EQUIVALENCES DERIVEES ET K-THEORIE d`apr`es - IMJ-PRG

EQUIVALENCES DERIVEES
ET
K-THEORIE
d’apr`es Thomason-Trobaugh
par
J. Dalpayrat-Glutron
M´emoire de D.E.A.
sous la direction de B. Keller
Universit´e Denis Diderot — Paris 7
Mai 1999

Introduction
Deux alg`ebres sur un corps sont ´equivalentes par d´erivation si leurs cat´egories d´eriv´ees de modules
sont ´equivalentes en tant que cat´egories triangul´ees ([10] [11]). Dans ce cas, elles partagent de nom-
breux invariants homologiques, tels que l’homologie et la cohomologie de Hochschild, les diff´erentes
homologies cycliques([4] [11] [5]). Il est connu que de telles alg`ebres partagent aussi leur K-th´eorie.
Pour des alg`ebres noeth´eriennes de dimension globale finie, ceci est un corollaire de la construc-
tion de A. Neeman d’une K-th´eorie pour les cat´egories triangul´ees ([6] [7] [8]). La construction de
A. Neeman occupe une centaine de pages. Par ailleurs, R. W. Thomason et T. Trobaugh donnent
le r´esultat mais dans le cas particulier o`u l’´equivalence est induite par un foncteur complicial ([12]
section 1.2.16). De nombreuses ´equivalences d´eriv´ees ne sont pas induites par des foncteurs compli-
ciaux; comme le produit tensoriel d´eriv´e par un complexe de bimodules non concentr´e en un seul
degr´e. Dans ce m´emoire, nous exposons la d´emonstration de Thomason-Trobaugh dans un cadre
l´eg`erement modifi´e et sans faire appel `a l’hypoth`ese de complicialit´e.
L’ingr´edient principal de la d´emonstration est le th´eor`eme d’approximation de Waldhausen;
en invoquant aussi le th´eor`eme d’additivit´e de Waldhausen, nous montrons que la K-th´eorie
sup´erieure est mˆeme pr´eserv´ee par ´equivalence K-th´eorique [5], comme l’homologie de Hochschild
et les homologies cycliques, et `a la diff´erence de la cohomologie de Hochschild.
Table des mati`eres
1 Equivalences d´eriv´ees et K-th´eorie 1
2 Cat´egories de complexes 2
2.1 Notations, rappels sur les cat´egories stables et triangul´ees . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Cadre (B0,B,N) ..................................... 4
2.3 R´eduction du th´eor`eme 2 au th´eor`eme 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3K-th´eorie de Waldhausen 5
3.1 Cat´egories de Waldhausen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 K-th´eorie de Waldhausen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Cas particulier: cadre (B0,B,N) ............................ 9
3.4 Th´eor`eme d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 Th´eor`eme d’additivit´e et ´equivalence K-th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5.1 Th´eor`eme d’additivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5.2 Invariance par ´equivalence K-th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Un corollaire du th´eor`eme 3 et d’un th´eor`eme de Beilinson 16
5 D´emonstration du th´eor`eme 3 18
1 Equivalences d´eriv´ees et K-th´eorie
Soit kun anneau commutatif, et Aet Bdeux k-alg`ebres. On suppose que Aet Bsont plates en
tant que k-modules. Notons DMod Ala cat´egorie d´eriv´ee de Mod A, la cat´egorie des A-modules
`a droite, Db(Mod A) la cat´egorie d´eriv´ee born´ee, et par Ala sous-cat´egorie pleine de DMod A
form´ee des complexes parfaits, i.e. (quasi-)isomorphes `a des complexes born´es dont les composantes
sont des A-modules projectifs de type fini.
D´efinition Les alg`ebres Aet Bsont ´equivalentes par d´erivation et on note Ader ∼B, s’il existe une
´equivalence de cat´egories triangul´ees DMod A→DMod B.
Th´eor`eme 1 (Rickard [10]) Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes
(i) Aet Bsont ´equivalentes par d´erivation.
1

