − →~ À chaque point de l’espace, n̂ · rot A (composante du rot A selon n̂) ∝ circulation autour de ce point sur le bord d’une surface élémentaire ⊥ n̂ − →~ H Si le champ « tourne » (krot Ak = 6 0), il fait des tourbillons autour du vecteur du rotationnel (règle de la main droite). − →~ H La surface dont n̂ k rot A contient un tourbillon du champ. H Visualisation : un moulin immergé dans le champ. H H 58 Rotationnel du champ électrostatique H H Courbe élémentaire autour d’une surface plane ∆S Circulation du champ électrostatique (13) : I H Γ ~ · d~l = E I Γ ~ · t̂ dl = 0 E Circulation par surface plane : − →~ n̂ · rot E = lim ∆S→0 H H 1 0=0 ∆S Pour toutes les surfaces ∆S, n̂ ! Rotationnel du champ électrostatique : − →~ ~ rot E =0 H (28) (et alors ?) 59 36 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Calcul du rotationnel H Système de coordonnées cartésiennes circulation courbe élémentaire fermée − → ~ n̂ · rot A = lim ∆S→0 aire surface plane entourée Trois courbes élémentaires autour de (x, y, z) : 1. n̂ = êz : surface plane, centrée à (x, y, z), de dimensions ∆x, ∆y (∆S = ∆x∆y) H Calculer la circulation le long de cette courbe H ∂Ay ∂Ax − → ~ − → ~ êz · rot A = rot A| − z = ∂x ∂y H Les deux autres courbes (n̂ = êx et n̂ = êy ) : ∂Az ∂Ay − →~ rot A| − x = ∂y ∂z , ∂Ax ∂Az − →~ rot A| − y = ∂z ∂x 60 Le rotationnel en coordonnées cartésiennes développer selon la première ligne ! êx êy êz − → ~ ∂ ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y ∂z A A A x y z = ∂Az ∂y ∂A ∂zx ∂Ay ∂x 37 − − − (29) ∂Ay ∂z ∂Az ∂x ∂Ax ∂y www.polytech.unice.fr/~aliferis 61 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Le rotationnel en coordonnées cylindriques êρ ρêφ êz 1 − →~ ∂ ∂ ∂ rot A = ∂ρ ∂φ ∂z ρ Aρ ρAφ Az ∂Aφ 1 ∂Az − ρ∂A∂φρ ∂A∂zz − ∂ρ = h ∂z i ∂A 1 ∂(ρAφ ) − ∂φρ ρ ∂ρ (30) 62 Le rotationnel en coordonnées sphériques êr rêθ r sin θêφ ∂ 1 − → ~ ∂ ∂ rot A = 2 ∂r ∂θ ∂φ r sin θ Ar rAθ r sin θAφ h i ∂(sin θAφ ) ∂Aθ 1 − ∂θ ∂φi r sinhθ 1 1 ∂Ar ∂(rAφ ) = r sin θ ∂φ − ∂r h i ∂Ar 1 ∂(rAθ ) − ∂θ r ∂r 38 (31) www.polytech.unice.fr/~aliferis 63 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Énergie électrostatique 64 Charge ponctuelle H Travail dépensé P → A = Énergie potentielle WP →A = q[V (~ rA ) − V (~ rP )] = qV (~ rA ) = U e H L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q : (32) Ue = qV (~ r) H V (~ r ) : potentiel créé par toutes les autres charges 65 Ensemble de N charges (1) H H H Ue : Le travail dépensé pour déplacer toutes les charges de P → A Charges déplacées l’une après l’autre, qi à ~ ri Vj (~ ri ) : potentiel créé au point ~ ri par la charge qj Déplacée Présente(s) Travail dépensé q1 q2 q3 ... qN — q1 q1 , q2 ... q1 , . . . , qN −1 0 q2 V1 (~ r2 ) q3 V1 (~ r3 ) + q3 V2 (~ r3 ) ... qN [V1 (~ rN ) + . . . + VN −1 (~ rN )] PN P Ue = i=2 j<i qi Vj (~ ri ) Total : H Peut-on trouver une formule plus simple ? 66 39 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Ensemble de N charges (2) P P Ue = N ri ) i=2 j<i qi Vj (~ 1 qi qj = qj Vi (~ rj ) (normal !) H Remarque : qi Vj (~ ri ) = 4πǫ 0 ri,j H On ajoute l’autre moité des termes et on divise par deux ! H N N −1 1 XX 1 XX qi Vj (~ ri ) + qi Vj (~ ri ) 2 2 i=2 j<i i=1 j>i N N X X X X 1 1 qi = Vj (~ ri ) qi Vj (~ ri ) = 2 2 Ue = i=1 i=1 j6=i j6=i N Ue = H 1X qi V (~ ri ) 2 (33) i=1 V (~ ri ) : potentiel créé au point ~ ri par toutes les autres charges (sauf la qi ) 67 Distribution continue de charges 1. Volumique : dq = ρ(~ r ) dV 2. Surfacique : dq = ρs (~ r ) dS r ) dl 3. Linéique : dq = ρl (~ H H 1 Ue = 2 Z ρ(~ r )V (~ r ) dV (34) 1 Ue = 2 Z ρs (~ r )V (~ r ) dS (35) 1 Ue = 2 Z ρl (~ r )V (~ r ) dl (36) V S Γ V (~ r ) : le potentiel au point ~ r créé par la distribution Intégrer sur les charges 68 40 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Densité volumique d’énergie H ~ plutôt que de potentiel V et de charges ρ ? Peut-on exprimer l’énergie en termes de champ E Z 1 Ue = ρ(~ r )V (~ r ) dV 2 V ~ ρ = ǫ0 div E − − → ~ = −grad V E H Sans démonstration : la (34) devient 1 Ue = 2 H H Z ǫ0 E 2 (~ r ) dV (37) V ǫ0 E 2 /2 : densité volumique d’énergie (J m−3 ) Intégrer partout dans l’espace ! 69 41 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Électrostatique : récapitulatif 70 Équations du champ électrique (1) H Forme intégrale : flux et circulation Forme locale : divergence et rotationnel I ~ · n̂ dS = Qint E ǫ0 S I ~ · t̂ dl = 0 E ~ = ρ div E ǫ0 − →~ ~ rot E =0 Γ H Potentiel −→ ~ = −− E grad V Z ~ · t̂ dl E V (~ rB ) − V (~ rA ) = − Γ: ~ rA →~ rB Z ~ = Ex êx : V (x) = − Ex (x) dx + C Si E 71 42 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Équations du champ électrique (2) H Énergie potentielle électrostatique N 1X qi V (~ ri ) 2 i=1 Z 1 Ue = ρ(~ r )V (~ r ) dV 2 V Z 1 ǫ0 E 2 (~ r ) dV Ue = 2 V Ue = 72 43 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Conducteurs en électrostatique 73 Qu’est-ce qu’un conducteur ? Conducteur (contraire : isolant ou « diélectrique ») Contient des porteurs de charge en libre circulation « Porteurs de charge » : électrons libres dans le métal H Les charges (électrons) sont libres à se déplacer H Les charges (+ ou −) se repoussent le plus loin possible : on retrouve des charges uniquement sur la surface d’un conducteur. . . H H H 74 44 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Le champ et les charges à l’intérieur H H H H « À l’intérieur » : dans le métal À l’équilibre électrostatique, les charges ne se déplacent plus (par définition). . . . . . alors qu’il y a des électrons libres à l’intérieur ! Pas de déplacement parce que pas de force ! ~ = ~0 E à l’intérieur d’un conducteur Loi de Gauss à l’intérieur du conducteur : ~ = ~0 ⇒ Qint = 0 forme intégrale : E ~ ~ =0⇒ρ=0 forme locale : E = ~0 ⇒ div E H L’intérieur du conducteur est neutre ! H 75 Le champ et les charges dans une cavité H H H « Cavité » : la partie interne d’un conducteur creux Cavité vide (neutre) ~ : chemin Γ dans la cavité et dans le conducteur Calculer la circulation de E ~ = ~0 E dans une cavité sans charge Loi de Gauss à l’intérieur du conducteur : forme intégrale : Qcav + Qsurf. int = 0 H Pas de charges sur la surface interne si cavité vide ! (WL, L5, 28m26–31m27) ~ ext H Mêmes résultats en présence d’un champ E (WL, L5, 43m13–45m41) H Principe de blindage (cage de Faraday) (WL, L5, 45m43–49m58) H 76 45 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Le champ à la surface du conducteur (1) À l’équilibre, les charges ne se déplacent plus. . . ~ tangentielle . . . pas de composante E ~ Le champ E est nul à l’intérieur Des charges uniquement sur la surface : densité surfacique ρs (C m−2 ) H Loi de Gauss : un cylindre autour de la surface H H H H ~ = ρs n̂ E ǫ0 H (38) ~ est Le champ E 1. perpendiculaire à la surface du conducteur 2. proportionnel à la densité surfacique des charges H Un conducteur (+ ses cavités sans charge) forme une région équipotentielle 77 Le champ à la surface du conducteur (2) H H H H H H H H Deux sphères métalliques, rayons R1 , R2 Très éloignées ; connectées par un fil conducteur Charges Q1 , Q2 Densité de charge surfacique ρsi = Qi /4πRi2 1 Qi Potentiel : V (Ri ) = 4πǫ 0 Ri « Connectées » : V (R1 ) = V (R2 ) Q2 1 =⇒ Q R1 = R2 Si R1 > R2 , ρs1 < ρs2 donc E1 < E2 Le champ électrique est plus fort aux endroits où le rayon de courbure est petit (p.ex. pointes) H Démonstration : une casserole chargée (WL, L6, 6m30–9m00) 78 46 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Rigidité diélectrique Quand les isolants deviennent conducteurs. . . R.D. : valeur maximale du champ électrique dans un isolant avant qu’il ne devienne conducteur Mécanisme : quand E > Emax , électrons libres accélérés par le champ ; avalanche d’électrons libres ; le milieu s’ionise et devient conducteur ; formation d’arc électrique ; son et lumière à la recombinaison électrons/ions H Dans l’air Emax = 3 MV/m H Si E > Emax , décharge électrostatique (WL, L6, 40m27–42m10) H Effet corona : décharge électrostatique sans formation d’arc ; « fuite » de charges par les pointes ; champ électrique élevé, mais ne dépasse pas Emax (WL, L6, 42m12–46m00) H H H 79 Rigidité diélectrique : quelques valeurs typiques Matériau R.D. (MV m−1 ) Air (sec, à 25 ◦C) Quartz Titanate de strontium Néoprène Nylon Pyrex Huile silicone Papier Bakelite Polystyrène Teflon 3 8 8 12 14 14 15 16 24 24 60 Remarque : MV m−1 = kV mm−1 80 47 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Courants électriques 81 Des charges en mouvement H H H H H H Courant électrique I = Charges / Temps Quelques précisions. . . « Courant » : à travers une surface « Charges » : traversant la surface de façon perpendiculaire Inclure la surface à la