Asymptotes : Tangente : Position relative de deux courbes

FICHE
METHODE
Asymptotes :
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Quand lim f ( x ) = ∞ alors la droite d’équation x = a est asymptote à Cf.
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Quand lim f ( x ) = b alors la droite d’équation y = b est asymptote à Cf.
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Quand lim f ( x ) − ( ax + b) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à Cf.
x→a
x →∞
x →∞
Dérivabilité : Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en un point a de son ensemble de
f ( a + h) − f ( a )
quand h tend vers 0. Si cette limite est un nombre
h
réel, la fonction est dérivable en a, dans le cas contraire elle n’est pas dérivable en a.
Si la limite est infinie, la courbe de f admet une tangente verticale au point d’abscisse a.
définition, on étudie la limite de
Tangente :
Si f est dérivable en a alors la courbe de f admet une tangente au point d’abscisse a d’équation :
( f '( a ) est le coefficient directeur de la tangente).
y = f '( a )( x − a ) + f ( a ).
Remarque : deux droites non parallèles à l’axe (oy) sont parallèles lorsqu’elles ont même coefficient
directeur.
Position relative de deux courbes :
Pour étudier la position relative des courbes de f et de g , on étudie le signe de f ( x ) − g ( x ).
Quand f ( x ) − g ( x ) est positif, alors la courbe de f est au-dessus de la courbe de g .
Quand f ( x ) − g ( x ) est négatif, alors la courbe de f est sous de la courbe de g .
VARIATIONS D'UNE FONCTION:
On étudie le signe de la dérivée sur l'ensemble de définition en résolvant une inéquation.
EXTREMUM:
Si f ' s'annule en changeant de signe en a alors f admet un extremum en a qui est f(a).
x
-∞
a
+∞
x
-∞
f(x)
f(x)
Minimum en a
Maximum en a
a
+∞