DS2 continuite derivabilite-3

Devoir surveillé 2 : Continuité et dérivabilité
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur ℝ par f  x  =
x3− 4
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
x2  1
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose g  x  = x3  3 x  8
a) Étudier le sens de variation de g , et montrer que l'équation g  x  = 0 admet sur ℝ une unique solution  dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1 (à justifier).
b) Préciser le signe de g  x  selon la valeur de  .
2) a) Calculer f '  x  et étudier le sens de variation de f
b) Étudier les limites de f en ∞ et en −∞, puis dresser le tableau de variations de f
x 4
x2 1
b) En déduire que Cf admet une asymptote oblique  , et étudier la position de Cf par rapport à  .
Vérifier en particulier que Cf rencontre  en un unique point A .
3) a) Montrer que f  x  = x −
4) Déterminer les abscisses des points B et B ' de Cf admettant une tangente parallèle à  .
3
5) Montrer que f    =  et en déduire une valeur approchée de f    .
2
Exercice 2
{
1
x2 sin
si x ≠ 0
x
On considère la fonction f définie sur ℝ par f  x  =
0 si x = 0
1) Montrer que f est continue sur ℝ ?
2) f est elle dérivable en 0 ?
3) f ' est elle continue en 0 ?
Devoir surveillé 2 : Continuité et dérivabilité
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur ℝ par f  x  =
x3− 4
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
x2  1
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose g  x  = x3  3 x  8
a) Étudier le sens de variation de g , et montrer que l'équation g  x  = 0 admet sur ℝ une unique solution  dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1 (à justifier).
b) Préciser le signe de g  x  selon la valeur de  .
2) a) Calculer f '  x  et étudier le sens de variation de f
b) Étudier les limites de f en ∞ et en −∞, puis dresser le tableau de variations de f
x 4
x2 1
b) En déduire que Cf admet une asymptote oblique  , et étudier la position de Cf par rapport à  .
Vérifier en particulier que Cf rencontre  en un unique point A .
3) a) Montrer que f  x  = x −
4) Déterminer les abscisses des points B et B ' de Cf admettant une tangente parallèle à  .
3
5) Montrer que f    =  et en déduire une valeur approchée de f   
2
Exercice 2
{
1
x2 sin
si x ≠ 0
x
On considère la fonction f définie sur ℝ par f  x  =
0 si x = 0
1) Montrer que f est continue sur ℝ ?
2) f est elle dérivable en 0 ?
3) f ' est elle continue en 0 ?
Correction
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur ℝ par f  x  =
x3− 4
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
x2  1
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose g  x  = x3  3 x  8
a) Étudions le sens de variation de g , et montrons que l'équation g  x  = 0 admet sur ℝ une unique solution  dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1.
g est un polynôme donc est une fonction dérivable sur ℝ . On a alors g '  x  = 3 x 2  3 0 sur ℝ (Un carré est toujours positif)
Il me semble important de rappeler que l'utilisation des formules du discriminant doit se faire de façon raisonnée et non pas instantanée.
Il est tout à fait inutile d'utiliser un  pour montrer que 3 x 2  3 est toujours positif.
Autre chose de très important, le  ne se calcule que pour une expression polynomiale du second degré et uniquement de cette forme.
On ne peut pas calculer de  pour x 3  3 x  8 puisque cette expression n'est pas du second degré.
Il s'en suit que g est une fonction strictement croissante sur ℝ .
On remarque alors que g change de signe puisque g −1,5  = 0,125 et g −1,6  ≈ −0,896 .
g étant dérivable donc continue sur ℝ , le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu'il existe une unique solution  à l'équation
g  x = 0 et que −1,6  −1,5
Par suite on tire le tableau de signes suivant :
−∞
x

g(x)
∞
0
−
+
2) a) Calculons f '  x  et étudions le sens de variation de f
f est dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables sur ℝ dont le dénominateur ne s'annule pas.
On peut donc calculer f '  x  pour tout x ∈ ℝ .
u
u '  x v x −u x  v '  x
u
u  x = x3− 4
u '  x= 3 x2
' x =
On a alors f = où
et
ce qui donne, puisque f '  x  =
2


v
v x =2 x
v
v x = x 1
v2  x 
3
x  x 3 x 8
xg  x 
f ' x =
= 2
On en déduit que :
 x 2 1 2
 x  1 2
Remarque : L'expression de f '  x  doit toujours faire appel à celle de la fonction auxiliaire ici g  x  .
Si ce n'est pas le cas c'est que vous avez fait une erreur quelque part
Et finalement le tableau de variations suivant :
{
{
x