définition ! Densité de courant J~ ◮ ◮ ◮ ◮ Vecteur (champ vectoriel) Direction : celle des charges positives Module : charges traversant une surface ⊥ par unité de temps et de surface Unités : C s−1 m−2 = A m−2 82 Calculer la densité de courant Des porteurs de charges libres à se déplacer Densité volumique des porteurs : n (m−3 ) Charge des porteurs : q (C) Vitesse des porteurs : ~ v (m s−1 ) Un cylindre de longueur l et de section A ; section ⊥ ~ v H Charge totale dans le cylindre : Q = nlAq traversant la section A en un temps t = l/v H Densité de courant : J~ = nq~ v H H H H H H Si plusieurs types de porteurs : J~ = X (A m−2 ) (39) ni qi ~ vi i 83 48 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Conservation de la charge : forme intégrale H Courant à travers une surface élémentaire : ~ = J~ · n̂ dS dI = J~ · dS H Courant à travers une surface ouverte : dQsurf = I= dt H H (> 0 ou < 0) Courant à travers une surface fermée : I Z dI = Z S S ~= J~ · dS Z S J~ · n̂ dS dQint J~ · n̂ dS = − dt S (40) (41) La charge totale dans l’Univers est constante : d (Qsurf fermée + Qint ) = 0 dt 84 Conservation de la charge : forme locale H À partir de (41) on remplace : Z I ~ div J~ dV (th. de la divergence) J · n̂ dS = V S Z ρ(~ r ) dV Qint = V H Conservation de la charge : r) ~ r ) = − ∂ρ(~ div J(~ ∂t H (42) Les « sources » du champ vectoriel J~ sont les variations temporelles de ρ ! 85 49 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Électronique : loi des nœuds H En Électronique (« basses fréquences »), pas d’accumulation de charges dans un circuit : ∂ρ(~ r) =0 ∂t H −→ Donc sur une surface S autour d’une jonction : Z I div J~ dV = 0 J~ · n̂ dS = V S H div J~ = 0 Loi des nœuds (loi de Kirchhoff) : X Ii = 0 , I sortant > 0 i H Courant I constant le long d’un fil ! (6= d’une ligne de transmission. . . ) 86 Vitesses des électrons dans les conducteurs (1) H H H H H H Électrons libres, en absence de champ électrique : mouvement aléatoire Données cuivre, température T = 300 K Vitesse de Fermi : vF ≈ 106 m s−1 Temps entre les collisions τ ≈ 10−14 s Distance entre les collisions : d = vF τ ≈ 10−8 m Densité des électrons libres : n ≈ 1029 m−3 Densité de courant : ? J = nqvF ≈ 1029 1.6 × 10−19 106 A m−2 H H ??? Vitesse moyenne nulle, J~ = ~0 ! H 87 50 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Vitesses des électrons dans les conducteurs (2) Conducteur de longueur l, de section A Appliquer une ddp U = V(+) − V(−) H Champ dans le conducteur 6= ~ 0! H H −→ U U ~ = −− E grad V = − ê(−)→(+) = ê(+)→(−) l l H H H ~e = qe E ~ sur les électrons libres Force F ~f = −f~ Collisions : force de « friction » F v Forces et vitesse sur le même axe : pas de vecteurs me dv = qe E − f v dt me dv qe +v = E f dt f (43) 88 Vitesses des électrons dans les conducteurs (3) H Solution de (43) : qe f v = C exp − t + E me f Conditions initiales : v(t = 0) = 0 donc C = −qe E/f H Unités de f /me : s−1 , on peut l’appeler 1/τ q τ e v(t) = 1 − e−t/τ E me H H Vitesse de dérive des électrons libres : vd = H (44) qe τ E me t ≫ τ ≈ 10−14 s (45) Mobilité : µe = qe τ /me 89 51 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Courants dans les conducteurs H Vitesse de dérive −→ densité de courant : nq 2 τ ~ J~ = nqe~ vd = e E me H H Loi d’Ohm (1827) (46) nqe2 τ = nqe µe me (47) Conductivité (Ω−1 m−1 = ℧/m = S m−1 ) σ= H ~ J~ = σ E Résistivité ρ = 1 σ (Ω m) 90 Conductivité : quelques valeurs typiques Matériau σ (S m−1 ) Matériau σ (S m−1 ) Quartz Polystyrène Caoutchouc Porcelaine Verre Eau distillée ≈ 10−17 ≈ 10−16 ≈ 10−15 ≈ 10−14 ≈ 10−12 ≈ 10−4 Eau salée Silicone Graphite Acier Plomb Tungsten Aluminium Or Cuivre Argent ≈4 103 ≈ 105 2 × 106 5 × 106 1.8 × 107 3.5 × 107 4.1 × 107 5.7 × 107 6.1 × 107 Sol sec Eau Graisse animale ≈ 10−3 ≈ 10−2 ≈ 4 × 10−2 Corps humain ≈ 0.2 Eau salée : quels porteurs ? (WL, L9, 41m05–43m08) 91 52 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Électronique : loi d’Ohm H H H ~ ou E ~ = 1 J~ J~ = σ E σ Densité de courant : J = I/A Champ électrique : E = U/l ~ = 1 J~ −→ U = 1 l I , RI E σ σA H Attention aux « conventions » : 1. U = V(+) − V(−) (ddp ou « tension ») ~ et J) ~ 2. Sens de I : de (+) vers (−) (comme E H H H H Attention, R n’est pas toujours constante ! σ ∝ τ (temps entre collisions) I ↑⇒ T ↑⇒ τ ↓⇒ σ ↓⇒ ρ ↑⇒ R ↑ Exemple : tungsten (WL, L9, 22m25–23m02) 92 Électronique : puissance consommée H H H H H H H H H H H « Appliquer une ddp U = V(+) − V(−) sur un conducteur » ~ et un courant J~ On crée un champ E Des charges positives se déplacent spontanément : (+) → (−) W(+)→(−) = q V(−) − V(+) = −qU W(+)→(−) < 0 : travail restitué par la charge. . . . . . donc fourni par le champ ; consommation Le champ dépense dW = U dq pour chaque charge dq Débit de charges déplacées : dq/ dt = I Puissance consommée : U dq dW = = UI P = dt dt (48) U et I selon les « conventions » (tr.92) Si P = UI < 0 : générateur ! (WL, L10, 47m20–50m03) 93 53 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Magnétostatique 94 Magnétisme H H H H H H H H H Aimants, boussoles, . . . Quel rapport avec l’électricité ? Aucun, avant 1820 ! Hans Christian Ørsted (1777–1851) études médicales, thèse en philosophie (1799) Professeur à l’Univ. de Copenhague (1806) Avril 1820 : cycle de conférences « Pourquoi l’aiguille d’une boussole bouge pendant les orages ? » Étude de l’interaction entre un courant électrique et une boussole LA Découverte : un courant électrique provoque un effet magnétique ! ! ! La naissance de l’électromagnétisme (WL, L11, 8m00–9m30) 95 Loi de Biot-Savart H H H H H H H . . . les nouvelles arrivent à Paris (11/9/1820) Biot (1774–1862) et Savart (1791–1841) : formulation quantitative (30/10/1820) Champ magnétique créé par un courant : (loi de Biot-Savart) ~ ~ = µ0 I dl ∧ r̂ dB 4π r 2 (49) d~l : longueur élémentaire de courant ~ r : de l’élément de courant au point d’observation r̂ = ~ r /r µ0 = 4π10−7 H m−1 : perméabilité du vide (valeur exacte) 96 54 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Champ magnétique d’une charge en mouvement H H H H ~ = µ0 I d~l∧r̂ Loi de Biot-Savart : dB 4π r 2 Conducteur (fil) de section S ~ dl (astuce !) I d~l = JS ~ J = nq~ v v ∧ r̂ µ0 S dlJ~ ∧ r̂ µ0 S dlnq~ = 2 2 4π r 4π r H S dln : nombre de charges dans l’élément de courant H Champ magnétique créé par une seule charge : ~ = dB v ∧ r̂ ~ = µ0 q~ B 4π r 2 H (50) Attention : pas de courant stationnaire avec une seule charge ! formule approximative. . . 97 Sources du champ magnétique ~ : créé par des charges en mouvement (courants) B Impossible d’isoler des « charges magnétiques » (on a toujours deux pôles dans un aimant !) H « Il n’existe pas de monopôles magnétiques » ( ?) H Loi de Gauss pour le champ magnétique : H H I S ~ · n̂ dS = 0 forme intégrale B ~ = 0 forme locale div B (51) (52) 98 55 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Force magnétique (Laplace et Lorentz) H Une charge en mouvement dans un champ magnétique subit une force : ~m = q~ ~ F v∧B H H H H H force de Laplace (53) ~ : N s C−1 m−1 = T : Tesla Unités de B Unité non SI : Gauss, 1 G = 10−4 T Champ magnétique terrestre : ≈ 0.5 G ~m ⊥ ~ F v : pas de travail ! ~ et d’un champ B ~ : En présence d’un champ E ~ =F ~e + F ~m = q E ~ + q~ ~ F v∧B ~ +~ ~ = q(E v ∧ B) force de Lorentz (54) 99 Force magnétique sur un courant H H H H H H Courant I dans un conducteur de section S ~ sur chaque porteur de charge : F ~m = q~ ~ Dans un champ B, v∧B ~ Force sur l’élément dl : ~m = n dlS F ~m = n dlSq~ ~ dF v∧B J~ = nq~ v ~ JS dl = I~ dl = I d~l Force magnétique sur un élément de courant I : ~m = I d~l ∧ B ~ dF (55) 100 56 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Force entre deux courants H H Deux conducteurs parallèles (infinis. . . ) ~ 1 (TD 5.1) Courant I1 génère champ B B1 = µ 0 H I1 2πρ ~m : Élement de courant I2 subit force dF ~m = I2 d~l ∧ B ~1 dF , ~1 d~l ⊥ B force magnétique I1 I2 = µ0 longueur 2πρ H H H (Conducteurs infinis → force totale infinie !) Deux courants parallèles s’attirent Deux courants opposés se repoussent Ampère, 18/9/1820 (WL, L11, 15m00–17m15) 101 Loi d’Ampère (forme intégrale) Ørsted : « le “champ magnétique” décrit des cercles » Lignes de champ magnétique (TD 5.1 et 5.2) : entourent les courants H Ampère : mise en équation ~ calculée sur une courbe Γ, est proportionnelle au courant traversant la H La circulation du champ B, surface S associée à la courbe Γ : Z I ~ (56) B · t̂ dl = µ0 J~ · n̂ dS H H S Γ H H H H Courbe Γ : pas nécessairement un cercle ! Surface S : ouverte, Γ est son bord t̂R et n̂ : Périph’externe ↔ Tour Eiffel (tr.#58) ~ S J · n̂ dS : le courant I enlacé par la courbe Γ 57 102 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Théorème du rotationnel H H H (. . . après le rappel des tr.