(ii) Il existe un complexe de A-B-bimodules Xtel que le foncteur d´eriv´e total ?⊗L
AX:DMod A→
DMod Bsoit une ´equivalence de cat´egories.
(iii) Il existe une ´equivalence de cat´egories triangul´ees Db(Mod A)→Db(Mod B).
(iv) Il existe une ´equivalence de cat´egories triangul´ees par A→par B.
(v) Il existe un complexe Tde DMod Btel que
a) Le complexe Test dans par B,
b) On a Hom DMod B(T, T )∼
=Aet Hom DMod B(T, T [n]) = 0 pour tout n6= 0,
c) La sous-cat´egorie par Best la plus petite sous-cat´egorie triangul´ee strictement pleine de
DMod Bcontenant Tet stable par facteurs directs.
Test un complexe basculant et Xun complexe basculant bilat`ere.
Notons (Ki(A))i∈Nla K-th´eorie de A(selon Quillen [9]).
Th´eor`eme 2 Soit Aet Bdeux k-alg`ebres plates en tant que k-modules. Si Aet Bsont ´equivalentes
par d´erivation, alors leurs K-th´eories sont isomorphes :
K∗(A)∼
=K∗(B).
2 Cat´egories de complexes
2.1 Notations, rappels sur les cat´egories stables et triangul´ees
Soit Aune cat´egorie additive, C A la cat´egorie des complexes sur A,HA sa cat´egorie homotopique.
La cat´egorie CA munie des suites exactes courtes scind´ees en chaque degr´e est exacte au sens de
Quillen. Une conflation est une suite exacte pour cette structure, le mono scind´e en chaque degr´e
y apparaissant est une inflation, l’´epi scind´e en chaque degr´e est une d´eflation; on les notera 
(resp. ). Soit f:X→Yun morphisme de CA.Le foncteur cˆone est d´efini de la cat´egorie des
morphismes de CA dans la cat´egorie CA : le complexe C(f) est d´efini par :
C·(f) = Y·⊕X·+1,
o`u la diff´erentielle est
dn
C(f)=dYfn+1
0−dX,
et si un morphisme de CA est repr´esent´e par le diagramme commutatif
Xf →Y
a↓ ↓ b
X0f0 →Y0,
le cˆone de ce diagramme est le morphisme
C(f)
↓
C(f0)
de composante b⊕a[1]. Posons IX =C(1X). Cela d´efinit un foncteur de CA dans CA. Pour un
complexe A, notons SA =A[1] le complexe tel que A[1]n=An+1 et dA[1] =−dA, et notons Ω et
Ples foncteurs de CA dans CA tels que Ω A=S−1Aet P A =IS−1A'S−1IA. On dispose alors
de deux conflations
AiA IApA SA , o`u iA=1
det pA= [−d1].
2

et
ΩAjA P AqA Ao`u jA=iS−1Aet qA=pS−1A.
Le cˆone C(f) est l’objet unique `a isomorphisme pr`es rendant cocart´esien le diagramme
XiA →IX
f↓ ↓
Y→C(f)
.
L’objet IA est injectif, c’est-`a-dire poss`ede la propri´et´e d’extension par rapport aux inflations. On
a les propri´et´es ´equivalentes suivantes:
•Aest injectif
•Aest projectif
•AIASA se scinde
•Aest contractile
Donc la cat´egorie CA a assez d’injectifs et les injectifs co¨ıncident avec les projectifs, c’est-`a-dire CA
est de Frobenius. Soit Aet Cdeux complexes. Une extension de Cpar Aest un objet Bapparaissant
dans une conflation ABC. Un foncteur exact est un foncteur entre cat´egories exactes
pr´eservant les conflations. Une sous-cat´egorie exacte Bd’une cat´egorie exacte Aest pleinement
exacte si les conflations de Bsont exactement les conflations de Adont les objets sont dans B.
La cat´egorie stable Ad’une cat´egorie Ade Frobenius a pour objets les objets de A, et pour
morphismes les classes d’´equivalence de morphismes de Amodulo les morphismes se factorisant
par un injectif.
Dans la cat´egorie A, un pr´etriangle est un diagramme de la forme A→B→C→SA, un
morphisme de pr´etriangles est un diagramme commutatif
A→B→C→SA
↓a↓ ↓ ↓ Sa
A0→B0→C0→SA0.
Un morphisme de pr´etriangles est un isomorphisme si les quatre fl`eches verticales du diagramme
pr´ec´edent sont des isomorphismes. Appelons triangle standard de Aun pr´etriangle de la forme
Ai →Bp →Ce →SA, o´u i, p, e sont les images dans Ades morphismes provenant du diagramme
dans A:
Ai Bp C
k ↓ ↓ e
AiA IA pA SA.
Appelons triangle un pr´etriangle isomorphe `a un triangle standard. Munie de ces triangles, Aporte
une structure triangul´ee dont la suspension est le foncteur {A7→ SA}. La cat´egorie homotopique
HA := CA porte donc par exemple une structure triangul´ee, qui co¨ıncide avec la structure tri-
angul´ee standard. Un foncteur entre deux cat´egories triangul´ees Fet Gest triangul´e si c’est un
foncteur additif muni d’un morphisme de foncteurs ϕ:F·S→S·Ftel que
F X F u →F Y F v →F Z ϕX·F w −−−−−→ SF X
soit un triangle pour tout triangle Xu →Yv →Zw →SX de F.
Si Aet Bsont des cat´egories de Frobenius, tout foncteur exact F:A→Bpr´eservant
l’injectivit´e induit un foncteur triangul´e entre les cat´egories stables associ´ees.
3

