I. Variables aléatoires réelles continues RETOUR AU MENU VARIABLES CONTINUES RETOUR ACCUEIL 1. Lois continues a. Conditions à satisfaire(simultanément) pour justifier qu’une variable aléatoire réelle X admet une densité f f admet un nombre fini de points de discontinuité. f 0 f ( x)dx =1 b. Opérateurs usuels Une variable aléatoire se définit à l’aide de 2 paramètres : son espérance mathématique ou moyenne et sa variance (ou carré de l’écart type). Soit E(X) l’espérance mathématique : E(X)= xf ( x)dx = m Plus généralement, le moment non centré d’ordre r est E(Xi)= Soit V(X) la variance : V(X) = x i f ( x)dx ( x m) 2 f ( x)dx Dans la pratique pour calculer la variance, on utilise la formule de Huyghens (même démonstration en remplaçant par ): V(X)= = ( x m) 2 f ( x)dx = ( x 2 2mx x 2 ) f ( x)dx x f ( x)dx -2m xf ( x)dx +m2 f ( x)dx =E(X2)-2mE(X)+m2.1 2 Or m=E(X) donc mE(X)=E(X)2=m2. Dès lors : V(X)= E(X2)-2m2.+ m2.1= E(X2)- m2 Conclusion : V(X) = E(X2)-[E(X)]2 c. Fonction de répartition Soit F la fonction de répartition associée à la densité f. F(x)= P[X<x]= x f (t )dt Propriétés : F’(x)=f(x). Or f est par hypthèse positive donc F est toujours croissante ; lim F(x) quand x tend vers - = lim F(x) quand x tend vers + = f (t )dt =1 car f est une densité de probabilité. f (t )dt =0 ; 2. Lois usuelles du programme Remarque liminaire importante Pour les 3 lois qui vont être traitées ci-après, on résoudra les questions suivantes dont les résultats, parce qu’il s’agit de lois du programme, peuvent être admis : 1°) Montrer que f est bien une densité de probabilité 2°) Exprimer et étudier la fonction de répartition 3°) Etudier la fonction densité 4°) Calculer E(X) 5°) Calculer V(X) La connaissance de ces démonstrations demeure toutefois essentielle car les problèmes de concours consiter en leur redémonstration ou aborder des démonstrations voisines. a. Loi uniforme continue Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle a; b , a et b étant des nombres réels postifs. On note X U( a; b). Sa densité est alors la suivante : x a f ( x) 0 1 a x b f ( x ) ba x b f ( x ) 0 1°) Montrons que f est bien une densité f est continue sauf en a et b : elle admet donc un nombre fini de points de discontinuité (ce nombre est égal à 2) ; a et b sont des réels positifs et b a donc f(x) 0, x ; b a b 1 f ( x)dx = f ( x)dx + a f ( x)dx + b f ( x)dx =0+ a b a dx +0 = 1 ba b a dx = 1 x ba = 1 (b-a) = 1 ba ba Graphiquement on a (f en bleu) : 1/(b-a) a b 2°) Exprimons F : x a F ( x) x f (t )dt 0(*) a x x 1 1 x 1 xa x a x b F ( x) f (t )dt a f (t )dt 0 a b a dt b a a dt b a t a b a a b x x b F ( x) f ( t ) dt f ( t ) dt a b f (t )dt 0 1 0 1(**) (*) car si x<a alors f(x) =0 donc (**) car si x>b alors f(x) =0 donc x x b f (t )dt aussi f (t )dt aussi. xa qui est une fonction affine (représentée par ba une droite. On a donc le graphique suivant (F en rouge) : F est croissante. Sur l’intervalle [a ;b], F(x)= 1 a b 3°) La courbe de la densité a été tracée dans le cadre du 1°) 4°) et 5°) Calculons E(Xi)= x i f ( x)dx Si x<a alors f(x)=0. De même si x>b alors f(x)=0. 1 Si a x b alors f(x)= ba Il convient donc de décomposer E(Xi)= = a b x i f ( x)dx b x f ( x)dx + x f ( x)dx + x f ( x)dx = 0+ x i f ( x)dx +0 i a b i b 1 1 x dx = ba ba donc E(X )= Donc E(Xi)= 1 b i 1 a i 1 ( ) ba i 1 i a i i a b a 1 x dx = ba i b x i 1 i 1 a Ainsi pour i=1 : E(X)= Pour i=2 : E(X2)= 1 b2 a2 1 (b a )(b a ) = . ba ba 2 2 ab Conclusion : E(X) = 2 1 b3 a3 ba 2 b. Loi exponentielle Si X suit une loi exponentielle de paramètre positif alors, si f est sa densité, on a : E( ) X x 0 f ( x) 0 x x 0 f ( x) e 1°) Montrons que f est bien une densité f est continue sauf en 0 donc un admet un nombre fini (égal à 1) de points de discontinuité f est positive car est positif et qu’une exponentielle est toujours positive 0 0 f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx =0+ e x dx = 0 0 e x dx Or (cf. : chapitre Intégrales – 3. Suites d’intégrales classiques), on sait que : n! In = x n e ax dx (où a *+) = n 1 0 a 0! Ici : n=0 et a= donc e x dx = 0 1 = =1 0 2°) F(x)= x f (t )dt Si x<0 alors : F(x)= x f (t )dt = 0 car si x<0 alors f(x) =0 donc x f (t )dt aussi x Si x 0 alors : F(X)= 0 x x 0 0 f (t )dt + f (t )dt =0+ e NB : lim F(x) quand x tend vers + = 1 t 0 e t e t 1 e x = = dt = 0 x donc la courbe de F (fonction croissante cf. : propriétés des fonctions de répartition) admet une asymptote horizontale d’équation y= 1 3°) Etude de f(x) Si x<0 alors f(x)=0 Si x 0 alors f(x)= e x donc f’x)=- 2 e x <0 car 2 >0 et e x . Dès lors si x 0 alors f est décroissante. NB : lim f(x) quand x tend vers + =0 donc la courbe de f admet une asymptote horizontale d’équation y= 0 (qui correspond à l’axe des abscisses). 4°) et 5°) Calculons E(Xi)= =0+ x e 0 i x dx = 0 i xe x x i f ( x)dx = dx . 0 x i f ( x)dx + x i f ( x)dx 0 D’après la formule In = 0 x n e ax dx (où a *+) = n=i et a= , alors : E(Xi)= Dès lors, pour i=1 : E(X)= Et pour i=2 : E(X2)= Conclusion : V(X) = 2! 2 = i! i 1 = i! i 1 2 2 . Ainsi : V(X)= E(X2)-[E(X)]2= 1 2 RETOUR EN HAUT RETOUR AU MENU VARIABLES CONTINUES RETOUR ACCUEIL n! ,en posant : a n 1 2 2 - 1 2 .