#57 et #58. . . ) Surface S (ouverte) entourée par Γ (fermée) Partager S en S1 , S2 , . . ., entourées par Γ1 , Γ2 , . . . I X I ~ · t̂ dl = ~ · t̂i dl A A Γ Γi i = = X Zi − → ~ rot A · n̂ dS S I H Γ ~ · t̂ dl = A − →~ n̂i · rot A ∆Si Z S − →~ rot A · n̂ dS (57) Théorème de Stokes 103 Loi d’Ampère (forme locale) H Point de départ : loi d’Ampère forme intégrale, éq.(56) : Z I ~ B · t̂ dl = µ0 J~ · n̂ dS S Γ H Appliquer théorème de Stokes : Z H S − →~ rot B · n̂ dS = µ0 Z S pour toute surface ouverte S Loi d’Ampère (forme locale) : − →~ rot B = µ0 J~ H J~ · n̂ dS (58) ~ « tourne » autour de J~ Le champ B 104 58 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Magnétostatique : récapitulatif 105 Équations du champ magnétique H Flux et circulation (formes intégrale et locale) I ~ · n̂ dS = 0 B S Z I ~ J~ · n̂ dS B · t̂ dl = µ0 Γ ~ =0 div B − →~ rot B = µ0 J~ S 106 59 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 ~ Analyse vectorielle 5 : le nabla ∇ 107 L’opérateur nabla « Opérateur » : doit agir sur quelque chose ! (il ne doit jamais rester seul) H Champs (scalaires ou vectoriels) : fonctions de plusieurs variables H Coordonnées cartésiennes : les trois dimensions sont équivalentes H Définir un « vecteur » spécial : ∂ ∂ ∂ ~ = , , ∇ ∂x ∂y ∂z H (59) ~ = ∂ êx + ∂ êy + ∂ êz ∇ ∂x ∂y ∂z H L’opérateur nabla est un vecteur gourmand ! il agit sur des champs (scalaires ou vectoriels) 108 60 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Opérations avec le nabla (1) ~ comme un vecteur ordinaire On peut traiter ∇ 1. Vecteur fois scalaire : Φ(x, y, z) champ scalaire H −−→ ~ = ∂Φ êx + ∂Φ êy + ∂Φ êz (21) = grad Φ ∇Φ ∂x ∂y ∂z (60) ~ 2. Vecteur · vecteur : A(x, y, z) champ vectoriel ~ ~ ·A ~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az (10) = div A ∇ ∂x ∂y ∂z (61) ~ 3. Vecteur ∧ vecteur : A(x, y, z) champ vectoriel êx êy êz ∂ → ~ ∂ ∂ (29) − ~ ∧A ~ = ∇ ∂x ∂y ∂z = rot A A A A x y z (62) 109 Opérations avec le nabla (2) H H ~ : les résultats sont valables dans tous les systèmes de coordonnées ! Vecteur ∇ ~ a une forme simple que dans le cartésien Mais ∇ ~ 6= ∂ êr + ∂ êθ + ∂ êφ ∇ ∂r ∂θ ∂φ p.ex., H Opération −−→ grad Φ ~ div A − → ~ rot A De À scalaire Φ ~ vecteur A ~ vecteur A ∆Φ ~A ~ ∆ scalaire Φ ~ vecteur A ~ vecteur ∇Φ ~ ·A ~ scalaire ∇ ~ ~ vecteur ∇ ∧ A !!! scalaire ∇2 Φ ~ ~ 2A vecteur ∇ 110 61 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Quelques formules avec le nabla H Plutôt simples : −−→ ~ · (∇Φ) ~ div grad Φ = ∇ , ∇2 Φ − → −−→ ~ ∧ (∇Φ) ~ rot grad Φ = ∇ = ~0 − →~ ~ · (∇ ~ ∧ A) ~ =0 div rot A =∇ H (63) (64) (65) Et une plus compliquée... − →− → ~ −−→ ~ −∆ ~A ~ rot rot A = grad div A (66) ~ ∧ (∇ ~ ∧ A) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ −∇ ~ 2A ~ ∇ (67) ou ~ ∧ (B ~ ∧ C) ~ = B( ~ A ~ · C) ~ − C( ~ A ~ · B) ~ utiliser A 111 Le(s) Laplacien(s) : nabla au carré ~ ·∇ ~ prend deux formes : L’operateur ∇ 1. Opérateur sur un scalaire : laplacien scalaire H ~ · ∇)Φ ~ ∆Φ , ∇2 Φ , (∇ cart = ∂2Φ ∂x2 + ∂2Φ ∂y 2 + (68) ∂2Φ ∂z 2 formules plus compliquées dans les autres systèmes ! 2. Opérateur sur un vecteur : laplacien vectoriel ~A ~ ,∇ ~ 2A ~ , (∇ ~ · ∇) ~ A ~ ∆ (69) cart = (∇2 Ax )êx + (∇2 Ay )êy + (∇2 Az )êz Attention : décomposition en composantes ∇2 Ai uniquement en cartésiennes ! 112 62 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Gauss, Stokes, etc. : un autre point de vue (1) H Théorème de Gauss (11) : Z H V S ~ · n̂ dS A S − →~ rot A · n̂ dS = Formule du gradient (tr.#53) Z Γ: ~ rA →~ rB H I (3D → 2D) Théorème de Stokes (57) Z H ~ dV = div A I Γ ~ · t̂ dl A (2D → 1D) −−→ grad V · t̂ dl = V (~ rB ) − V (~ rA ) (1D → 0D) Formule de la primitive Z b (1D → 0D sur une ligne droite) f (x) dx = F (b) − F (a) a 113 Gauss, Stokes, etc. : un autre point de vue (2) H Théorème de Gauss (11) : Z V H S S ~ ∧A ~ · n̂ dS = ∇ Formule du gradient (tr.#53) Z Γ: ~ rA →~ rB H I ~ · n̂ dS A (3D → 2D) Théorème de Stokes (57) Z H ~ ·A ~ dV = ∇ I Γ ~ · t̂ dl A (2D → 1D) ~ · t̂ dl = V (~ ∇V rB ) − V (~ rA ) (1D → 0D) Formule de la primitive Z b a (1D → 0D sur une ligne droite) f (x) dx = F (b) − F (a) 114 63 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Électrostatique – Magnétostatique : une comparaison 115 Deux champs bien différents ( ?) H 2+2 équations (formes locales) Électrostatique Magnétostatique ~ ·E ~ = ρ/ǫ0 ∇ ~ ∧E ~ = ~0 ∇ ~ ·B ~ =0 ∇ ~ ∧B ~ = µ0 J~ ∇ (sources sans tourbillons) Potentiel scalaire V (tourbillons sans sources) ~ Potentiel vectoriel A ~ ∧ ∇V ~ = ~0 ∇ ~ = −∇V ~ E ~ ·∇ ~ ∧A ~ =0 ∇ ~ =∇ ~ ∧A ~ B 116 64 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Phénomènes d’Induction (enfin, un peu de mouvement !) 117 « Force » électromotrice (1) H Dans un circuit (Électronique) : ~ crée le courant force par charge, f, ~ f~ = f~s + E H H H f~s : force par charge dans la source ~ : champ électrostatique (partout) E « Force » électromotrice (définition générale) : fem , H I f~ · t̂ dl (V ) (71) Γ I f~s · t̂ dl (V ) (72) Γ Champ électrostatique : circulation nulle fem = H (70) Équ. (72) : cas spécial d’un circuit avec source 118 65 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 « Force » électromotrice (2) Loi d’Ohm : J~ = σ f~ À l’intérieur de la source idéale : pas de résistance ~ = 0 ⇒ f~s = −E ~ σ = ∞ ⇒ f~ = J/σ H ddp aux bornes de la source : Z ~ · t̂ dl E V+ − V− = − Γ:(−)→(+) Z (−f~s ) · t̂ dl =− Γ:(−)→(+) I (72) f~s · t̂ dl = fem = H H Γ fem = ddp aux bornes de la source ! H Polarité : le vecteur t̂ va du (-) au (+) de la source H fem = IR H 119 fem due au mouvement H H H H Un circuit se déplace dans un champ magnétique ... fem : uniquement pendant les phases d’entrée/sortie fem due au mouvement : dΦB fem = − dt (73) où ΦB est le flux magnétique à travers le circuit : Z ~ · n̂ dS B ΦB = S H H Changement de flux : source de tension ! fem génère I qui s’oppose au changement de ΦB ! 120 66 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 fem due au mouvement : des exemples ! ~ : constant et uniforme dans une région B Circuit en déplacement |fem| = Blv (TD 8.1) Circuit en rotation (TD 8.2) (WL, L17, 17m10–18m20) (gén. humain : WL, L17, 25m13–27m25) (ampoule : WL, L17, 41m52–44m40) H Conducteur sur rails |fem| = Blv (TD 8.3) H Courants de Foucault (frein magnétique) (WL, L17, 40m18–41m52) H Circuit en chute « libre » dans un champ magnétique (WL, L17, 47m18–48m40) H H 121 Induction électromagnétique H H H H H H H Expériences de Faraday (1831) ~ .. « Puisque J~ crée B. ~ est-ce que B crée J~ ? » ~ qui crée J. ~ .. Conclusion : ce n’est pas B ~ mais les changements de B ! Aimant et boucle (WL, L16, 10m30–12m30) Il n’y a pas de source dans la boucle ! f~s = ~0 ~ =E ~ f~ = f~s + E fem due au champ électrique induit (71) I ~ · t̂ dl 6= 0 (comparer avec (13) !) E fem = (74) Γ H H ~ crée un champ E ~ !!! La variation de B « Champ électrique induit » 122 67 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Loi de Faraday (forme intégrale) H fem = I Γ ~ · t̂ dl = − E Z ~ dB · n̂ dS dt S (75) Courbe (fermée) Γ : le bord de la surface (ouverte) S Signe − : loi de Lenz : ~′ Le champ électrique induit génère des courants qui, à leur tour, génèrent un champ secondaire B s’opposant à la variation du flux du champ magnétique initial. H (La Nature n’aime pas le changement) ~ créé par une boucle de courant H Rappel (TD 5) : champ B H Solénoïde et boucle (WL, L16, 30m00–32m30) H H 123 Loi de Faraday (forme locale) H Point de départ : loi de Faraday (75) : I Γ H Z S ~ dB · n̂ dS dt Appliquer le théorème de Stokes : Z H ~ · t̂ dl = − E S − →~ · n̂ dS = − rot E Z S ~ dB · n̂ dS dt pour toute surface S Loi de Faraday (forme locale) : ~ dB − →~ rot E =− dt (76) 124 68 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 La règle du flux magnétique H H H H On combine la fem due au mouvement (73). . . ~ et la fem due aux variations de B(t) (75) (deux phénomènes bien différents ! ! !) dΦB dt I Z ~ · t̂ dl = − d ~ · n̂ dS E B dt S Γ fem = − H H (77) (78) ~ n’est plus conservatif ! (circulation 6= 0) En déhors de l’électrostatique, le champ E L’intégrale Z ~ · t̂ dl E Γ:~ rA →~ rB H dépend du chemin choisi ! (on reviendra sur ce sujet contre-intuitif, tr.