3g3 C Triangle rectangle et trigonométrie Cosinus, sinus, tangente d

3g3 C
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Triangle rectangle et trigonométrie
Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu
1.1 Définitions
A connaître
Dans un triangle rectangle,
le cosinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la
longueur de l'hypoténuse.
le sinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la
longueur de l'hypoténuse.
la tangente d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la
longueur du côté adjacent à cet
angle.
1.2 Exemples
Exemple : Le triangle COR est rectangle en R.
Les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle ^
COR puis la formule donnant la tangente de l'angle
^
OCR sont :
hypoténuse
C
R
COR =
Cos ^
COR =
cos 
O
côté
adjacent
COR
à l'angle ^
côté A djacent à ^
COR
H ypoténuse
RO
CO
hypoténuse
C
O
côté
opposé
à^
COR
R
côté O pposé à ^
COR
^
Sin COR =
Hypoténuse
sin
^
COR
= RC
CO
C
O
côté
côté
adjacent
opposé
à^
OCR
R à l'angle ^
OCR
OCR =
Tan 
OCR =
tan 
Remarques :
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.
côté Opposé à 
OCR
côté A djacent à 
OCR
RO
RC
Moyen mnémotechnique
Si on désigne par :
•
C le cosinus d'un angle aigu ;
•
S le sinus d'un angle aigu ;
•
T la tangente d'un angle aigu ;
•
O la longueur du côté opposé ;
•
A la longueur du côté adjacent ;
•
H la longueur de l'hypoténuse ;
alors on peut écrire :
A
O
O
C=
;
S=
;
T=
H
H
A
On obtient alors un moyen mnémotechnique pour se rappeler facilement des trois définitions :
CAHSOHTOA*
* On peut prononcer « CASSE-TOI »
2
Relations trigonométriques
2.1 Relation entre cosinus, sinus et tangente
Soit ABC un triangle rectangle en A.
AB
AC
cos ^
sin ^
ABC =
ABC =
BC
BC
AC
BC
sin ^
ABC
=
AB
cos ^
ABC
BC
AC
BC
sin ^
ABC
=
×
BC
AB
cos ^
ABC
AC
sin ^
ABC
=
AB
cos ^
ABC
sin ^
ABC
^
= tan ABC
cos ^
ABC
2.2 Relation entre cosinus et sinus d'un angle aigu
Soit ABC un triangle rectangle en A.
AB
AC
ABC =
cos ^
sin ^
ABC =
BC
BC
( cos
2
2
^
ABC ) + ( sin ^
ABC )
2
2
( ) ( )
AB
=
BC
+
(
AC
BC
)
AB2 + AC2
BC 2
or d'après le théorème de Pythagore AB2 + AC2 = BC2
donc
2
2
( cos ^
ABC ) + ( sin ^
ABC ) =
2
BC
BC 2
( cos
2
2
^
ABC ) + ( sin ^
ABC ) =
( cos
2
2
^
ABC ) + ( sin ^
ABC ) = 1
A connaître
A :
Pour tout angle aigu ^
2
2
( cos ^A ) + ( sin A^ ) = 1
^
^ = sin A
et
tan A
^
cos A
^  sin2 A
^ = 1.
Remarque : La première formule peut aussi s'écrire cos2 A
tan ^
ABC =
AC
AB