Une histoire de cordes et de diagonales, J.

30 J.-C. THOMAS
Une histoire de cordes et de diagonales
Jean-Claude Thomas1
Dans ces notes nous expliquons comment les applications diagonales relev´ees `a
l’espace des cordes permettent de d´efinir toutes les op´erations qui constituent la
topologie des cordes. Les premi`eres op´erations ont ´et´e introduites par M. Chas et
D. Sullivan, de mani`ere ´el´ementaire, en 1999. Depuis cette date la topologie des
cordes a connu un d´eveloppement rapide et ceci en interaction avec diff´erents do-
maines des math´ematiques qui seront ´evoqu´es dans le dernier chapitre. Bien que la
d´efinition de toutes les op´erations soit un sujet ardu nous avons essay´e d’en fournir
une pr´esentation la plus simple possible. Ceci est r´ealisable grˆace `a la notion d’ap-
plication de Gysin d’une application continue, [17], qui met en ´evidence le caract`ere
topologique de ces op´erations et permet surtout une pr´esentation commune du cas
diff´erentiable et du cas des espaces classifiants. La topologie des cordes peut ˆetre
vue comme une partie de la Th´eorie Topologique des Cordes2introduite par Witten
dans l’´etude de la th´eorie (physique) des cordes. (La th´eorie topologique des cordes
est intimement reli´ee `a diff´erents domaines des math´ematiques tels que, la th´eorie
de Chern-Simons, les invariants de Gromov-Witten, la sym´etrie miroir,... ) Ce texte
peut ˆetre lu «en diagonale »et sans aucun pr´e-requis en physique.
1. Retour sur l’application diagonale.
Diagonale et cup produit. Ici les termes «homologie »et «cohomologie »si-
gnifient homologie singuli`ere et cohomologie singuli`ere `a coefficients dans un corps
lk fix´e3. Pour tout espace4Xl’application diagonale
∆ : X→X×X,x7→ (x,x)
induit un produit en cohomologie, appel´e le cup produit
H∗(X)⊗H∗(X)H∗(∆) H∗(X),a⊗b7→ a∪b
Ce produit est associatif, commutatif au sens gradu´e (i.e. a∪b= (−1)ij b∪asi
a∈Hi(X),b∈Hj(X)) et admet une unit´e. Ces propri´et´es se r´esument en ´ecrivant
que H∗(X)est une lk-alg`ebre gradu´ee commutative. Lorsque Xest connexe par
arcs H0(X)est canoniquement isomorphe `a lk. L’unit´e du cup produit 1 ∈H0(X)
correspond `a l’unit´e 1 ∈lk dans cet isomorphisme. Pr´ecisons que si Xest une
vari´et´e diff´erentiable et si lk =Ralors l’alg`ebre gradu´ee H∗(X)co¨ıncide avec la
cohomologie de de Rham de la vari´et´e munie du produit induit par celui des formes
diff´erentielles.
1Universit´e d’Angers-CNRS UMR6093.
2Topologique signifie que la th´eorie ne d´epend pas d’une structure g´eom´etrique additionnelle :
diff´erentiabilit´e, structure complexe, m´etrique, connexion, gerbe,... ). Elle ne constitue qu’une
premi`ere approximation de la th´eorie correspondante des physiciens, [34].
3Cette hypoth`ese simplificatrice nous permettra d’identifier la cohomogie avec le dual de
l’homologie.
4Nous supposons toujours que lk et Xv´erifient dim Hi(X)<∞pour tout i>0. Ceci nous
permet d’identifier l’homologie d’un produit avec le produit tensoriel des homologies.
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Dualit´e de Poincar´e. [7, Chap.VI-§6] Un lk-espace `a dualit´e de Poincar´e de di-
mension d est un espace 1-connexe Xtel qu’il existe, pour chaque i>0, un
isomorphisme
DX:Hi(X)→Hd−i(X)
appel´e dualit´e de Poincar´e. La classe d’homologie [X]∈Hd(X)telle que DX([X]) =
1 est appel´ee une classe d’orientation de X.
Par exemple une vari´et´e diff´erentiable de dimension d, 1-connexe, compacte,
sans bord et orient´ee est un lk-espace `a dualit´e de Poincar´e de dimension d et ceci
pour tout corps lk.
Soit f:X→X′une application entre deux lk-espaces `a dualit´e de Poincar´e de
dimensions respectives d,d′. Les diagrammes commutatifs
Hi(X′)
∼
=
D−1
X′
H∗(f)Hi(X)
∼
=D−1
X
Hd′−i(X′)f!Hd−i(X)
Hi(X)
∼
=
DX
H∗(f)Hi(X′)
∼
=DX′
Hd−i(X)f!
Hd′−i(X′)
d´efinissent l’application de Gysin en homologie f!et en cohomologie f!de l’applica-
tion f. Si nous d´esignons par ( )#la dualit´e lin´eaire degr´e par degr´e nous obtenons
la relation
(f!)#=f!.