#131) 125 Le champ électrique induit H H H Que nous dit la loi de Faraday ? ~ créent un champ E ~ induit Les variations de B Dans une région neutre (ρ = 0), ~ ~ ·E ~ = ρ = 0 et ∇ ~ ∧E ~ = − dB ∇ ǫ0 dt H ~ en magnétostatique : Analogie avec le champ B ~ ·B ~ = 0 et ∇ ~ ∧B ~ = µ0 J~ ∇ ~ induit sont des boucles ! Les lignes du champ E ~ ~ induit B E H équivalences : ~ dt µ J~ − dB/ H 0 µ0 Ienlacé − dΦB / dt 126 69 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Inductance : mutuelle H H Deux circuits séparés (p.ex. solénoïde et boucle) ~ 1 ⇒ Φ2 Courant I1 ⇒ B Φ2 = Z S2 H ~ 1 · n̂2 dS2 B ~1 = et B I Γ1 µ0 I1 d~l1 ∧ r̂ ∝ I1 4π r2 Le flux à travers le 2 est proportionnel au courant de 1 : (79) Φ2 = M21 I1 H H H M21 = M12 = M inductance mutuelle entre les circuits M : paramètre purement géométrique Variations de I1 génèrent un courant I2 = fem2 /R2 : fem2 = − dI1 dΦ2 = −M dt dt (80) 127 Inductance : self H H Même phénomène avec un seul circuit ! ~ ⇒ ΦB Courant I ⇒ B ΦB = H Z S ~ · n̂ dS B ~ = et B I ~ = dB I Γ Γ Flux magnétique à travers un circuit ∝ courant (81) ΦB = LI H H H L : self-inductance ; unités Henry : H = Wb A−1 = V s A−1 L = ΦB /I : paramètre purement géométrique Variations de I génèrent une f.e.m. . . . : fem = − H µ0 I d~l ∧ r̂ ∝I 4π r 2 dΦB dI = −L dt dt (82) . . . s’opposant aux variations ! 128 70 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Énergie magnétique (1) I − H H H H L (−L dI/ dt) L I + (L dI/ dt) + − ⇐⇒ Puissance « consommée » : emmagasinée dans la self dI P = L I dt P > 0 quand I ↑ I(t = 0) = 0 et I(t = t0 ) = I0 Énergie magnétique stockée dans la self : Z Um = t0 0 (83) 1 P dt = . . . = LI02 2 (84) 129 Énergie magnétique (2) H Sans démonstration : la (84) devient Um = H H H 1 2 Z V 1 2 B (~ r ) dV µ0 (85) B 2 /(2µ0 ) : densité volumique d’énergie (J m−3 ) Intégrer partout dans l’espace ! À comparer avec (37) : Z 1 ǫ0 E 2 (~ r ) dV Ue = 2 V 130 71 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 ~ non conservatif [Bizarre] Champ E Circuit simple : pile (fem = 1 V), R1 = 100 Ω, R2 = 900 Ω Calculer courant et tensions H Remplacer pile par dΦB / dt Calculer courant et tensions : VR1 6= VR2 ! ! ! L’intégrale Z ? ~ · t̂ dl = E VB − VA − H Γ:~ rA →~ rB dépend du chemin choisi WL, L16, 48m25–51m27 (vidéo avec la théorie WL, L16, 34m51–51m27 ; texte détaillé) H Champ électrique non conservatif : I ~ · t̂ dl 6= 0 E Γ ddp sur un chemin fermé 6= 0 (Contre-Intuitif) M. C. Escher, “Ascending and descending” , 1960 131 72 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Induction : récapitulatif 132 Les 4 équations, forme intégrale H Flux et circulation I I ~ · n̂ dS = 1 E ǫ0 S S Z ρ dV V ~ · n̂ dS = 0 B I Z d ~ ~ · n̂ dS E · t̂ dl = − B dt Z S IΓ ~ · t̂ dl = µ0 J~ · n̂ dS B S Γ 133 73 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Les 4 équations, forme locale H Divergence et rotationnel ~ ·E ~= ρ ∇ ǫ0 ~ ·B ~ =0 ∇ ~ ~ ∧E ~ = − dB ∇ dt ~ ~ ~ ∇ ∧ B = µ0 J 134 74 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Équations de Maxwell 135 Un problème avec la loi d’Ampère ? 1. « Tester » les équations du rotationnel : ~ ·∇ ~ ∧E ~ = 0 OK H ∇ ~ ~ ~ = 0??? H ∇·∇∧B (42) ∂ρ ~ · J~ = 0 −→ =0 ∇ ∂t 2. Appliquer la loi d’Ampère dans un cas fil + condensateur ∂ρ ∂t 6= 0 : La loi d’Ampère n’est pas valide en dehors de la magnétostatique 136 75 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Le terme qui manque : courant de déplacement H Loi d’Ampère (forme locale) : ~ ∧B ~ = µ0 J~ ∇ H Loi d’Ampère-Maxwell (forme locale) : ~ ~ ∧B ~ = µ0 J~ + J~d = µ0 J~ + ǫ0 dE ∇ dt H (86) Loi d’Ampère-Maxwell (forme intégrale) : I Γ H H ! ~ · t̂ dl = µ0 B Z S J~ · n̂ dS + µ0 J~d : courant « de déplacement » ~ créent un champ B ~ induit ! Les variations de E Z ~ dE ·n̂ dS ǫ0 dt} S | {z (87) J~d 137 James Clerk Maxwell (1831–1879) 138 76 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Les trois régimes en électromagnétisme H Électrostatique (aucun déplacement de charges, dρ/ dt = 0) Magnétostatique (courants invariables dans le temps ; pas d’accumulation de charges, (42) ~ · J~ = 0) dρ/ dt = 0 −→ ∇ ~ ·E ~= ρ ∇ ǫ0 ~ ~ ~ ∇∧E =0 H ~ ·B ~ =0 ∇ ~ ∧B ~ = µ0 J~ ∇ Quasistatique : des variations lentes dans le temps ~ ·E ~= ρ ∇ ǫ0 ~ ·B ~ =0 ∇ ~ ~ ∧E ~ = − dB ∇ dt H ~ ∧B ~ = µ0 J~ + . . . ∇ |{z} ≈0 Régime « complet » : les équations de Maxwell 139 Les équations de Maxwell H Maxwell, 1864 ~ ·E ~= ρ ∇ ǫ0 ~ ~ ∇·B =0 (88) (89) ~ ~ ∧E ~ = − dB ∇ dt (90) ~ ~ ∧B ~ = µ0 J~ + µ0 ǫ0 dE ∇ dt (91) 4 équations = 2 scalaires + 2 vectorielles = 2 + 6 = 8 Équations : sources vers champs ~ = q(E ~ +~ ~ Force de Lorentz : effet des champs, F v ∧ B) (88) ~ ~ · J~ = − dρ/ dt H Conservation de la charge : ∇·(91) −→ ∇ H Le champ électromagnétique s’auto-alimente ! H H H 140 77 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Ondes 141 Qu’est-ce qu’une onde ? Vagues (océan, fleuve, . . . ) Ondes acoustiques Vibrations d’une corde Ondes sismiques Signaux électriques (lignes de transmission, neurones) H ... H Vagues mexicaines (la ola) : concert, match de foot. H H H H H Onde : une perturbation qui se propage dans un milieu, sans transporter de matière. “Wave on a string” 142 [Rappel] L’argument d’une fonction H H f (t) : fonction initiale Comment décaler / retourner / changer d’échelle ? f ( 12 (t − 7)) f (t − 3) f (t) 2 1 t −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 f (−(t − 3)) f (−t) 2 7 8 9 10 9 10 f (−2(t − 7)) 1 t −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 143 78 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Propagation d’une impulsion durée T = 8 s 10 m z 7m longueur L = 4 m 3m 0m b b b θ 0s tan θ = c = 0.5 m s−1 c= b b b b b b b b 10 s L T 18 s 20 s t À z = z0 , f (t − z0 /c) : f (·) retardée de z0 /c À t = t0 , f − 1c (z − ct0 ) : f (·) retournée, dilatée par c, décalée à ct0 144 L’équation d’onde (1) H H H H H f (t − zc ) : onde se propageant vers +z f (t + zc ) : onde se propageant vers −z f (t ± zc ) = f ( ct±z c ) = g(z ± ct) : autre vue f (x, t) : fonction à deux variables, espace et temps Dérivées temporelles et spatiales. . . premières ∂f z ′ = f′ = f′ t ± ∂t c ∂f 1 z ′ = ± f′ = f′ t ± ∂z c c ∂f 1 ∂f =± ∂z c ∂t H et secondes ∂2f = ∂z 2 ∂2f = f ′′ ∂t2 1 ∂2f ∂2f = ∂z 2 c2 ∂t2 H 1 ± c 2 f ′′ (92) (92) : équation d’onde (une dimension) 145 79 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 L’équation d’onde (2) H Équation d’onde (trois dimensions) ∂2f ∂2f 1 ∂2f ∂2f 2 + + = ∇ f = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t2 (93) Équations à dérivées partielles (spatiales et temporelle) : la solution dépend des conditions initiales f (~ r , t = 0) et des conditions aux limites f (~ r=~ ri , t) H f : propriété du milieu de propagation H ◮ ◮ ◮ ◮ H hauteur de la surface de l’eau pression acoustique déplacement transversal d’une corde ... vitesse de propagation c : dépend des paramètres du milieu 146 80 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Ondes électromagnétiques 147 La prévision théorique de Maxwell (1) H Les équations de Maxwell dans le vide, sans charges ni sources : ~ ·E ~ =0 ∇ ~ ·B ~ =0 ∇ ~ ~ ∧B ~ = µ 0 ǫ0 ∂ E ∇ ∂t ~ ~ ∧E ~ = − ∂B ∇ ∂t H H Équations différentielles couplées ~ Dérivée seconde pour découpler : agir avec ∇ (agir, mais comment ? quelles opérations ?) 2~ ~ ∧∇ ~ ∧E ~ =−∂∇ ~ ∧B ~ = −ǫ0 µ0 ∂ E ∇ ∂t ∂t2 ~ ∧∇ ~ ∧E ~ = ∇( ~ ∇ ~ · E) ~ −∇ ~ 2E ~ = −∇ ~ 2E ~ ∇ 148 81 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 La prévision théorique de Maxwell (2) H Équation vectorielle 2~ ~ = ǫ0 µ 0 ∂ E ~ 2E ∇ ∂t2 se décompose (uniquement en coordonnées cartésiennes) : ∇2 Ex,y,z = ǫ0 µ0 |{z} ∂ 2 Ex,y,z ∂t2 (94) (95) 1/c2 H H Des ondes électromagnétiques existent ! Vitesse de propagation : c= √ 1 1 ≈q m s−1 ≈ 3 × 108 m s−1 ǫ0 µ 0 10−9 4π10−7 (96) 36π 149 La lumière est une onde électromagnétique ! √1 ǫ0 µ0 = 299 792 458 m s−1 H c= H H À partir de ǫ0 et µ0 on obtient la vitesse de la lumière Une pure coïncidence ? « La vitesse des ondes électromagnétiques est presque celle de la lumière. . . ce qui donne une bonne raison de conclure que la lumière est en quelque sorte elle-même (en incluant le rayonnement de chaleur, et les autres radiations du même type) une perturbation électromagnétique qui se propage selon les lois de l’électromagnétisme. » J.C. Maxwell, 1864 H H Confirmation expérimentale en 1888 par H. Hertz (1857–1894) « Monsieur, à quoi ça sert ? »—« À rien. » 150 82 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Le spectre électromagnétique Type Radio Micro-ondes Infrarouge Visible Ultraviolet Rayons X Rayons Γ Longueur d’onde λ (m) 10−1 >1× 1 × 10−3 –1 × 10−1 7 × 10−7 –1 × 10−3 4 × 10−7 –7 × 10−7 1 × 10−8 –4 × 10−7 1 × 10−11 –1 × 10−8 < 1 × 10−11 Fréquence f (Hz) < 3 × 109 3 × 109 –3 × 1011 3 × 1011 –4 × 1014 4 × 1014 –7.5 × 1014 7.5 × 1014 –3 × 1016 3 × 1016 –3 × 1019 > 3 × 1019 151 83 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Ondes électromagnétiques planes, progressives, monochromatiques (OPPM) 152 Onde monochromatique vers +z H H Rappel TD 10.1 + visualisation en 3D Perturbation initiale harmonique (à z = 0) : f (z = 0, t) = cos 2π t T = cos(ωt) H