−∞
0

signe de g
−
Signe de x
−
Signe de f'(x)
+
0
+
+∞
+
0
−
+
+
−
f  
∞
f(x)
−∞
−4
En l'infini, un polynôme, se comporte comme son terme de plus haut degré.
Il s'en suit une détermination aisée des limites en ∞ et −∞ de f  x 
x3
x3
lim f  x  = lim 2 = lim x =−∞ et lim f  x  = lim 2 = lim x =∞
x  −∞
x −∞ x
x  −∞
x  ∞
x ∞ x
x  ∞
x 4
x2 1
x  4 x  x2  1  x  4 x 3  x − x − 4 x 3 − 4
= 2
− 2
=
= 2
= f x 
On a x − 2
x 1
 x 1 
x 1
x2 1
x 1
3) a) Montrons que f  x  = x −
b) Montrons que Cf admet une asymptote oblique  , et étudions la position de Cf par rapport à  .
Rappelons l'essentiel :
Méthode sur les asymptotes.
Si lim f  x  = ∞ alors Cf admet une asymptote verticale d'équation x = a
x a
Si lim f  x  = b fini alors Cf admet une asymptote horizontale d'équation y = b en ∞
x  ∞
Si lim f  x  = b fini alors Cf admet une asymptote horizontale d'équation y = b en −∞
x  −∞
Pour démontrer que la droite d'équation y = ax  b est une asymptote oblique à Cf il faut et il suffit de montrer que
lim [ f  x  −  ax  b  ] = 0
x ∞
ce qui traduit que la distance entre Cf et la droite D tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini.
Pour étudier la position relative de Cf et de son asymptote il faut et il suffit d'étudier le signe de f  x  −  ax  b 
Si f  x  −  ax  b   0 alors f  x   ax  b et donc Cf et au dessus de D
Si f  x  −  ax  b   0 alors f  x   ax  b et donc Cf est en dessous de D
x 4
x 4
x
−1
= lim − = lim
=0
et donc lim [ f  x  − x ] = lim − 2
x2 1
x  ±∞
x ±∞
x  1 x  ±∞ x 2 x ±∞ x
Ce qui prouve que la droite  d'équation y = x est une asymptote oblique à Cf en ∞ et en −∞
Pour ce qui est de la position de  et de Cf, il nous suffit d'étudier le signe de f  x  − x
x 4
Or f  x  − x =− 2
, est du signe de −  x  4  donc :
x 1
Si − x  4   0 ⇔ x  4 0 ⇔ x −4 on a que f  x  − x  0 et donc que f  x   x soit que Cf est au dessus de 
Et donc Cf est au dessous de  si, et seulement si, x −4
On a f  x  − x =−
En particulier Cf ne rencontre  qu'en un unique point A d'abscisse x =−4
4) Déterminons les abscisses des points B et B ' de Cf admettant une tangente parallèle à  .
Pour cela il nous suffit de résoudre l'équation f '  x  = 1 puisque f '  x  est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse
x et que 1 est le coefficient directeur de la droite  .
Rappelons que deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur.
xg  x 
= 1 ⇔ xg  x  =  x 2  1 2 ⇔ x 4 3 x 2  8 x= x4  2 x 2  1 ⇔ x 2  8 x −1 =0
f ' x =1 ⇔
 x2  1  2
On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant.
 = b2 − 4 ac = 8 2  4= 68  0 il y a donc deux solutions distinctes :
−b    −8  68
−b−   −8−  68
x1=
=
= −4   17 et x 2 =
=
=−4−  17
2a
2
2a
2
Les abscisses des points B et B ' cherchées sont donc −4  17 et −4−  17
5) Exprimons f   en fonction de  .
 3 − 4 −3  − 8− 4
 4
=
=−3 2
2 1
2 1
 1
Cependant nous n'avons pas fini puisque on nous demande d'exprimer f    uniquement à l'aide de  .
Il nous faut donc éliminer le  2 au profit d'un simple  , mais comment ? En utilisant toujours la même relation g    = 0 .
 4