Dans la section §3 nous ´etendrons la notion de lk-espace `a dualit´e de Poincar´e
et celle d’application de Gysin.
Diagonale et produit d’intersection. Soit Xun lk-espace `a dualit´e de Poincar´e
de dimension d. Notons H∗(X)l’homologie d´e-suspendue d´efinie par : Hi(X) :=
Hd+i(X). Lorsque f= ∆ : X→X×X=X′d´esigne la diagonale, les applications
Hi(X)⊗Hj(X)∆!Hi+j−d(X),a⊗b7→ a•b:= DXD−1
X(a)∪D−1 X(b)
d´efinissent un produit
H∗(X)⊗H∗(X)→H∗(X),a⊗b7→ a•b.
appel´e le produit d’intersection. Il r´esulte des propri´et´es du cup produit que H∗(X)
est une alg`ebre gradu´ee commutative.
Il est important de pr´eciser ici que, contrairement au cup produit, le produit
d’intersection ne provient pas d’un produit d´efini globalement sur les chaˆınes sin-
guli`eres. Il a ´et´e d´efini par Lefchetz, bien avant le cup produit, `a l’aide des chaˆınes
simpliciales transverses. L’exemple suivant illustre cette construction.
Exemple 1. Les sous-vari´et´es Cet Tci-dessous, une fois triangul´ees, repr´esentent
deux chaˆınes simpliciales transverses d’une vari´et´e Xde dimension 3.
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Fixons les classes d’orientation [C]∈H1(C)∼
=Zet [T]∈H2(T)∼ =Zet
consid´erons les inclusions
CiCX T
iT
Posons a=H1(iC)([C]) ∈H1(X)et a′=H2(iT)([T]) ∈H2(X)alors a•a′∈H0(X)
est la classe repr´esent´ee par la sous-vari´et´e canoniquement orient´ee r´eduite `a deux
points C∩T.
2. Premiers pas en topologie des cordes.
L’espace des cordes. Soient Xun espace topologique et X0,X1deux sous-espaces
de X. Une corde entre X0et X1est une application continue γ: [0,1]→Xtelle
que γ(0)∈X0et γ(1)∈X1. Nous nous limiterons ici au cas des cordes ferm´ees
sur X(Cf [36] pour un cadre plus g´en´eral). Une corde, appel´ee aussi un lacet libre,
est une application continue de S1={z∈C,|z|=1}munie de l’orientation
canonique dans un espace topologique X. Si X=R3(ou la sph`ere S3) une corde
est g´en´eriquement un nœud orient´e.
L’espace des cordes, not´e usuellement LX , est muni d’une topologie telle que
l’application d’´evaluation
ev :LX →X, γ 7→ γ(1)
qui associe au lacet libre γson origine γ(1), soit continue (c’est mˆeme une
fibration). Elle admet la section canonique s :X→LX qui, `a un point de X,
associe le lacet constant en ce point.
Le produit de Chas-Sullivan. Soit Xune vari´et´e diff´erentiable de dimension d,
1-connexe, compacte, sans bord et orient´ee. Posons H∗(LX ) = H∗+d(LX ). M.
Chas et D. Sullivan [9] ont construit5un produit
H∗(LX )⊗H∗(LX )→H∗(LX ),a⊗b7→ a⊙b,
appel´e maintenant produit de Chas-Sullivan, tel que :
a) H∗(LX )est une alg`ebre gradu´ee commutative dont l’unit´e est H∗(s)([X]) ∈
H0(LX ).
5Sous des hypoth`eses plus g´en´erales.
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b) le diagramme suivant est commutatif,
Hi(LX )⊗Hj(LX )
H∗(ev)⊗H∗(ev)
⊙Hd−i−j(LX )
H∗(ev).
Hi(X)⊗Hj(X)•Hd−i−j(X)
Le point b) signifie que H∗(ev )est un homomorphisme d’alg`ebres gradu´ees et
aussi que le produit de Chas-Sullivan «rel`eve le produit d’intersection au niveau
des cordes »6. Ce produit a ´et´e d´efini `a l’aide de chaˆınes simpliciales transverses
sur LX . (Cf. [29] pour une d´efinition pr´ecise.) Une chaˆıne simpliciale de LX est
une famille de lacets libres de Xdont les origines sont situ´ees sur une chaˆıne
simpliciale de X. Le produit de Chas-Sullivan est obtenu en m´elangeant le produit
d’intersection de deux chaˆınes simpliciales de Xavec la composition des lacets.
Illustrons cette construction en continuant l’exemple 1 ci-dessus.
Exemple 2. La classe α∈H1(LX )(resp. α′∈H2(LX )) au-dessus de a∈H1(X)
(resp. au dessus de a′∈H2(X)) est repr´esent´ee par la sous-vari´et´e C(resp. T)
d´ecor´ee en chaque point par un lacet libre de Xdont l’origine est situ´ee sur C
(resp. T). Le produit de Chas-Sullivan α⊙α′∈H0(LX )est la classe repr´esent´ee
par les deux lacets γ1∗γ′
1et γ2∗γ′ 2lorsque ∗d´esigne la composition de deux lacets
ayant mˆeme origine.