Onde se propageant selon +êz : t → t− zc 2π 2π t− z = cos(ωt − kz) f (z, t) = cos T λ H H H H H λ = cT : longueur d’onde, la période spatiale (en m) k = 2π/λ : nombre d’onde (en rad m−1 ) ~ k = kk̂ = k(+êz ) : vecteur d’onde φ(z, t) = ωt − kz : la phase de l’onde vφ = ω/k = c : la vitesse de phase 153 84 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Propagation d’une sinusoïde « duree » : période temporelle T = 8 s 10 m « longueur » : période spatiale λ = 4 m 7m z 3m b 0m b b b b b b b b b b 0s 10 s λ 2π/T ω c= = = = λf T 2π/λ k 18 s 20 s t 154 Onde électromagnétique PPM selon +êz H Onde Plane Progressive Monochromatique (OPPM) ~ r , t) = E ~ 0 cos(ωt − kz) = E(z, ~ t) E(~ |{z} (97) cste H H H H H H « Monochromatique » : cos(ωt − kz0 ) ~ oscille dans le temps. À chaque point de l’espace (~ r fixe), le champ E Les oscillations sont déphasées en fonction de l’endroit. « Progressive » : temps/espace couplés f (t − z/c), onde selon +êz « Plane » : le champ E~ est constant sur tout le plan z = z0 « Front d’onde » : lieu de points de même phase à t fixe Onde plane = fronts d’onde plans (D’autres formes d’onde existent : cylindriques, sphériques, . . . ) 155 85 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Onde électromagnétique PPM selon k̂ H Onde PPM se propageant selon êz : ~ r , t) = E ~ 0 cos(ωt − kz) E(~ H H La phase de l’onde dépend uniquement de z z : la projection de ~ r sur la direction de propagation êz z=~ r · êz = ~ r · k̂ H Cas général, onde PPM se propageant selon k̂ : ~ 0 cos(ωt − ~ ~ r , t) = E ~ 0 cos(ωt − k k̂ · ~ k·~ r) E(~ r )=E |{z} (98) ∆φ = φ1 − φ2 = ~ k · (~ r2 − ~ r1 ) = ~ k·~ r1→2 (99) z si k̂=êz H H H Fronts d’onde : des plans perpendiculaires à k̂ OPPM : remplit tout l’espace (modèle mathématique !) Déphasage entre deux points ~ r1 , ~ r2 : 156 Notation complexe : définition H Formule d’Euler : H Application à une OPPM : n o e j φ = cos(φ) + j sin(φ) → cos(φ) = Re e j φ ~ r , t) = E ~ 0 cos(ωt − ~ E(~ k ·~ r + δ) o n ~ 0 e j (ωt−~k·~r+δ) = Re E n o ~ 0 e j δ e j (ωt−~k·~r) = Re E o n ~ e j (ωt−~k·~r) = Re Ẽ 0 o n ~ r , ω)e j ωt , Re Ẽ(~ H (100) ~ r , ω) : représentation (ou amplitude) complexe de E(~ ~ r , t) Ẽ(~ ~ r , ω) fréquence ~ r , t) ←→ Ẽ(~ temps E(~ 157 86 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Notation complexe : avantages (1) H ~ r , ω) : plus simple à manipuler ! (addition) Ẽ(~ ~ r , t) = E ~1 (~ E(~ r , t) + E~2 (~ r , t) ~ 1 cos(ωt − ~ ~ 2 cos(ωt − ~ =E k·~ r + δ1 ) + E k·~ r + δ2 ) = . . . ??? . . . o o n n ~ (~ ~ (~ j ωt j ωt + Re = Re Ẽ Ẽ r , ω)e r , ω)e 2 1 o n ~ (~ ~ (~ j ωt e r , ω) + Ẽ r , ω) = Re Ẽ 1 2 ~ r , ω) = Ẽ ~ (~ ~ r , ω) Ẽ(~ 1 r , ω) + Ẽ2 (~ H H (101) On additionne les représentations complexes, comme des vecteurs On ne multiplie jamais des représentations complexes ! (une seule exception, quand on sait ce qu’on fait. . . ; équ. (136), tr.#183) 158 Notation complexe : avantages (2) H ~ r , ω) : plus simple à manipuler ! (∂/∂t) Ẽ(~ o n ∂ ~ ∂ ~ j ωt E(~ r , t) = Re Ẽ(~ r , ω)e ∂t ∂t ∂ j ωt ~ r , ω) e = Re Ẽ(~ ∂t n o ~ r , ω)e j ωt = Re j ω Ẽ(~ ∂ ~ ~ r , ω) E(~ r , t) ←→ j ω Ẽ(~ ∂t (102) 159 87 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Notation complexe : avantages (3) H ~ r , ω) : plus simple à manipuler ! (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) Ẽ(~ n o ∂ ∂ ~ ∂ OPPM ~ e j (ωt−~k·~r) = Re Ẽ ~ j (ωt−~ k·~ r) E(~ r , t) = Re Ẽ e 0 0 |{z} ∂x ∂x ∂x cste o o n n ~ r , ω)e j ωt ~ e j (ωt−~k·~r) = Re − j k Ẽ(~ = Re − j kx Ẽ x 0 ∂ ~ ~ r , ω) E(~ r , t) ←→ − j kx Ẽ(~ ∂x ~ = ∂ êx + ∂ êy + ∂ êz ←→ ∇ ∂x ∂y ∂z ←→ − j kx êx − j ky êy − j kz êz = − j ~ k (103) 160 Notation complexe : application H Notation complexe : o n ~ r , ω)e j ωt ~ r , t) = Re Ẽ(~ E(~ ~ r , ω) = Ẽ ~ e− j ~k·~r Si OPPM : Ẽ(~ 0 H H (104) Passer du domaine « temporel » au domaine « fréquentiel » Remplacer dans les équations de Maxwell : ~ r , ω) ~ r , t) −→ Ẽ(~ E(~ ∂/∂t −→ + j ω ~ −→ − j ~ Si OPPM : ∇ k (105) (106) (107) 161 88 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Équations de Maxwell : régime harmonique H o n ~ r , ω)e j ωt ~ r , t) = Re Ẽ(~ E(~ Dans le vide, sans charges ni courants : ~ ·E ~=0 ∇ −→ ~ ·B ~=0 ∇ −→ ~ ~ ∧E ~ = − ∂B ∇ ∂t ~ ~ ∧B ~ = ǫ0 µ 0 ∂ E ∇ ∂t H ~ =0 ~ · Ẽ ∇ ~ =0 ~ · B̃ ∇ (108) (109) −→ ~ = − j ω B̃ ~ ~ ∧ Ẽ ∇ (110) −→ ~ = j ωǫ µ Ẽ ~ ~ ∧ B̃ ∇ 0 0 (111) L’équation d’ondes (94) devient l’équation de Helmholtz : ~ + ω 2 µ ǫ Ẽ ~ =0 ~ 2 Ẽ ∇ 0 0 (112) 162 Équations de Maxwell dans le cas d’une OPPM H o n o n ~ r , ω)e j ωt ~ e j (ωt−~k·~r) = Re Ẽ(~ ~ r , t) = E ~ 0 cos(ωt − ~ E(~ k·~ r + δ) = Re Ẽ 0 Dans le vide, sans charges ni courants : ~ · E~ = 0 ∇ −→ ~ ·B ~=0 ∇ −→ ~ ~ ∧ E~ = − ∂ B ∇ ∂t ~ ~ ∧B ~ = ǫ0 µ 0 ∂ E ∇ ∂t ~ =0 − j~ k · Ẽ ~ =0 − j~ k · B̃ (113) (114) −→ ~ ~ = − j ω B̃ − j~ k ∧ Ẽ (115) −→ ~ ~ = j ωǫ µ Ẽ − j~ k ∧ B̃ 0 0 (116) ~ ⊥~ k, le champ électrique est transversal 1. (113) : Ẽ ~ k, le champ magnétique est transversal 2. (114) : B̃ ⊥ ~ ~ = 1~ ~ ~ 21 ~ ~ 3. (115) ; B̃ ω k ∧ Ẽ ;(116) : Ẽ = c ω B̃ ∧ k (rappel k = ω/c) ~ ⊥ B̃ ~ 4. (115) ou (116) : Ẽ 163 89 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Propriétés d’une OPPM dans le vide H Une OPPM est une onde TEM : Le champ électrique est transversal (TE) : perpendiculaire à k̂ Le champ magnétique est transversal (TM) : perpendiculaire à k̂ ~ B, ~ ~ H Les vecteurs E, k forment un trièdre direct : ◮ ◮ ~ ∧B ~ k~ E k H H (117) Les champs électrique et magnétique sont en phase L’équation d’ondes en régime harmonique (112) impose : (− j ~ k)2 + ω 2 µ0 ǫ0 = 0 −→ k2 = ω 2 µ0 ǫ0 H (118) ~ ~ est constant : Le rapport kEk/k Bk ~ ~ ~ ~k ~ = k ∧ E E⊥ ~ ~ = 1 kEk B −→ kBk ω c (119) 164 Polarisation linéaire d’une OPPM H « Polarisation » : l’orientation du vecteur du champ électrique E~ = E0 cos(ωt − ~ k·~ r )û H H ~ ⊥~ Cas d’une OPPM k̂ = êz : E k Polarisation linéaire : l’orientation ne change pas dans le temps ~ ◮ Polarisation verticale (V) : Ẽ = E e− j kz ê 0 x ~ ◮ Polarisation horizontale (H) : Ẽ = E0 e− j kz êy ~ et êx ◮ Cas général : angle θ entre E E~ = E0 cos(ωt − kz)(cos θêx + sin θêy ) ~ = E e− j kz (cos θê + sin θê ) Ẽ 0 x (120) y 165 90 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Polarisation circulaire d’une OPPM H H Deux composantes Ẽx et Ẽy Même amplitude, déphasage 90◦ ~ = E e− j kz (ê + j ê ) Ẽ 0 x y ~ = E0 cos(ωt − kz)êx − E0 sin(ωt − kz)êy E H H H À t fixe, regarder dans le sens de propagation Rotation dans le sens horaire : polarisation droite (RCP) Rotation dans le sens anti-horaire : polarisation gauche (LCP) : ~ = E e− j kz ( j ê + ê ) Ẽ 0 x y ~ E = −E0 sin(ωt − kz)êx + E0 cos(ωt − kz)êy H (121) (122) Attention : à z fixe, le vecteur E~ tourne dans l’autre sens ! 166 91 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 OPPM dans les conducteurs 167 Conducteurs et loi d’Ohm (bis) H Loi d’Ohm (46) : ~ J~˜ = σ Ẽ H Conducteur électrique « parfait » (PEC) : σ = ∞ : ~ PEC ~ = J˜ −→ Ẽ 0 σ H H H ~ nul à l’intérieur d’un conducteur parfait Champ Ẽ ~ = 0 indépendamment de σ) (Électrostatique : E Rappel TD 4.4 : ρ(t) = ρ(t = 0)e−t/tr , tr = ǫ0 /σ Régime harmonique : dans un conducteur ρ = 0 si T ≫ tr −→ f ≪ H « Bon conducteur » : σ ≫ ǫ0 ω σ ǫ0 168 92 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Les équations de Maxwell dans un conducteur H ~ =0 ~ · Ẽ ∇ ~ = − j ω B̃ ~ ~ ∧ Ẽ ∇ ~ =0 ~ · B̃ ∇ ~ = µ J~˜ + j ωµ ǫ Ẽ ~ ~ ∧ B̃ ∇ 0 0 0 ~ = µ (σ + j ωǫ )Ẽ 0 0 ~ = − j ω∇ ~ = (− j µ ωσ + µ ǫ ω 2 )Ẽ ~ ~ ∧∇ ~ ∧ Ẽ ~ ∧ B̃ ∇ 0 0 0 ~ = −∇ ~ −∇ ~ = ∇( ~ ~ 2 Ẽ ~ ∇ ~ · Ẽ) ~ ∧∇ ~ ∧ Ẽ ~ 2 Ẽ ∇ H Équation d’onde (vectorielle) : ~ = ( j µ ωσ − µ ǫ ω 2 )Ẽ ~ ~ 2 Ẽ ∇ 0 0 0 (123) 169 L’équation d’onde dans un conducteur H Équation d’onde (scalaire, en cartésiennes) : ∇2 Ẽ = ( j µ0 ωσ − µ0 ǫ0 ω 2 )Ẽ H (124) Essayer une solution type OPPM (104) : ~ Ẽ = E0 e− j k·~r σ −k2 = −µ0 ǫ0 ω 2 + j µ0 ωσ −→ k2 = ω 2 ǫ0 µ0 1 − j ǫ0 ω H H Nombre d’onde complexe k̃ ! Approximation bon conducteur : 1− j√ µ0 ωσ σ ≫ ǫ0 ω → k̃2 = − j µ0 ωσ → k̃ = √ 2 (125) 170 93 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 OPPM dans un bon conducteur H Direction de propagation k̂ = êz : ~ =E ~ 0 e− j k̃z Ẽ √ µ ωσ √ µ ωσ ~ 0 e− 02 z e− j 02 z =E | {z } | {z } atténuation H Épaisseur de peau : δ, H r 2 µ0 ωσ (127) OPPM dans un bon conducteur : ~ =E ~ 0 e−z/δ e− j z/δ Ẽ H H (126) propagation (128) Longueur d’onde : λ = 2πδ p ω = 2ω/µ0 σ (dépend de ω !) Vitesse de phase : vφ = 1/δ 94 www.polytech.unice.fr/~aliferis 171 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Conditions aux limites vide-conducteur 172 Interface vide-conducteur H Les équations de Maxwell dans un conducteur : ~ =0 ~ · B̃ ∇ ~ = µ J~˜ + j ωµ ǫ Ẽ ~ ~ ∧ B̃ ∇ 0 0 0 ~ = µ0 (σ + j ωǫ0 )Ẽ σ ~ Ẽ = j ωµ0 ǫ0 1 + j ωǫ0 σ ~ = j ωµ0 ǫ0 1 − j Ẽ ωǫ0 | {z } ~ =0 ~ · Ẽ ∇ ~ = − j ω B̃ ~ ~ ∧ Ẽ ∇ ǫ̃ H H H Que se passe-t-il à l’interface entre deux milieux ? Les champs peuvent être continus ou pas ! Appliquer chaque équation sous forme intégrale : choisir volumes/surfaces/courbes élémentaires de part et d’autre de l’interface 173 95 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Conditions aux limites H H Milieu 1 : vide ; milieu 2 : conducteur n̂ : ⊥ à l’interface ; du métal (2) vers le vide (1) ~ − Ẽ ~ ) = ρ̃ /ǫ n̂ · (Ẽ 1 2 s 0 ~ ~ n̂ ∧ (Ẽ1 − Ẽ2 ) = ~0 ~ − B̃ ~ )=0 n̂ · (B̃ 1 2 ~ ~ n̂ ∧ (B̃1 − B̃2 ) = µ0 J~˜s ρs : densité de charges surfacique (C m−2 ) ~ H J˜s : densité de courant surfacique (A m−1 ) 6= 0 seulement si σ = ∞ ~ : composante normale à l’interface H n̂ · E ~ : composante tangentielle à l’interface H n̂ ∧ E H Ẽnor1 − Ẽnor2 = ρ̃s /ǫ0 B̃nor1 − B̃nor2 = 0 B̃tan1 − B̃tan2 = µ0 J˜s Ẽtan1 − Ẽtan2 = 0 H H Composantes tangentielles du champ électrique continues Composantes normales du champ magnétique continues 174 96 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Puissance électromagnétique : vecteur de Poynting 175 [Rappel] Énergie électro/magnétostatique H H H Énergie électrostatique Ue (37) : 1 Ue = 2 Z ǫ0 E 2 (~ r ) dV 1 Um = 2 Z 1 2 B (~ r ) dV µ0 V Énergie magnétostatique Um (85) : V Électromagnétisme : les champs dépendent du temps ~ r ) → E(~ ~ r , t) E(~ ~ r ) → B(~ ~ r , t) B(~ E 2 (~ r ) → E 2 (~ r , t) B 2 (~ r ) → B 2 (~ r , t) 176 97 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Énergie électromagnétique H L’énergie « stockée » dans un volume V : 1 Uem (t) = 2 H H H Z V 1 2 r , t) dV ǫ0 E (~ r , t) + B (~ µ0 2 (129) Comment évolue l’énergie électromagnétique dans le temps ? Que se passe-t-il dans un volume V ? ~ B ~ 1. Énergie Uem emmagasinée dans les champs E, 2. Travail du champ sur les charges du volume (« milieu ») à travers la force de Lorentz : puissance P fournie au milieu 3. Échange d’énergie avec le monde extérieur à travers la surface S qui englobe V : puissance Pt sortant du volume Conservation de l’énergie : dUem + P + Pt = 0 dt 177 Travail du champ électromagnétique H ~ r , t), B(~ ~ r , t) agit sur les charges du volume : Le champ électromagnétique E(~ ~ = q(E~ + ~ ~ F v ∧ B) H Travail élementaire dans un volume dV : ~ · d~l = F ~·~ ~ ·~ dW = F v dt = q(E~ + ~ v ∧ B) v dt = q E~ · ~ v dt = ρ dV E~ · ~ v dt = E~ · J~ dV dt H Puissance fournie par le champ É/M aux charges du volume V : P= Z V dW = dt Z V E~ · J~ dV (130) 178 98 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Énergie É/M et puissance fournie (1) H H ~ et B ~ Écrire E~ · J~ en fonction uniquement de E ~ Utiliser Maxwell-Ampère pour éliminer J : ~ 1 ~ ~ ~ − ǫ0 E~ · ∂ E E~ · J~ = E · (∇ ∧ B) µ0 ∂t H Propriété analyse vectorielle : ~ · (E~ ∧ B) ~ =B ~ · (∇ ~ ∧ E) ~ − E~ · (∇ ~ ∧ B) ~ ∇ H Loi de Faraday : ~ ~ · (∇ ~ ∧ E) ~ = −B ~ · ∂B B ∂t H Regrouper les trois équations : E~ · J~ = . . . (transparent suivant) 179 Énergie É/M et puissance fournie (2) H Densité volumique de puissance fournie : ~ ~ ~ · J~ = −ǫ0 E~ · ∂ E − 1 B ~ · ∂B − 1 ∇ ~ · (E~ ∧ B) ~ E ∂t µ0 ∂t µ0 H Densité volumique d’énergie électrique : 1 ∂ 1 ǫ0 E 2 = ǫ0 E~ · E~ =⇒ 2 2 ∂t H 1 ǫ0 E 2 2 ∂ E~ = ǫ0 E~ · ∂t = Densité volumique d’énergie magnétique : 1 2 ∂ 1 ~ ~ B · B =⇒ B = 2µ0 2µ0 ∂t 1 1 2 B 2 µ0 ~ 1 ~ ∂B B· µ0 ∂t 180 99 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Énergie É/M et puissance fournie (3) H Ce qui se passe dans un volume élementaire : 1 ~ ~ 1 ~ ∂ 1 ~ ~ ~ =0 ~ ~ B·B + ∇ · (E~ ∧ B) ǫ0 E · E + E·J + | {z } {z } ∂t 2 2µ0 µ0 | | {z } puissance/m3 flux de ?/m3 (131) énergie/m3 H H Intégrer sur le volume V (+ théorème de la divergence) : Z Z 1 d 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ E · J dV + ǫ0 E · E + B · B dV dt V 2 µ0 V I 1 ~ ~ + (E ∧ B) · n̂ dS = 0 S µ0 (132) Conservation de l’énergie : P+ dUem + (puissance qui sort de V) = 0 dt (133) 181 Puissance É/M transportée : vecteur de Poynting H Puissance qui sort du volume V : Pt = H I S 1 ~ ~ (E ∧ B) · n̂ dS µ0 Densité surfacique de puissance transportée : ~ ~ , 1 E~ ∧ B S µ0 H H (W m−2 ) ~ : vecteur de Poynting , montre la direction de la puissance S Puissance transportée par une onde à travers une surface S : Z ~ · n̂ dS S Pt = (134) (135) S 182 100 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 [Produit de deux fonctions harmoniques] H Exemple : les champs d’une onde É/M harmonique n o n o ~ j ωt ~ t) = E ~ 0 cos(ωt − kz + φ) = Re E ~ 0 e j φ e j (ωt−kz) = Re Ẽ(z)e E(z, o n o n ~ j ωt ~ t) = B ~ 0 cos(ωt − kz + θ) = Re B ~ 0 e j θ e j (ωt−kz) = Re B̃(z)e B(z, H Produit des modules : EB 6= Ẽ B̃ ! EB = E0 B0 cos(ωt − kz + φ) cos(ωt − kz + θ) 1 = E0 B0 [cos(φ − θ) + cos(2ωt − 2kz + φ + θ)] 2 o 1 1 n < EB > = E0 B0 cos(φ − θ) = . . . = Re E0 e j φ B0 e− j θ 2 2 H o 1 n < EB > = Re Ẽ B̃ ∗ 2 (136) Le seul cas où on peut multiplier des amplitudes complexes ! (cf. tr.#158) 183 Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques H H Énergie moyenne É/M emmagasinée dans les champs : Z o n o n 1 1 ~ ~ ~ ~ ∗ ∗ < Uem > = ǫ0 Re Ẽ · Ẽ + Re B̃ · B̃ dV 4 V µ0 Puissance moyenne É/M fournie au milieu : 1 <P > = 2 H (137) Z V o n ~ · J~˜∗ dV Re Ẽ Puissance moyenne É/M transportée par l’onde : Z ~ > · n̂ dS <S < Pt > = (138) (139) S ~> = <S H n o 1 ~ ∧ B̃ ~∗ Re Ẽ 2µ0 (140) ~ > k (W m−2 ) Intensité : I = k < S 184 101 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 OPPM énergie électrique = magnétique H Une OPPM d’amplitude E0 se propageant selon k̂ = êz dans le vide : ~ = E e− j kz ê Ẽ 0 x ~ = k E e− j kz ê B̃ 0 y ω E~ = E0 cos(ωt − kz)êx ~ = k E0 cos(ωt − kz)êy B ω H Densités volumiques d’énergie (TD 13.1a) : instantanée 1 1 élec. : ǫ0 E02 [1 + cos(2ωt − 2kz)] 2 2 1 1 k2 2 1 E [1 + cos(2ωt − 2kz)] mag. : 2 µ0 ω 2 0 2 H H moyenne 1 ǫ0 E02 4 1 1 k2 2 E 4 µ0 ω 2 0 (141) (142) OPPM dans le vide : énergie électrique = énergie magnétique Égalité en énergies instantanées (et moyennes) 185 Impédance caractéristique du vide H Densité de puissance transportée par une OPPM (TD 13.1e) : ~ = 1 k E02 1 [1 + cos(2ωt − 2kz)] êz S µ0 ω 2 r 1 k 2 1 ǫ0 2 ~ <S > = E êz = E êz 2µ0 ω 0 2 µ0 0 H H H On peut réécrire le dernier résultat : √ 2 √ 2 E0 / 2 E0 / 2 ~ k <S > k = p = Z0 µ0 /ǫ0 (143) 2 /R Rappel : en électronique, < P > = Veff Impédance caractéristique du vide : Z0 , r µ0 = (120π)Ω ≈ 377 Ω ǫ0 (144) 186 102 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Champ électrique dans la matière 187 Diélectriques (isolants) H H H H H Les charges ne sont pas libres à se déplacer Tous les électrons sont liés aux atomes/molécules 6= conducteurs Intrinséquement neutres ~ extérieur ? Quel est l’effet d’un champ E (retour pour l’instant à l’électrostatique) 1. Création de dipôles (−q/ + q) induits p ~ , qdû−→+ moment dipolaire 2. Effet proportionnel à la cause ~ p ~ = αE α : polarisabilité atomique 3. Alignement des dipôles permanents Rappel : graines de gazon (WL, L2, 42m25-43m40) 188 Effet de la polarisation de la matière « Polarisation » : se réfère aux dipôles (Rien à voir avec linéaire/circulaire etc.) On n’examine pas les causes pour l’instant (polarisation induite ou permanente) H Matière : grand nombre de dipôles dans un volume ~: H Vecteur de polarisation P densité volumique de moment dipolaire électrique : H H H 1 X p ~i ∆V →0 ∆V ~ , lim P (C m m−3 = C m−2 ) (145) i 189 103 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Polarisation : charges induits Matière neutre polarisée : apparition de charges « liées » ! H Dans un volume V : H 1. À la surface : ~ · n̂ ρs liées = P (C m−2 ) (146) ~ ·P ~ ρliées = −∇ (C m−3 ) (147) 2. À l’intérieur : 3. Matière neutre : H I S ρs liées dS + Z V ρliées dV = 0 ~ ρliées , ρs liées génèrent champ électrique dû à P 190 Loi de Gauss dans les diélectriques H Deux types de charges : 1. « Libres » : on peut les choisir/placer etc. 2. « Liées » : on n’a aucun contrôle sur elles H Loi de Gauss (électrostatique) : ~ ·E ~ = 1 (ρliées + ρlibres ) ∇ ǫ0 1 ~ ·P ~ + ρlibres ) = (−∇ ǫ0 ~ · (ǫ0 E ~ + P) ~ = ρlibres ∇ H ~ , ǫ0 E ~ +P ~ (C m−2 ) D (148) ~ ·D ~ = ρlibres ∇ (149) ~ : déplacement (ou induction) électrique, en C m−2 D 191 104 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Milieux LHI H Linéaire : ~ = ǫ0 χe E ~ P (150) χe : susceptibilité électrique ~ = ǫ0 E ~ +P ~ = ǫ0 (1 + χe )E ~ D (151) ~ = εE ~ , ǫ0 ǫr E ǫr : permittivité relative ε/ǫ0 (ou constante diélectrique) H H H Homogène : ǫr ne dépend pas de ~ r Isotrope : ǫr est un scalaire Milieux lhi : ~ ·D ~ = ρlibres (149) : ∇ ~ ~ D=ǫ 0 ǫr E −→ ~ ·E ~ = ρlibres /ǫ0 ǫr ∇ remplacer ρ −→ ρlibres et ǫ0 −→ ǫ0 ǫr dans la loi de Gauss 192 Permittivité relative : quelques valeurs typiques Matériau