Cours de logique : Rappels sur les corps. Pour votre curiosité, ne

Cours de logique : Rappels sur les corps. Pour votre curiosit´e, ne sera pas suppos´e connu.
Un corps est un anneau commutatif (unitaire) dans lequel tout ´el´ement non nul est inversible.
Exemples : Q,R,C, mais aussi Fp(voir d´efinition ci-dessous) et Fq.
Un corps est en particulier un anneau int`egre : si aet bsont non nuls, alors aussi leur produit
ab.
Si Kest un corps, on appelle sous-corps premier de Kle sous-corps engendr´e par 1. C’est donc
le corps de fractions du sous-anneau engendr´e par 1, et celui-ci est ou bien Z, ou bien Z/pZ,
avec pun nombre premier, et dans ce cas, Z/pZest un corps, ayant p´el´ements, et qu’on note
Fp. Le sous-corps premier d’un corps Ksera donc ou bien Q(et dans ce cas on dira que Kest
de caract´eristique 0), ou bien Fp(et dans ce cas on dira que Kest de caract´eristique p).
Une extension alg´ebrique de Kest un corps Lcontenant Ktel que si α∈K, alors il existe
un polynˆome non nul P(X)∈K[X] tel que P(α) = 0, et comme nous sommes dans un corps
on peut supposer que ce polynˆome est unitaire, c’est-`a-dire que le co¨efficient du terme de plus
haut degr´e est 1. On peut aussi prendre ce polynˆome irr´eductible (car F(α)G(α) = 0 entraine
F(α) = 0 ou G(α) = 0) ou de fa¸con ´equivalente, de deg´re minimal ; il sera alors appel´e le
polynˆome minimal de αsur K. Le degr´e du polynˆome minimal de αest aussi appel´e le degr´e
de αsur K, et not´e [K(α) : K]. On observe plusieurs choses :
Si le degr´e de Pest n, alors {1, α, . . . , αn−1}forment une base du K-espace vectoriel K[α] (=
sous-anneau de Lengendr´e par αsur K) : si
P(X) = Xn+
n−1
X
i=0
biXi,
alors
αn=−
n−1
X
i=0
biαi.
Cela montre que l’espace vectoriel K+αK +· · · +αn−1Kest clos par multiplication par α;
que les αisont lin´eairement ind´ependants suit de la minimalit´e du degr´e de P.
Nous allons montrer que K[α] est un corps. En effet, si 0 6=c∈K[α], alors la multiplication
par cinduit un automorphisme du K-espace vectoriel K[α] (K-lin´eaire, injectif, donc surjectif
puisque K[α] est de dimension finie), et a donc un inverse, dont la matrice correspondra `a la
multiplication par . . . c−1.
Cela entraine aussi qu’on a
K[α]'K[X]/(P(X)),
par un K-isomorphisme qui envoie αsur X+ (P(X)). Ici (P(X)) est l’ensemble des multiples
de P(X) dans l’anneau de polynˆomes K[X]. Comme P(X) est irr´eductible, (P(X)) est un
id´eal maximal, et le quotient est donc un corps — autrement dit, K[α] est le sous-corps de L
engendr´e par αsur K.
Notez aussi que si Lest un corps contenant K,Q(X)∈K[X] un polynˆome non nul, alors L
contient au plus deg(Q) solutions (ou racines) de Q(X) = 0. Et enfin que si βest alg´ebrique
1

sur K(α), alors βest aussi alg´ebrique sur K: le K-espace vectoriel K[β] est de dimension finie,
de dimension [K(α, β) : K(α)][K(α) : K].
Soit pun nombre premier fix´e, Kun corps alg´ebriquement clos contenant Fp. Si on prend le
sous-ensemble de Kconsistant des ´el´ements alg´ebriques sur Fp, alors ils forment un sous-corps,
appel´e la clˆoture alg´ebrique de Fp(dans K), et que je note ¯ Fp. Alors tout ´el´ement de ¯ Fpest
contenu dans un sous-corps de ¯ Fpqui est un Fp-espace vectoriel de dimension finie, et qui est
donc fini, de cardinalit´e une puissance de p. On peut montrer qu’un tel corps est d´etermin´e
uniquement par sa cardinalit´e : si q=pf, alors il existe un seul corps (`a isomorphisme pr`es)
dont les ´el´ements sont les racines de Xq−X= 0. Ce corps est not´e Fq.
J’admettrai aussi le r´esultat suivant : Cest alg´ebriquement clos, c’est-`a-dire : si P(X)∈C[X]
est unitaire, alors il existe a∈Ctel que P(a) = 0.
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