2.2 Cadre (B0,B,N)
Un D-triplet consiste en
•une petite cat´egorie additive B0
•une sous-cat´egorie pleine Bde C B0, stable par extensions (scind´ees en chaque degr´e) et
translations
•une sous-cat´egorie pleine Nde B, stable par extensions (scind´ees en chaque degr´e) et trans-
lations.
Soit (B0,B,N) un D-triplet: Best une sous-cat´egorie pleinement exacte de C B0, et Nune sous-
cat´egorie pleinement exacte de B. Alors Best une sous-cat´egorie triangul´ee de HB0, et Nune
sous-cat´egorie triangul´ee de B. Soient (A0,A,M) et (B0,B,N) deux D-triplets. Soit F:A→B
un foncteur additif. Alors on a ´equivalence entre:
•Fadmet un isomorphisme de foncteurs F·C'C·F, o`u Cest le foncteur cˆone d´efini au 2.1
•Fest exact et admet un isomorphisme de foncteurs F·I'I·F.
En outre, si Fest exact, alors tout isomorphisme F·I'I·Fs’´etend en un unique isomorphisme
F·C'C·F. On appelle D-foncteur un foncteur exact F:A→Bmuni d’un isomorphisme de
foncteurs F·C'C·Fet tel que FM⊆N. Notons qu’un D-foncteur pr´eserve les injectifs.
Pour tout D-triplet (B0,B,N), notons ΣNl’ensemble des morphismes sde Bapparaissant
dans un triangle Xs →Y→N→SX o`u Nest dans N. Puisque Nest une sous-cat´egorie triangul´ee
de B, l’ensemble ΣNadmet [13] un calcul des fractions `a gauche et `a droite, et la cat´egorie localis´ee
BhΣ−1
Nimunie du foncteur induit par Set des triangles isomorphes `a des images de triangles de B
par le foncteur localisation, porte une unique structure triangul´ee telle que le foncteur localisation
can commute `a la translation et que (can,1) soit un foncteur triangul´e. On appelle BhΣ−1
Nila
cat´egorie triangul´ee associ´ee au D-triplet (B0,B,N) et on la note T(B0,B,N) ou TB.
Si Fest un D-foncteur entre (A0,A,M) et (B0,B,N), alors F(M)⊆N, puis F(M)⊆N
puisque Fpr´eserve les injectifs. Alors F(ΣM)⊆ΣN; puisque Finduit un foncteur triangul´e
A→B, il s’ensuit que Finduit un foncteur triangul´e entre les cat´egories localis´ees: T(A0,A,M)→
T(B0,B,N).
La K-th´eorie de Waldhausen permettra de d´efinir (3.2) la K-th´eorie d’un triplet (B0,B,N),
que l’on notera K∗(B0,B,N) ou K∗B.
Th´eor`eme 3 Soit Fun D-foncteur du triplet (A0,A,M)dans le triplet (B0,B,N). Si Finduit
une ´equivalence des cat´egories triangul´ees associ´ees
TA ∼ →TB,
alors Finduit un isomorphisme en K-th´eorie:
K∗A∼ →K∗B.
2.3 R´eduction du th´eor`eme 2 au th´eor`eme 3
Pour un anneau A, on note strparc Ala sous-cat´egorie pleine des complexes strictement parfaits de
CMod Ac’est-`a-dire des complexes born´es de modules (`a droite) projectifs de type fini, et parc A
sa fermeture par quasi-isomorphismes, i.e. la sous-cat´egorie pleine de CMod Adont l’image dans
DMod Aest par A(section 1). Soient Aet Bdeux k-alg`ebres, plates en tant que k-modules.
Supposons-les ´equivalentes par d´erivation. Soit Xun complexe basculant bilat`ere donn´e par le
th´eor`eme de Rickard (section 1). Le foncteur d´eriv´e ? ⊗L
AXde par Adans par Best une
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