Théorème Unicité de la limite

Théorème : Unicité de la limite Soit f une fonction définie au voisinage de a. Si f est une fonction qui admet la limite L en a Alors f ne peut pas s’approcher d’une autre limite. En d’autres termes : Si lim f (x) = L et si lim f (x) = M x→a
x→a
Alors L = M Rappels Définition de la limite : L est la limite de f en a si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x ∈D f , 0 < x − a < δ on a f (x) − L < ε . Inégalité du triangle : Si on a un triangle ABC et que l’on calculer la distance de A à B, le plus court chemin est par l’arrête de A à B… en passant pas C, le chemin est plus long : A − B ≤ A − C + C − B Démonstration Pour démontrer que f ne peut pas admettre deux limites en a, nous allons supposer que f admet deux limites différentes en a et monter que cela mène à une conséquence absurde. Ce type de démonstration s’appelle démonstration par l’absurde. Supposons donc que lim f (x) = L et si lim f (x) = M avec L ≠ M . x→a
x→a
L−M
Choisissons arbitrairement ε =
> 0 (1) 4
Si L est la limite de f quand x tend vers a : ∀ε > 0, ∃δ L > 0 tel que ∀x ∈D f , 0 < x − a < δ L on a f (x) − L < ε Si M est la limite de f quand x tend vers a : ∀ε > 0, ∃δ M > 0 tel que ∀x ∈D f , 0 < x − a < δ M on a f (x) − M < ε Choisissons un x suffisamment proche de a c’est-­‐à-­‐dire à une distance plus petite que δ L et δ M de a. Donc f (x) − L < ε et f (x) − M < ε . On peut écrire l’inégalité suivante : 4ε =
L − f (x) + f (x) − M < 2ε  L − M = L − f (x) + f (x) − M ≤
 


(1)
Inégalité
du
triangle
f ( x )−L
⇒ 4 ε < 2ε ⇒ 4 ε − 2ε < 0 ⇒ 2ε < 0 ⇒ ε < 0 . Cela est absurde par hypothèse. Il est donc impossible d’avoir deux limites différentes en a. 