INSA Lyon 2004-2005 Filière FSA Muriel Ney CORRIGE N ( x) D( x) Où N est un polynôme de degré n et D un polynôme de degré d. Ecrire une méthode générale pour déterminer la limite de Q(x) quand x tend vers +∞. Soit une fonction rationnelle Q( x) = La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifié de ses termes de plus haut degré : N ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + .... + a1 x + a0 et D( x) = bd x d + bd −1 x d −1 + .... + b1 x + b0 an x n lim Q( x) = lim x → +∞ x → +∞ b x d d pour le vérifier, il suffit de mettre en facteur le terme de plus haut degré pour chacun des deux polynômes : 1 1 1 1 N ( x) = a n x n (1 + a n −1 + .... + a1 n −1 + a 0 n ) idem pour D(x) puis utiliser le fait que lim p = 0 x → +∞ x x x x Conclusion : Si n > d alors la limite est +∞ ou –∞ selon le signe de Si n = d alors la limite est finie égale à an bd an bd Si n < d alors la limite est 0 (par valeur supérieures ou inférieures, selon le signe de an ) bd Exercices de traduction en langage mathématique 3) En présence d’un frottement, une masse subit une résistance à sa chute qui est d’autant plus élevée que sa vitesse est élevée. Dans le modèle du frottement laminaire, la force de frottement est directement proportionnelle à la vitesse de la masse. Dans ce cas la vitesse est donnée par µ µ − t − t mg v(t ) = v0 e m + (1 − e m ) µ Si le temps de la chute est suffisamment long, la vitesse va-t-elle s’annuler ? µ 1. La vitesse est donnée à tout instant par v(t ) = v0 e − t m + mg µ µ (1 − e − t m ) On peut connaître en particulier la vitesse atteinte lors d’une chute de longue durée. (Optionnel : pour s’en faire une idée, on pourra calculer v(t) pour t grand, par exemple 103s) Une étude de fonction permettrait de la tracer la courbe et de voir son comportement à tout instant, en particulier lorsque t est long. INSA Lyon 2004-2005 Filière FSA Muriel Ney Ici on peut se contenter de calculer la limite quand t tend vers l’infini. µ − t mg 2. On obtient , en utilisant le fait que lim e m = 0 (car µ / m est positif). µ t → +∞ 3. Donc si le temps est suffisamment long, la vitesse va s’approcher d’une valeur seuil de mg / µ, valeur qui sera d’autant plus faible que le coefficient de frottement µ est élevé. 4) Lorsqu’un objet de température initiale T0 est plongé dans un milieu de température constante Ta, l’évolution de sa température est donnée par T (t ) = Ta + (T0 − Ta )e − kt La température de l’objet va-t-elle finir par atteindre celle du milieu ou une valeur intermédiaire ? 1. traduire l’énoncé en termes mathématiques : calculer la limite de T(t) quand t tend vers l’infini 2. faire le calcul : e − kt tend vers 0 quand t tend vers l’infini car k >0 donc T(t) tend vers Ta 3. conclure : Si on attend un temps suffisamment long, la température de l’objet va atteindre celle du milieu. 5) La loi de Michaelis et Menten donne la vitesse d’une réaction enzyme-substrat V0 c V (c ) = c + Km où Km est la constante de Michaelis et Merten, V0 une constante propre à la réaction et c est la concentration en substrat.. Montrer que l’écart entre les vitesses V et V0 peut être rendu arbitrairement petit par le choix d’une concentration c suffisamment élevée. 1. calculer la limite de V quand c tend ver l’infini 2. C’est une fraction de polynômes en c, on prend les termes de plus haut Vc degré : lim V (c) = lim 0 = V0 c → +∞ c → +∞ c 3. V(c) s’approche aussi près que l’on veut de V0, il suffit de prendre une concentration c assez grande. 6) La force d’attraction entre deux masses m1 et m2 distantes de r mètres est donnée par la loi de Newton F(r)= Gm1m2/r2 où G est une constante universelle. Peut-on en déduire qu’un satellite suffisamment éloigné de la terre ne subira plus son attraction ? 1. il faut calculer la limite de F quand r tend vers l’infini 2. C’est une fraction de polynômes… à la limite où r tend vers l’infini, la force d’attraction tend vers 0. 3. Même si d’un point de vu mathématique la valeur 0 n’est pas atteinte pour une valeur finie de r, d’un point de vue physique le satellite ne sera plus soumis à l’attraction de la terre s’il s’en éloigne trop (attraction par les autres masses etc).