ǫr Vide Hydrogène Air (sec) Diamand Sel Silicone Eau Glace (−30 ◦C) 1 1.00025 1.00054 5.2 5.9 11.8 80.1 99 193 105 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Champ magnétique dans la matière 194 Phénomènes magnétiques : dus aux courants Aimants, boussoles, Pôle Nord, etc. : des courants dans la matière H Une boucle de courant I : H m ~ , IAn̂ H H H H H m ~ : moment dipolaire magnétique A : aire de la boucle Dans la matière, m ~ créés par les électrons Orientation aléatoire : résultat nul ~ extérieur ? Quel est l’effet d’un champ B ~ 1. Diamagnétisme : m ~ s’orientent contre B ~ 2. Paramagnétisme : m ~ s’orientent selon B ~ à grandes échelles 3. Ferromagnétisme : m ~ s’orientent selon B 195 Magnétisation : courants induits H H ~ Équivalent de la polarisation P ~ Vecteur de magnétisation M : densité volumique de moment dipolaire magnétique : 1 X m ~i ∆V→0 ∆V ~ , lim M (A m2 m−3 = A m−1 ) (152) i H Dans un volume V : 1. À la surface : ~ ∧ n̂ J~s liés = M (A m−1 ) (153) ~ ∧M ~ J~liés = ∇ (A m−2 ) (154) 2. À l’intérieur : 196 106 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Loi d’Ampère dans les diélectriques H Deux types de courants : 1. « Libres » : on peut les choisir/placer etc. 2. « Liés » : on n’a aucun contrôle sur eux H Loi d’Ampère (magnétostatique) : ~ ∧B ~ = µ0 (J~liés + J~libres ) ∇ ~ ∧M ~ + J~libres ) = µ0 (∇ ~ ∧ ∇ H 1 ~ ~ B−M µ0 = J~libres ~ −M ~ (A m−1 ) ~ , 1B H µ0 (155) ~ ∧H ~ = J~libres ∇ (156) ~ : « champ H » (excitation magnétique) en A m−1 H 197 Milieux LHI H Linéaire : ~ = χm H ~ M (157) ~ = µ0 (H ~ + M) ~ = µ0 (1 + χm )H ~ B (158) χm : susceptibilité magnétique ~ = µH ~ , µ0 µr H µr : perméabilité relative µ/µ0 H H H Homogène : µr ne dépend pas de ~ r Isotrope : µr est un scalaire Milieux lhi : ~ ∧H ~ = J~libres (156) : ∇ ~ ~ B=µ 0 µr H −→ ~ ∧B ~ = µ0 µr J~libres ∇ remplacer J~ −→ J~libres et µ0 −→ µ0 µr dans la loi d’Ampère 198 107 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Susceptibilité magnétique : quelques valeurs Matériau diaOr Argent Cuivre Eau CO2 Hydrogène H H χm 10−5 −3.4 × −2.4 × 10−5 −9.7 × 10−6 −9.0 × 10−6 −1.2 × 10−8 −2.2 × 10−9 Matériau para- χm Oxygène Sodium Aluminium Tungsten Platine Oxygène liquide 1.9 × 10−6 8.5 × 10−6 2.1 × 10−5 7.8 × 10−5 2.8 × 10−4 3.9 × 10−3 µ r = 1 + χm ≈ 1 Oxygène liquide démo (WL, L21, 43m00-46m22) 199 Ferromagnétisme µr entre 102 et 106 ! Orientation de m ~ par domaines (≈ 1020 atomes) Orientation permanante : magnétisation ~ non uniforme : force d’attraction vers B ~ fort Dans un champ magnétique B (WL, L21, 20m10-23m00) H Écouter les domaines magnétiques s’orienter : effet Barkhausen (1919) (WL, L21, 25m50-30m30) ~ H ~ H Phénomène d’hystérésis B/ H Température de Curie (WL, L21, 37m00-40m10) H H H H Matériau Nickel (Ni) Fer (Fe) Cobalt (Co) H Tc (◦C) 354 770 1115 ~ E ~ Équivalent : matériaux ferroélectriques, hystérésis P/ 200 108 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Équations de Maxwell dans la matière 201 Courant de polarisation Retour aux phénomènes variables dans le temps ~ etc.) ~ −→ Ẽ H Régime harmonique (∂/∂t −→ j ω, E H Polarisation/magnétisation dans la matière H Apparition de charges/courants « liés » : H ~ ~ · P̃ polarisation (147) : ρ̃liées = −∇ ~ ~ ∧ M̃ magnétisation (154) : J~˜liés = ∇ H Variation de ρ̃liées : courant de polarisation ~ · J~˜ = − j ω ρ̃) (Rappel (42) : ∇ ~ =∇ ~ ~ · P̃) ~ · j ω P̃ ~ · J~˜pol = − j ω ρ̃liées (147) = − j ω(−∇ ∇ ~ J~˜pol = j ω P̃ H (159) Un nouveau terme de courant à ajouter dans l’équation de Maxwell-Ampère ! 202 Équations de la divergence H Champ électrique (loi de Gauss) 1 ~ = ρ̃ = 1 (ρ̃ ~ + ρ̃ ~ · Ẽ ~ · P̃ (−∇ (88) : ∇ liées + ρ̃libres ) = libres ) ǫ0 ǫ0 ǫ0 H ~ + P̃) ~ = ∇ ~ = ρ̃ ~ · (ǫ0 Ẽ ~ · D̃ ∇ libres (160) ~ =0 ~ · B̃ (89) : ∇ (161) Champ magnétique 203 109 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Équations du rotationnel H Champ électrique (loi de Faraday) ~ ~ = − j ω B̃ ~ ∧ Ẽ (90) : ∇ H (162) Champ magnétique (loi de Maxwell-Ampère) ~ = µ (J~˜ + J~˜ ~˜ ~ ~ ∧ B̃ (91) : ∇ 0 liés libres + Jpol + j ωǫ0 Ẽ) (159) ~ + J~˜ ~ ~ ~ ∧ M̃ = µ0 (∇ libres + j ω P̃ + j ωǫ0 Ẽ) ~ + J~˜ ~ ~ ∧ M̃ = µ (∇ + j ω D̃) 0 ~ ∧ ∇ 1 ~ ~ B̃ − M̃ µ0 libres ~ ~ = J~˜ ~ ∧ H̃ = ∇ libres + j ω D̃ (163) 204 Équations de Maxwell dans la matière (1) H Forme « inutilisable » ~ = ρ̃/ǫ ~ · Ẽ ∇ 0 ~ =0 ~ · B̃ ∇ ~ = − j ω B̃ ~ ~ ∧ Ẽ ∇ (164a) (164b) (164c) ~ = µ (J~˜ + j ωǫ Ẽ) ~ ~ ∧ B̃ ∇ 0 0 H (164d) Charges et courants : « libres » et « liés » ρ̃ = ρ̃liées + ρ̃libres + J~˜ J~˜ = J~˜ + J~˜ liés H H libres pol Équations valables quel que soit le milieu Incovénient : calculer les charges/courants que l’on ne contrôle pas 205 110 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Équations de Maxwell dans la matière (2) H Forme « généralisée » ~ = ρ̃ ~ · D̃ ∇ libres ~ ~ · B̃ = 0 ∇ ~ ~ = − j ω B̃ ~ ∧ Ẽ ∇ (165a) (165b) (165c) ~ = J~˜ ~ ~ ∧ H̃ ∇ libres + j ω D̃ H H (165d) Charges et courants : uniquement « libres » (on ne l’écrira plus !) Relations constitutives ~ ~ + P̃ ~ = ǫ Ẽ D̃ 0 ~ = µ (H̃ ~ + M̃) ~ B̃ 0 Équations valables quel que soit le milieu ~ ~ H Difficulté : calculer les champs P̃ et M̃ H 206 Équations de Maxwell dans la matière (3) H Forme spéciale : milieux linéaires, homogènes, isotropes (lhi) ~ = ρ̃ ~ · Ẽ ∇ libres /ǫ ~ =0 ~ · H̃ ∇ ~ ~ = − j ωµH̃ ~ ∧ Ẽ ∇ (166a) (166b) (166c) ~ = J~˜ ~ ~ ∧ H̃ ∇ libres + j ωǫẼ H H (166d) Charges et courants : uniquement « libres » (on ne l’écrira plus !) Relations constitutives : utilisées dans (165) −→ (166) ~ = ǫ Ẽ ~ + P̃ ~ lhi ~ = ǫẼ ~ D̃ = ǫ0 ǫr Ẽ 0 lhi ~ = µ (H̃ ~ + M̃) ~ = ~ = µH̃ ~ B̃ µ0 µr H̃ 0 H H Équations valables uniquement pour les milieux lhi (y compris le vide !) Ressemblent aux équations (164) mais avec ǫ, µ et charges/courants libres 207 111 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Énergie et puissance dans la matière H On peut reprendre les calculs qui ont conduit à (131) mais à partir des équations de Maxwell généralisées (165) dP pertes : = E~ · J~ (W/m3 ) dV énergie é/m : 1~ ~ 1~ ~ dUem ·E+ B·H = D dV 2 2 ~ = E~ ∧ H ~ Poynting : S H (W m−2 ) (J m−3 ) (167) (168) Dans le cas spécial du vide, on retrouve (129) et (134) 208 112 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 OPPM dans les milieux lhi 209 OPPM dans un milieu lhi H H H H On peut reprendre tous les résultats obtenus dans le vide Remplacer ǫ0 −→ ǫ et µ0 −→ µ Faire apparaître uniquement les charges et les courants « libres » Dans un milieu lhi sans sources ni courants : ◮ ◮ ◮ Une OPPM est une onde TEM ~ H, ~ ~ Les vecteurs E, k forment un trièdre direct Le nombre d’onde est donné par : √ √ √ √ k = ω µǫ = ω µ0 ǫ0 µr ǫr = k0 µr ǫr ◮ (169) ~ ~ est constant : Le rapport kEk/k Hk r ~ ~ E⊥ ~ ~ k ~ ǫ ~ k∧E k ~ ~ ~ −→ kHk = kEk = kEk B = µH = ω ωµ µ Z, ◮ r ~ kEk µ = ~ ǫ kHk impédance caractéristique (Ω) (170) ~ et H ~ sont en phase si ǫ, µ réels Les champs E 210 113 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Types de pertes dans la matière 1. Pertes de conductivité (ohmiques) ~ (46) : J~˜ = σ Ẽ loi d’Ohm σ : conductivité en S m−1 ~ = ǫ χ̃ Ẽ ~ 2. Pertes diélectriques : (150) → P̃ 0 e ǫ̃ = 1 + χ̃e , ǫ′ − j ǫ′′ = ǫ0 (ǫ′r − j ǫ′′r ) = ǫ0 ǫ̃r ~ = χ̃ H̃ ~ 3. Pertes magnétiques : (157) → M̃ m µ̃ = 1 + χ̃m , µ′ − j µ′′ = µ0 (µ′r − j µ′′r ) = µ0 µ̃r (on considère toujours ici µr ≈ 1) 211 Permittivité effective H Pertes ohmiques et diélectriques dans Maxwell-Ampère : σ ~ ~ ~ ~ ~ Ẽ (166) : ∇ ∧ H̃ = σ Ẽ + j ωǫ̃Ẽ = j ωǫ0 ǫ̃r − j |{z} ωǫ0 ˜ J~ H Définir une permittivité effective ǫ̃reff H σ , ǫ̃r − j = ǫ′r − j ωǫ0 ǫ′′r σ + ωǫ0 = ǫ′reff − j ǫ′′reff (171) L’équation de Maxwell-Ampère (166) ~ ~ ∧H ~ = j ωǫ0 ǫ̃reff Ẽ ∇ H On peut reprendre tous les résultats précédents (lhi sans pertes) et remplacer ǫr −→ ǫ̃reff 212 114 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Nombre d’onde complexe H Le nombre d’onde H Nombre d’onde complexe ! p √ k = ω µǫ −→ k̃ = ω µǫ̃eff k̃ , β− j α ~ =E ~ 0 e− j k̃z = E ~ 0 e− j (β− j α)z = E ~ 0 e−αz e− j βz Ẽ ~ 0 e−αz cos(ωt − βz) E~ = E H H H β : « constante de phase » (rad m−1 ) α : « coefficient d’atténuation » (Np m−1 ) δ = 1/α : « profondeur de peau » 213 Coefficients α et β H Milieu lhi sans pertes magnétiques, avec permittivité complexe q q p √ k̃ = ω µ0 ǫ0 µr ǫ̃reff = k0 µr (ǫ′reff − j ǫ′′reff ) = k0 µr ǫ′reff H H s 1− j ǫ′′reff ǫ′reff Tangente de pertes , ǫ′′reff /ǫ′reff Coefficient d’atténuation / constante de phase : α = k0 r β = k0 r s 1/2 ′′ 2 µr ǫ′reff ǫreff 1+ − 1 2 ǫ′reff µr ǫ′reff 2 s 1+ 115 ǫ′′reff 2 ǫ′reff 1/2 + 1 (172) (173) www.polytech.unice.fr/~aliferis 214 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Milieu lhi sans pertes H Milieu sans pertes : ǫ′′ = 0 α=0 β=ω H La vitesse de phase : vφ = H Indice de réfraction : La longueur d’onde : λ= µǫ′ ω c c =p = ≤c ′ β n µ r ǫr n, H p p (174) (175) µr ǫ′r 2π λ0 λ0 =p ≤ λ0 = ′ β n µ r ǫr 215 Milieu lhi avec pertes H Milieu avec pertes : ǫ′′ 6= 0 α 6= 0 β 6= ω H La vitesse de phase (réelle) : vφ = H µǫ′ c c ω ω ω = n o= √ = √ = ≤c β Re {ñ} Re ω µǫ̃ Re µr ǫ̃r Re k̃ (176) Indice de réfraction (complexe) : ñ , H p La longueur d’onde (réelle) : λ= p (177) µr ǫ̃r λ0 2π λ 2π = √0 n o= = ≤ λ0 β Re {ñ} Re µr ǫ̃r Re k̃ 116 www.polytech.unice.fr/~aliferis 216 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Refléxion / transmission entre deux milieux lhi 217 Conditions aux limites entre deux milieux lhi H Les équations de Maxwell dans la matière (165) ~ = ρ̃ ~ · D̃ ∇ ~ ~ = − j ω B̃ ~ ∧ Ẽ ∇ H H ~ =0 ~ · B̃ ∇ ~ ~ = J~˜ + j ω D̃ ~ ∧ H̃ ∇ Interface entre deux milieux lhi, n̂ de 2 vers 1 Même procédure que celle du tr.