Recherche d`un rang d`une suite

algorithmique
[ Recherche d’un rang d’une suite \
Énoncé
ln(x)
.
x ³
→
− →
−´
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal O, ı ,  .
On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f (x) = x −
1. Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par g (x) = x 2 − 1 + ln(x).
Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.
g (x)
2.
a. Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[, f ′ (x) = 2 .
x
b. En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[.
c. Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe C .
d. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.
3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement M k et Nk les
points d’abscisse k de C et D.
a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance M k Nk
ln(k)
entre les points M k et Nk est donnée par M k Nk =
.
k
b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k 0 supérieur ou égal à 2 tel
que la distance M k Nk soit inférieure ou égale à 10−2 .
Amérique du Nord mai 2012
Probabilités
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Août 2012
algorithmique
Correction
1. Soit g la fonction définie sur [1 ; = ∞[] par g (x) = x 2 − 1 + ln(x).
g est dérivable sur [1 ; +∞[] comme somme de fonctions dérivables.
1
Pour tout x ∈ [1 ; +∞[, g ′ (x) = 2x + > 0 (somme de nombres positifs).
x
g est donc strictement croissante sur [1 ; +∞[.
or g (1) = 0, donc le minimum de g est 0, donc g (x) est positif pour tout x ∈ [1 ; +∞[.
2.
a. f est dérivable sur [1 ; +∞[ comme somme et quotient de fonctions dérivables
sur [1 ; +∞[.
Pour tout x ∈ [1 ; +∞[,
#
"1
x × x − ln(x)
′
f (x) = 1 −
x2
1 − ln(x)
x2
2
x − 1 + ln(x)
=
x2
g (x)
= 2
x
= 1−
3.
b. Comme x 2 > 0 sur [1 ; +∞[, f ′ (x) est du signe de g (x), donc positif sur [1 ; +∞[
avec f ′ (1) = 0.
ln(x)
.
c. Pour tout x ∈ [1 ; +∞[, f (x) − x = −
x
ln(x)
D’après la partie A, lim
= 0 donc lim [ f (x) − x] = 0.
x→+∞ x
x→+∞
La droite D d’équation y = x est donc asymptote à C au voisinage de +∞.
ln(x)
d. Pour tout x i n[1 ; +∞[, f (x) − x = −
< 0 car ln(x) > 0 et x > 0.
x
La courbe C est donc en dessous de son asymptote D (avec intersection en x = 1).
ln(k)
.
a. On a donc M k Nk = y Nk − y Mk =
k
b. L’algorithme est :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Probabilités
VARIABLES
k EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
k PREND_LA_VALEUR 2
TANT_QUE (log(k)/k>0.01) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
k PREND_LA_VALEUR k+1
FIN_TANT_QUE
AFFICHER k
FIN_ALGORITHME
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Août 2012