UNIVERSITÉ ABDELMALEK
ESSAÂDI
École nationale des sciences appliquées
Al Hoceima
Module AP-12 : Analyse Réelle
CP 1ère année
Correction des exercices facultatifs
Said TAARABTI
2
Correction de l’exercice 4 :
On a |a| ̸= |b|, donc, on distingue deux cas :
1er cas : si |a| < |b|. Ceci implique que b ̸= 0 . Alors, on pose k = ab .
Donc la suite (un ) devient :
un =
kn − 1
.
kn + 1
Puisque |k| < 1 alors la suite géométrique (k n ) est convergente et tend
vers zéro.
D’où (un ) est une suite convergente et lim un = −1.
n→+∞
2ème cas : se traite de la même manière .
Correction de l’exercice 2 :
Soit E : x −→ E(x) la fonction partie entière.
1. Soit x, y ∈ R, tel que : x ≤ y.
Et comme
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ∀x ∈ R,
(1)
E(y) ≤ y < E(y) + 1 ∀y ∈ R,
(2)
alors
E(x) ≤ x ≤ y < E(y) + 1,
c’est-à-dire
E(x) < E(y) + 1.
Or E(x) ∈ Z et E(y) ∈ Z, donc : E(x) ≤ E(y).
D’où E est croissante.
Correction de l’exercice 7 :
On considère l’ensemble A = {x ∈ Q+ : x2 ≤ 2}, montrons que A n’admet pas de borne supérieure dans Q.
On procède par l’absurde, supposons que A possède une borne supérieure
α dans Q (α ∈ Q+ ).
— On a : soit α2 = 2 (ce qui n’est pas possible) ou α2 > 2 ou α2 < 2.
3
√
— Si α2 < 2, alors α < 2.
(je rappelle que entre deux réels distincts, il existe un rationnel. Cette
propriété est appelée densité de Q dans
√ R.)
Il existe β dans Q tel que α < β < 2 et par conséquent β ∈ A et
qui est supérieure à α, ce qui est absurde.
— Un raisonnement analogue pour α2 > 2.
Correction de l’exercice 9 :
Soit (un ) une suite d’entiers qui converge vers l ∈ R.
Par définition de la convergence de (un ) , on a :
∀ε > 0, ∃N ∈ N
tel que n ≥ N ⇒ |un − l| < ε.
(3)
ceci implique que :
∀ε > 0, ∃N ∈ N
tel que n ≥ N ⇒ l − ε < un < l + ε.
Pour ε = 12 , on obtient un N tel que pour n ≥ N , on a un ∈]l − 12 , l + 12 [.
On pose I =]l − 12 , l + 12 [.
Or l’intervalle I est de longueur 1, il existe donc au plus un élément de
N. Donc I ∩ N est soit vide soit un singleton {a} (un élément).
Comme, (un ) est un entier, qui vérifie n ≥ N ⇒ un ∈ I ∩ N,
alors, I ∩ N = {a}, et par suite : n ≥ N ⇒ un = a.
Donc la suite (un ) est constante à partir de N.
