Devoir-contrôle 1 2006

L.S.B.Amri
4 .SC. 01
Devoir de contrôle N°1
Mathématiques 2H
Sai Fethi
18 .11. 2006
Exercice 1 (6 points) :
1 + 2iz
pour tout z ≠ i .
z −i
1. a Calculer Z si z = 1+2i.
b) Calculer z si Z=1+i.
2. Déterminer l’ensemble E= M ( z ) / Z = 1} .
Soit Z =
{
3. On pose z=x+iy.
2x2 + 2 y2 − 3 y + 1
−x
pour tout x ≠ 0 et y ≠ 1
i
+
x 2 + ( y − 1) 2
x 2 + ( y − 1) 2
b) Déterminer l’ensemble F= {M ( z ) / Z ∈ } .
a) Montrer que Z =
c) Déterminer l’ensemble G= {M ( z ) / Z est un imaginaire pur} .
Exercice 2 (5 points) :
On considère les nombres complexes suivants :
z
z1 = − 2 − 2i , z2 = −1 + i 3 et Z = 1 .
z2
1) Déterminer la forme trigonométrique de : z1 , z2 et Z .
2) Déterminer la forme algébrique de Z.
7π
3) En déduire que tg
= −2 − 3 .
12
Exercice 3 (9 points) :
Soit la fonction f définie sur
⎧ f ( x) = − cos x − x si x ∈ ]−∞, 0[
⎪⎪
par ⎨ f ( x) = x 3 + x − 1 si x ∈ [ 0,1]
⎪
2
⎪⎩ f ( x) = x + 1 − x si x ∈ ]1, +∞[
1) a)Calculer lim f ( x) .
x →+∞
b) Montrer que pour tout x ∈ ]−∞, 0[ : f ( x) ≥ − x − 1 et en déduire lim f ( x).
x →−∞
2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
3) a) Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement les résultats.
b) f est –elle continue en 1 ?
4) Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α ∈ ]0,1[ .
5) a) Montrer que f est dérivable sur ]1, +∞[ et que ( f ) '( x) =
b) Montrer que ( f ) '( x) ≺ 0, ∀x ∈ ]1, +∞[
x − x2 + 1
x2 + 1
, ∀x ∈ ]1, +∞[ .
6) a) Montrer que f réalise une bijection de ]1, +∞[ sur un nintervalle I que l’on
déterminera.
b) Calculer f ( 2) puis ( f −1 ) '( 3 − 2) .
c) Expliciter ( f −1 )( x) pour tout x ∈ I .
d) Retrouver, alors, ( f −1 ) '( 3 − 2) .
Bon travail.