Cours de logique : Rappels sur les corps. Pour votre curiosité, ne

Cours de logique : Rappels sur les corps. Pour votre curiosité, ne sera pas supposé connu.
Un corps est un anneau commutatif (unitaire) dans lequel tout élément non nul est inversible.
Exemples : Q, R, C, mais aussi Fp (voir définition ci-dessous) et Fq .
Un corps est en particulier un anneau intègre : si a et b sont non nuls, alors aussi leur produit
ab.
Si K est un corps, on appelle sous-corps premier de K le sous-corps engendré par 1. C’est donc
le corps de fractions du sous-anneau engendré par 1, et celui-ci est ou bien Z, ou bien Z/pZ,
avec p un nombre premier, et dans ce cas, Z/pZ est un corps, ayant p éléments, et qu’on note
Fp . Le sous-corps premier d’un corps K sera donc ou bien Q (et dans ce cas on dira que K est
de caractéristique 0), ou bien Fp (et dans ce cas on dira que K est de caractéristique p).
Une extension algébrique de K est un corps L contenant K tel que si α ∈ K, alors il existe
un polynôme non nul P (X) ∈ K[X] tel que P (α) = 0, et comme nous sommes dans un corps
on peut supposer que ce polynôme est unitaire, c’est-à-dire que le coëfficient du terme de plus
haut degré est 1. On peut aussi prendre ce polynôme irréductible (car F (α)G(α) = 0 entraine
F (α) = 0 ou G(α) = 0) ou de façon équivalente, de degŕe minimal ; il sera alors appelé le
polynôme minimal de α sur K. Le degré du polynôme minimal de α est aussi appelé le degré
de α sur K, et noté [K(α) : K]. On observe plusieurs choses :
Si le degré de P est n, alors {1, α, . . . , αn−1 } forment une base du K-espace vectoriel K[α] (=
sous-anneau de L engendré par α sur K) : si
n
P (X) = X +
n−1
X
bi X i ,
i=0
alors
αn = −
n−1
X
bi α i .
i=0
Cela montre que l’espace vectoriel K + αK + · · · + αn−1 K est clos par multiplication par α ;
que les αi sont linéairement indépendants suit de la minimalité du degré de P .
Nous allons montrer que K[α] est un corps. En effet, si 0 6= c ∈ K[α], alors la multiplication
par c induit un automorphisme du K-espace vectoriel K[α] (K-linéaire, injectif, donc surjectif
puisque K[α] est de dimension finie), et a donc un inverse, dont la matrice correspondra à la
multiplication par . . . c−1 .
Cela entraine aussi qu’on a
K[α] ' K[X]/(P (X)),
par un K-isomorphisme qui envoie α sur X + (P (X)). Ici (P (X)) est l’ensemble des multiples
de P (X) dans l’anneau de polynômes K[X]. Comme P (X) est irréductible, (P (X)) est un
idéal maximal, et le quotient est donc un corps — autrement dit, K[α] est le sous-corps de L
engendré par α sur K.
Notez aussi que si L est un corps contenant K, Q(X) ∈ K[X] un polynôme non nul, alors L
contient au plus deg(Q) solutions (ou racines) de Q(X) = 0. Et enfin que si β est algébrique
1
sur K(α), alors β est aussi algébrique sur K : le K-espace vectoriel K[β] est de dimension finie,
de dimension [K(α, β) : K(α)][K(α) : K].
Soit p un nombre premier fixé, K un corps algébriquement clos contenant Fp . Si on prend le
sous-ensemble de K consistant des éléments algébriques sur Fp , alors ils forment un sous-corps,
appelé la clôture algébrique de Fp (dans K), et que je note F̄p . Alors tout élément de F̄p est
contenu dans un sous-corps de F̄p qui est un Fp -espace vectoriel de dimension finie, et qui est
donc fini, de cardinalité une puissance de p. On peut montrer qu’un tel corps est déterminé
uniquement par sa cardinalité : si q = pf , alors il existe un seul corps (à isomorphisme près)
dont les éléments sont les racines de X q − X = 0. Ce corps est noté Fq .
J’admettrai aussi le résultat suivant : C est algébriquement clos, c’est-à-dire : si P (X) ∈ C[X]
est unitaire, alors il existe a ∈ C tel que P (a) = 0.
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