=− car  2  1≠ 0
 3  3  8= 0 ⇔  3    2  8= 0 ⇔    2  1   2    4  = 0 ⇔    2  1  =−2   4  ⇔ 2
2
 1
3
Finalement f   =  et comme −1,6  −1,5 on en déduit que −2,4 f    −2,25
2
On sait que g   = 0 donc que  3  3  8= 0 donc  3 =−3  − 8 , par suite f    =
Exercice 2
{
1
x2 sin
si x ≠ 0
x
On considère la fonction f définie sur ℝ par f  x  =
0 si x = 0
Avant de commencer, rappelons que :
Continuité et dérivabilité en un point a
Continuité et dérivabilité sur un intervalle I
f est continue sur I ⇔ f est composée de fonctions continues sur
f est continue en a ⇔ lim f  x  = f  a 
x a
cet
intervalle (somme, produit, quotient (dénominateur ne s'annule
⇔ lim f  x  = lim f  x  = f  a 
pas), composition (attention aux enchaînement et aux intervalles))
x a
xa
x a
x a
f  x  − f a 
est finie
x −a
f  x  − f a 
f x − f  a
=lim
⇔ lim
est finie.
x−a
x −a
x a
x a
f est dérivable en a ⇔ lim
x a
x a
f est dérivable sur I ⇔ f est composée de fonctions dérivables sur
cet intervalle (somme, produit, quotient (dénominateur ne s'annule
pas), composition (attention aux enchaînement et aux intervalles))
x a
Dans ce cas la limite est notée f ' a 
1) Montrons que f est continue sur ℝ ?
Sur ℝ* , f est le produit des fonctions x  x 2 (continue) et x  sin
 1x  qui est la composée des fonctions x  sin  x  et x  1x toutes
1
1
 sin
x
x
ℝ * ℝ*
f est donc continue sur ℝ*
Reste à étudier la continuité en 0.
1
 x 2 on en déduit (puisque lim x 2 = 0 ) que lim f  x  = 0 = f  0  , ce qui prouve que f et continue en 0.
Or 0 ∣ f  x ∣= x 2 sin
x
x 0
x 0


deux continues. x 
∣
 ∣
∣sin∣ 1
f est donc continue sur ℝ
2) f est elle dérivable en 0 ?
1
 
 
 
f x − f 0
On a f x − f 0 = f x = x sin 1 or 0  x sin
∣x∣ et comme lim ∣x∣= 0 on en déduit que lim
=0
x

0
x
x −0
x −0
x
x
x

0


∣  ∣
∣sin∣1
Ce qui prouve que f est dérivable en 0 et que f ' 0  = 0
3) f ' est elle continue en 0 ?
Il nous faut établir l'expression de f '  x  .
D'après la question précédente on a que f ' 0  = 0 , il nous ne reste plus qu'à déterminer l'expression de f '  x  pour x ≠ 0
Or sur ℝ* , f est le produit de deux fonctions dérivables (idem que pour la continuité sur ℝ* ) on peut donc calculer f '  x  pour x ≠ 0 .
u '  x=2 x
u  x= x2
f = uv où
1 donc v '  x  = − 1 cos 1 rappelons que  fog  ' = g ' × f ' og
v  x  = sin
x
x
x2
1
1
1
1
1
− x 2 2 cos
= 2 x sin
− cos
Il s'en suit que f '  x  =2 x sin
x
x
x
x
x
Remarque : L'expression de f '  x  n'est valable que sur ℝ* , on ne peut donc pas calculer f '  0  à l'aide de cette expression. Le calcul de
f ' 0  ne peut donc se faire qu'à partir du taux d'accroissement de f en 0.
{

{





Pour montrer que f ' est continue en 0 il faudrait prouver que lim f '  x  = f '  0  = 0
x 0
Or on peut voir que ce ne peut être le cas puisque, si lim 2 x sin
x 0
 1x = 0 il n'en est pas de même de lim cos  1x  qui n'existe pas.
Finalement lim f '  x  n'existe pas, f ' n'est donc pas continue en 0.
x 0
Représentation graphique de l'exercice 1
Représentation graphique de l'exercice 2
x 0
Ci dessous la représentation graphique de la dérivée de f.