Comparaison avec l’alg`ebre de Pontryagin. Revenons `a l’espace des cordes LX
d’un espace quelconque et fixons un point x0∈X. Le sous-espace Ω(X,x0) :=
ev−1({x0})est appel´e l’espace des lacets de X en x0. Cet objet joue un rˆole
fondamental en th´eorie de l’homotopie. En particulier, la composition des lacets,
Comp : Ω(X,x0)×Ω(X,x0)→Ω(X,x0),(γ, γ′)7→ γ∗γ′,
induit un produit appel´e produit de Pontryagin, not´e a⊗b7→ a·b,
H∗(Ω(X,x0)) ⊗H∗(Ω(X,x0)) H∗(Comp )H∗(Ω(X,x0)) ,
qui d´efinit sur H∗(ΩX)une structure d’alg`ebre gradu´ee non commutative. L’unit´e
de cette alg`ebre est la classe du lacet constant en x0.
Supposons maintenant que Xest une vari´et´e diff´erentiable de dimension d, 1-
connexe, compacte, sans bord et orient´ee. M. Chas et D. Sulivan, [9], ont construit
6C’est la d´emarche des physiciens lorsqu’ils consid`erent une particule non pas comme un point
mais comme une corde oscillante d’un certain espace-temps de dimension 611.
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un homomorphisme d’alg`ebres gradu´ees, comme «a transversal intersection with
a fiber of ev »,
I:H∗(LX )→H∗(Ω(X,x0)) .
L’image de I, [18, Theorem 7], [17, Theorem 8], est contenue dans le centre7de
l’alg`ebre de Pontryagin H∗(ΩX,x0). L’homomorphisme Iadmet une d´efinition en
termes d’alg`ebre homologique classique, [19, §9]. Dans la section suivante nous
donnerons un sens `a la phrase «Iest en une application de Gysin de l’inclusion »
jX: Ω(X,x0)→LX ”.
3. Promenade en topologie des cordes.
Application de Gysin d’une application continue. ´ Etant donn´e une application
continue f:X→Yentre deux espaces 1-connexes, sous certaines hypoth`eses, il
est possible de d´efinir `a l’aide des techniques de l’homotopie alg´ebrique8(et non
plus seulement `a l’aide de celles de l’homologie alg´ebrique), [17], une application
de Gysin (admettant un certain de degr´e d∈Z),
f!:H∗(X)→H∗+d(Y)
qui v´erifie :
a) f!est H∗(Y)-lin´eaire (H∗(X)est un H∗(Y)-module via H∗(f) : H∗(Y)→
H∗(X)).
b) Deux morphismes de Gysin de fdiff`erent d’une constante multiplicative.
c) Si fet gsont homotopes alors f!=g!.
En particulier, il r´esulte de b) :
Fait 1. Si f :X→X′est une application entre deux lk-espaces `a dualit´e de
Poincar´e de dimensions respectives d, d′alors l’application de Gysin de degr´e
d′−d co¨ıncide, apr`es normalisation, avec celle d´efinie dans la section 1.
Le r´esultat suivant ´etablit l’existence d’une application de Gysin pour le produit
des diagonales sur une large classe d’espaces, appel´es lk-espaces de Gorenstein.
Ces espaces ont ´et´e introduits dans [14]. Il s’agit d’une g´en´eralisation de la no-
tion classique d’anneaux de Gorenstein aux alg`ebres diff´erentielles gradu´ees sur un
corps lk. Il nous suffit ici de savoir qu’un lk-espace de Gorenstein admet une di-
mension d ∈Zet que :
a) si Xest un lk-espace `a dualit´e de Poincar´e de dimension nalors Xest un lk-
espace de Gorenstein de dimension d=n,
b) l’espace classifiant d’un groupe de Lie connexe Gde dimension mest un lk-
espace de Gorenstein de dimension d=−mpour tout corps lk.
c) Plus g´en´eralement, si Gop`ere sur X, le quotient homotopique EG ×GXest un
lk-espace de Gorenstein de dimension d=n−mpour tout corps lk.
d) Un lk-espace de Gorenstein est, par d´efinition, suppos´e 1-connexe.
7C’est le sous-espace des ´el´ements qui commutent avec tous les autres. Cet espace ´etant «tr`es
petit », [18], il est sans espoir d’utiliser Iafin de contrˆoler la croissance des nombres de Betti de
H∗(LX )(Cf. probl`eme des g´eod´esiques ferm´ees).
8La d´efinition d’une application de Gysin et celle d’espace de Gorenstein reposent sur la notion
de «Ext diff´erentiel »qui est un «Hom »dans la cat´egorie d´eriv´ee des alg`ebres diff´erentielles
gradu´ees. Ces applications sont d´efinies au niveau des cochaˆınes singuli`eres (et non simplement
en cohomologie). Par suite, la th´eorie des DG-mod`eles des espaces permet des calculs explicites.
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