#174 ~ ) = ρ̃ ~ − D̃ n̂ · (D̃ 2 s 1 ~ − B̃ ~ )=0 n̂ · (B̃ 1 ǫ1 Ẽnor1 − ǫ2 Ẽnor2 = ρ̃s 2 ~ − Ẽ ~ ) = ~0 n̂ ∧ (Ẽ 1 2 ~ ~ n̂ ∧ (H̃1 − H̃2 ) = J~˜s (178a) µ1 H̃nor1 − µ2 H̃nor2 = 0 (178b) Ẽtan1 − Ẽtan2 = 0 (178c) H̃tan1 − H̃tan2 = J˜s (178d) ~ ~ Ẽ tan continu ; H̃nor continu (si milieux non magnétiques) ~ H J˜s : courant surfacique (A m−1 ), uniquement sur un conducteur parfait H 218 Incidence normale sur une interface H H H Interface entre deux milieux lhi à z = 0 Incidence normale : k̂i = êz (TD 14.1) Ondes incidente, réflechie et transmise : ~ = E e− j ~ki ·~r ê = E e− j ki z ê Ẽ i i0 x i0 x ~ = Ẽ e− j ~kr ·~r ê = Ẽ e+ j ki z ê Ẽ r r0 x r0 x ~ − j~ kt ·~ r − j kt z Ẽ = Ẽ e ê = Ẽ e ê t H t0 x t0 x ~ = (k̂ ∧ Ẽ)/ ~ Z̃ : Champs magnétiques H̃ ~ = + 1 E e− j ki z ê H̃ i0 y i Z̃1 ~ = − 1 Ẽ e+ j ki z ê H̃ r r0 y Z̃1 ~ = + 1 Ẽ e− j kt z ê H̃ t t0 y Z̃2 219 117 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Incidence normale : conditions aux limites Appliquer les conditions aux limites (178) à z = 0 ~ H (178a) : pas de composantes normales de Ẽ ~ H (178b) : pas de composantes normales de B̃ H H ~ (selon ê ) (178c) : composantes tangentielles de Ẽ x Ei0 + Ẽr0 = Ẽt0 H ~ (selon ê ) (178d) : composantes tangentielles de H̃ y Ei0 Ẽr0 Ẽt0 − = Z̃1 Z̃1 Z̃2 220 Incidence normale : coefficients amplitude H H Coefficients de réflexion/transmission en amplitude : r̃ , Ẽr0 Z̃2 − Z̃1 = Ei0 Z̃2 + Z̃1 (179) t̃ , 2Z̃2 Ẽt0 = Ei0 Z̃2 + Z̃1 (180) Quelques propriétés 1. 1 + r̃ = t̃ 2. r, t réels si milieux sans pertes : pas de déphasage 2 −Z1 r= Z Z2 +Z1 < 0 si Z2 < Z1 Milieux non magnétiques : Z2 < Z1 =⇒ ǫ1 > ǫ2 ǫ1 > ǫ2 =⇒ v1 < v2 (milieu « lent » vers « rapide ») q 3. Si milieu 2 conducteur parfait : Z̃2 = ǫ′ −µ2j σ → 0, r = −1, t = 0 ◮ ◮ ◮ ω 118 www.polytech.unice.fr/~aliferis 221 École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Incidence normale : coefficients puissance H Puissance transportée : 1 1 2 Ei0 Ii = Re 2 Z̃ 1 1 1 1 1 2 2 Ir = Re |Ẽr0 | = Re |r̃|2 Ei0 2 2 Z̃1 Z̃1 1 1 1 1 2 2 It = Re |Ẽt0 | = Re |t̃|2 Ei0 2 2 Z̃2 Z̃2 H Coefficients de réflexion/transmission en intensité : R, T , It Ii Ir = |r̃|2 Ii (181) o n Re 1/Z̃2 o |t̃|2 = 1 − R n = Re 1/Z̃1 (182) 222 Incidence oblique sur une interface : définitions H H H H H H Interface entre deux milieux lhi à z = 0 « Plan d’incidence » : défini par n̂ et k̂i « Angle d’incidence » θi : entre n̂ et k̂i (0 ≤ θi ≤ 90◦ ) « Angle de réflexion » θr : entre n̂ et k̂r (0 ≤ θr ≤ 90◦ ) « Angle de réfraction » θt : entre n̂ et k̂t (0 ≤ θt ≤ 90◦ ) Incidence oblique : ~ ki = ki sin θi êx + ki cos θi êz ~ kr = ki sin θr êx − ki cos θr êz ~ kt = kt sin θt êx + kt cos θt êz H H H H H H (kr = ki ) ~ ⊥ plan d’incidence (TD 14.2) Polarisation perpendiculaire (⊥, s, TE) : E ~ Polarisation parallèle (k, p, TM) : E k plan d’incidence (TD 14.3) Cas général : perpendiculaire + parallèle Milieux non magnétiques (µ1,2 = µ0 ) sans pertes (ǫ1,2 réels) √ k = k0 ǫr = nk0 √ Z = Z0 / ǫr = Z0 /n 223 119 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Incidence oblique ⊥ : champs H H ~ ⊥ plan d’incidence (TD 14.2) Polarisation perpendiculaire (⊥, s, TE) : E Champs électriques : ~ = E e− j ~ki ·~r ê Ẽ i i0 y H ~ = E e− j ~kr ·~r ê Ẽ r r0 y ~ = E e− j ~kt ·~r ê Ẽ t t0 y ~ ~ = (k̂ ∧ Ẽ)/Z : Champs magnétiques H̃ ~ = 1 E e− j ~ki ·~r (− cos θ ê + sin θ ê ) H̃ i i0 i x i z Z1 ~ = 1 E e− j ~kr ·~r (+ cos θ ê + sin θ ê ) H̃ r0 r x r z r Z1 ~ = 1 E e− j ~kt ·~r (− cos θ ê + sin θ ê ) H̃ t t0 t x t z Z2 224 Incidence oblique ⊥ : Snel – Descartes H H Appliquer les conditions aux limites (178) à z = 0 ~ (selon êy ) (178c) : composantes tangentielles de E ~ ~ ~ Ei0 e− j ki ·~r + Er0 e− j kr ·~r = Et0 e− j kt ·~r H Égalité possible à condition que : ~ ki · ~ r =~ kr · ~ r =~ kt · ~ r H ∀~ r = (x, y, 0) ∀~ r = (x, y, 0) « Continuité de la phase sur l’interface » Conséquences : ~ ki · ~ r =~ kr · ~ r ⇒ sin θi = sin θr ⇒ θi = θr ~ ki · ~ r =~ kt · ~ r ⇒ n1 sin θi = n2 sin θt (183) (184) Loi de (Willebrord) Snel – Descartes H Simplifier la notation : θ1 , θi = θr et θ2 , θr 225 120 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Incidence oblique ⊥ : conditions aux limites Appliquer les conditions aux limites (178) à z = 0 ~ H (178a) : pas de composantes normales de Ẽ ~ H (178b) : composantes normales de B̃ (selon ê ) H z µ0 H 1 1 1 Ei0 sin θ1 + µ0 Er0 sin θ1 = −µ0 Et0 sin θ2 Z1 Z1 Z2 ~ (selon ê ) (178c) : composantes tangentielles de Ẽ y Ei0 + Er0 = Et0 (178b) + Z = Z0 /n + Snell-Descartes = (178c) ~ H (178d) : composantes tangentielles de H̃ (selon êx ) − H 1 1 1 Ei0 cos θ1 + Er0 cos θ1 = Et0 cos θ2 Z1 Z1 Z2 Mêmes relations en incidence normale (cf. tr.#220) si on définit Z⊥ , Z/ cos θ 226 Incidence oblique ⊥ : coefficients amplitude H Coefficients de réflexion/transmission en amplitude : r⊥ , Z2⊥ − Z1⊥ Er0 = Ei0 Z2⊥ + Z1⊥ (185) t⊥ , Et0 2Z2⊥ = Ei0 Z2⊥ + Z1⊥ (186) Z1 cos θ1 Z2 , cos θ2 Z1⊥ , Z2⊥ H H H H r⊥ , t⊥ dépendent de θ1 r⊥ 6= 0 (TD 14.2g) Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 = 0, r⊥ = −1, t⊥ = 0 Z⊥ = |Etan |/|Htan | (comp. tangentielles à l’interface, ici |Ey |/|Hx |) 227 121 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Incidence oblique ⊥ : coefficients puissance H Puissance transportée de façon normale à l’interface : 1 1 2 E cos θ1 2 Z1 i0 1 1 2 1 1 2 2 Ir = Er0 cos θ1 = r E cos θ1 2 Z1 2 Z1 ⊥ i0 1 1 2 1 1 2 2 It = Et0 cos θ2 = t E cos θ2 2 Z2 2 Z2 ⊥ i0 Ii = H Coefficients de réflexion/transmission en intensité : Ir 2 = r⊥ Ii (187) It 1/Z2 cos θ2 2 = t = 1 − R⊥ Ii 1/Z1 cos θ1 ⊥ (188) R⊥ , T⊥ , 228 Incidence oblique k : champs H H ~ k plan d’incidence (TD 14.3) Polarisation parrallèle (k, s, TM) : E Champs magnétiques : ~ = 1 E e− j ~ki ·~r ê H̃ i i0 y Z1 H ~ = 1 E e− j ~kr ·~r ê H̃ r r0 y Z1 ~ = 1 E e− j ~kt ·~r ê H̃ t t0 y Z2 ~ = (H̃ ~ ∧ k̂)Z : Champs électriques Ẽ ~ = E e− j ~ki ·~r (+ cos θ ê − sin θ ê ) Ẽ i i0 i x i z ~ ~ = E e− j kr ·~r (− cos θ ê − sin θ ê ) Ẽ r r0 r x r z ~ = E e− j ~kt ·~r (+ cos θ ê − sin θ ê ) Ẽ t H t0 t x t z Même procédure que celle du cas ⊥ (cf. tr.#225) : 1. Continuité de phase sur l’interface : ~ ki · ~ r =~ kr · ~ r =~ kt · ~ r 2. Snel – Descartes : θi = θr et n1 sin θi = n2 sin θt 3. θ1 , θi = θr et θ2 , θt 229 122 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Incidence oblique k : conditions aux limites Appliquer les conditions aux limites (178) à z = 0 ~ H (178a) : composantes normales de D̃ (selon êz ) H −ǫ1 Ei0 sin θ1 − ǫ1 Er0 sin θ1 = −ǫ2 Et0 sin θ2 ~ (178b) : pas de composantes normales de B̃ ~ H (178c) : composantes tangentielles de Ẽ (selon êx ) H Ei0 cos θ1 − Er0 cos θ1 = Et0 cos θ2 H ~ (selon ê ) (178d) : composantes tangentielles de H̃ y Ei0 Er0 Et0 + = Z1 Z1 Z2 (178a) + Z = Z0 /n + Snell-Descartes = (178d) H On définit Zk , Z cos θ 230 Incidence oblique k : coefficients amplitude H Coefficients de réflexion/transmission en amplitude : rk , − tk , Z2k − Z1k Er0 = Ei0 Z2k + Z1k 2Z2k cos θ1 Et0 = Ei0 Z2k + Z1k cos θ2 (189) (190) Z1k , Z1 cos θ1 Z2k , Z2 cos θ2 H H H H H ~ i et E ~ r sont opposés rk , −Er0 /Ei0 parce que si θ1 ≈ 0, E rk , tk dépendent de θ1 rk = 0 si θ1 = θB : angle de Brewster, tan θB = Z1 /Z2 (TD 14.3d) Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 = 0, rk = −1, tk = 0 Zk = |Etan |/|Htan | (comp. tangentielles à l’interface, ici |Ex |/|Hy |) 231 123 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013 Incidence oblique k : coefficients puissance H Puissance transportée de façon normale à l’interface : 1 1 2 E cos θ1 2 Z1 i0 1 1 2 E cos θ1 = Ir = 2 Z1 r0 1 1 2 E cos θ2 = It = 2 Z2 t0 Ii = H 1 1 2 2 r E cos θ1 2 Z1 k i0 1 1 2 2 t E cos θ2 2 Z2 k i0 Coefficients de réflexion/transmission en intensité : Ir = rk2 Ii (191) It 1/Z2 cos θ2 2 t = 1 − Rk = Ii 1/Z1 cos θ1 k (192) Rk , Tk , 232 124 www.polytech.unice.fr/~aliferis