Équations différentielles

Équations différentielles
ISA BTP, 2◦ année
20 novembre 2011
Table des matières
Introduction
2
1 Équations différentielles linéaires
1.1 Équations différentielles linéaires à coefficients constants
1.1.1 Équations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Le cas non homogène . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Conditions initiales et solution unique . . . . . . .
1.2 Équations linéaires à coefficients non constants (ordre 1)
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3
5
5
7
9
9
(ordre 1)
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
13
13
3 Étude qualitative d’une équation différentielle
3.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Classification des points fixes (en dimension 1) . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
16
4 Systèmes différentiels
16
2 Équations différentielles non linéaires
2.1 Équations séparables . . . . . . . . .
2.2 Changement de variable . . . . . . .
2.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . .
1
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Introduction
Les équations différentielles sont l’outil principal permettant de modeliser le mouvement. En effet, une équation différentielle est une équation liant une fonction et ses dérivées. Or les lois de la physique sur le mouvement donnent l’accélération (i.e. la dérivée
seconde de la position) d’un objet, d’une particule,... en fonction des forces qui agissent
dessus. Ces forces sont souvent fonctions de la vitesse de l’objet (forces de frottement)
et/ou de sa position (tension d’un ressort, champs magnétique, répartition de charges,...).
Si l’on parvient à résoudre de façon exacte les équations ainsi obtenues, on peut connaître
à chaque instant la position de l’objet que l’on étudie.
Note : si l’étude porte sur un objet de l’espace, les xi sont ses coordonnées (cartésiennes, polaires, sphériques,...) mais on peut de même modéliser tout système évolutif
dont les différents états peuvent être donnés par des variables quantifiables.
Un exemple célèbre est l’équation balistique qui régit la chute d’un corps soumis à la
gravité :
® 00
x (t) = 0
y 00 (t) = −g
Si l’on connaît la position et la vitesse de départ, on peut tirer de cette équation une fonction donnant la position du corps à chaque instant. (On obtient une paramétrisation de la
trajectoire).
On peut améliorer un peu le modèle en tenant compte du frottement de l’air sur l’obus.
Il parraît pour cela raisonnable de considérer que le frottement est proportionnel à la
vitesse, et agit contre le mouvement (et qui est donc colinéaire au vecteur vitesse).
On obtient alors un système d’équations de la forme
®
x00 = −f x0
y 00 = −g − f y 0
Ce système est un peu moins immédiates à résoudre que le système précédent. Mais on
sait faire.
On peut de la même façon modéliser le mouvement d’un pendule, l’évolution d’une
population, la déformation d’une poutre, d’un mur, le mouvement des vagues, l’évolution
d’une réaction chimique...
L’objet de ce cours est de présenter différentes méthodes de résolutions.
Notons qu’il existe en réalité très peu d’équations différentielles que l’on sait résoudre de
façon exactes. Elles sont en général issues de modèles simples, qui donnent une première idée
du comportement de l’objet étudié. Ces équations sont donc triées en différentes classes.
Chaque méthode étudier ne s’appliquera qu’à certains type d’équations.
2
On verra par la suite que l’on peut s’inspirer de ces méthodes pour résoudre des problèmes plus complexes, portant notamment sur des fonctions de plusieurs variables. Les
fonctions de plusieurs variables, et les équations différentielles associées (appelées Equations aux Dérivées Partielles ou EDP) sont au coeur de tous les modèles théoriques tentant
d’expliquer le monde qui nous entoure.
1
Équations différentielles linéaires
On appelle équation différentielle une équation dont l’inconnue est une fonction Φ et
qui relie y à ses dérivées, i.e. une équation du type
Φ(y (n) , y (n−1) , . . . , y 0 , y) = f (t).
Ici, f est une fonction donnée (appelée second membre) et la plus grande dérivée présente
dans l’équation (ici, n) est l’ordre de l’équation liéaire.
Une équation différentielle est dite linéaire si la fonction Φ associée est linéaire. Autrement dit, une équation différentielle linéaire d’ordre n est une équation de la forme
(E) : an (t)y (n) + an−1 (t)y (n−1) + . . . + a1 (t)y 0 + a0 (t)y = f (t)
où les ai sont appelés coefficients de l’équation et sont des fonctions de t. L’adjectif linéaire
porte donc sur l’inconnue y de l’équation.
Dans le cas où f (t) est nul, on dit que l’équation est homogènes :
(H) : an (t)y (n) + an−1 (t)y (n−1) + . . . + a1 (t)y 0 + a0 (t)y = 0
Les équations homogènes jouent un rôle fondamental dans la résolution des équations différentielles linéaires, principalement parce qu’elles vérifient le principe de superpostion : si
deux fonctions f et g sont des solutions de (H), la fonction f + g est encore une solution
de (H).
L’algèbre linéaire (et le principe de superposition) nous assurent que toutes les solutions
d’une équation différentielle linéaire peuvent s’exprimer en fonction d’un nombre fini de
solutions. Précisément
Théorème 1.1 L’ensemble des solutions d’une équation différentiel linéaire d’ordre n est
un espace vectoriel de dimension n.
Il existe donc une famille de n solutions y1 , . . . , yn (une base telle que toute solution
s’écrit comme une combinaison linéaire des yi : il existe y1 , . . . , yn telles que chaque yi est
une solution et pour toute solution y, on a
y(t) = α1 y1 (t) + . . . + αn yn (t).
3
On dit que la famille {y1 , . . . , yn } engendre l’ensemble des solutions de (H).
Note : Le principe de superposition nous assure que toutes les fonctions de ce type
sont des solutions. Pour démontrer complètement le théorème, il faut également montrer
que ce sont les seules.
Résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre n revient donc à trouver ces n solutions particulières. On sait trouver ces solutions particulières dans le cas où les coefficients
ai sont constants.
Pour des équations différentielles avec second membre (du type de (E)), on peut montrer
que si l’on connait les solutions de l’équation homogène associée (i.e. l’équation obtenue
en replaçant f (t) par 0), une seule solution de l’équation complète nous suffit alors pour
exprimer toutes les solutions de (E).
Précisément, on peut montrer que les solutions de (E) sont de la forme
y = yH + yp
où yp est une solution fixée de (E) et yH parcourt l’ensemble des solutions de (H).
Pour résoudre une équation différentielle linéaire, on commence donc par déterminer
les solution de l’équation homogène associer puis on cherche une solution particulière de
l’équation complète.
Parmi les équations différentielles linéaires, les plus simples à étudier sont celles à
coefficients constants, i.e. celle dont les coefficients ai ne dépendent pas de t.
On va voir comment, à l’aide des polynômes, on peut construire la famille de fonctions
qui engendrent les solutions de (H) puis on verra comment déterminer une solution particulière de l’équation complète.
Pour les équations à coefficients non constants, le problème est bien plus complexe. On
se contentera donc d’étudier de telles équations à l’ordre 1, i.e. les équations de la forme
(N.C.), : a(t)y 0 + b(t)y = f (t).
On verra en particulier que, contrairement aux équations à coefficients constant, on ne
pourra pas forcement trouver de solution de (N.C.) définies sur R tout entier. On verra en
particulier comment déterminer les intervalles de résolution et ce qu’entraine l’existence de
valeurs interdites sur la nature des solutions.
4
1.1
1.1.1
Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Équations homogènes
Équations d’ordre 1. Une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 à coefficients constants est une équation de la forme
(H1 ) : αy 0 + βy = 0.
Quitte à diviser par α (qui est non nul), on peut se ramener à une équation de la forme
(H1 ) : y 0 = ay.
Il y a de nombreuses façons de résoudre ce type d’équations.
La méthode ci-dessous a l’avantage de s’appliquer également avec des coefficients non
constants (bien qu’elle soit plus difficile à mettre en œuvre).
Cette méthode consiste à transformer (H1 ) en une égalité entre deux quantités que l’on
sait intégrer. Il suffit pour cela de diviser par y :
y0
y = ay ⇐⇒
= a.
y
0
On reconnaît à gauche la dérivée de ln |y|. D’où
ln |y(t)| = at + b ⇐⇒ |y(t)| = eat+b .
En note A = ±eb , on obtient toutes les solutions de (H1 ) :
y(t) = Aeat ,
A ∈ R.
Graphiquement, on a
a>0
a<0
A>0
A>0
A<0
A<0
Équations d’ordre n. Pour les équations d’ordre n, on utilise une méthode basée sur
les polynômes pour déterminer les n solutions qui engendre l’ensemble des solutions.
Précisément, si
(H) : an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = 0,
5
ai ∈ R,
on appelle alors polynôme caractéristique de l’équation (H) le polynôme
P (X) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 .
C’est un polynôme degré n. Or si l’on se place dans C, un tel polynôme peut s’écrire
P (X) = (X − α1 )(X − α2 ) · · · (X − αn )
où les αi sont les racines complexes de P , qui peuvent éventuellement être égales.
Ce sont ces n racines de ce polynômes qui nous permettent de construire les n solutions de
base de (H). Précisément, on peut montrer que pour chaque racine αi de P (X), la fonction
yi : t 7→ eαi t
est une solution de (H).
Exercice : à faire.
Si les n racines sont distinctes, les n fonction y1 , . . . , yn sont les fonctions de base que
l’on cherche. Autrement dit, toute solution de (H) s’écrit sous la forme
y : t 7→ A1 eα1 t + A2 eα2 t + . . . + An eαn t ,
Ai ∈ R.
Notes :
– Cela correspond à ce que l’on a vu à l’ordre 1. Le polynôme caractéristique d’une
équation de la forme y 0 = ay est en effet le polynôme P (X) = X − a dont l’unique
racine est a.
– Pour une équation d’ordre n, on a n degrés de liberté pour construire une solution :
les n coefficients A1 , . . . , An .
Si certaines racines sont multiples, les fonctions yi : t 7→ eαi t sont toujours des solutions de (H) mais on n’en a plus n. (Il en manque). Cependant, on peut montrer que si α
est une racine double de P (X), les fonctions [t 7→ eαt ] et [t 7→ teαt ] sont solutions de (H).
De façon générale, si α est une racine de P (X) d’ordre r, les fonctions
[t 7→ eαt ], [t 7→ teαt ], . . . , [t 7→ tr−1 eαt ], [t 7→ tr eαt ]
sont des solutions de (H).
Exercice : à faire.
Ainsi, si le polynôme P s’écrit
P (X) = (X − α1 )r1 (X − α2 )r2 · · · (X − αd )rd
6
avec les αi tous différents et r1 + r2 + . . . + rd = n, chaque racine αi donne donc ri solutions.
On a alors nos n solutions de base à partir desquelles exprimer n’importe quelle solution
sous forme de combinaison linéaire.
Dans le cas des équations de degré 2, le polynôme caractéristique est de degré 2. À
l’aide du discriminant ∆, on peut classer les équations linéaires d’ordre 2 à coefficients
constants en deux catégories :
– Si ∆ 6= 0, le polynôme P admet deux racines distinctes α1 et α2 . Les solutions de
l’équation associée à P sont donc engendrées par
[t 7→ eα1 t ]
et
[t 7→ eα2 t ]
– Si ∆ = 0, le polynôme P admet une unique racine double α0 . Les solutions de
l’équation associée à P sont engendrées par
[t 7→ eα0 t ]
et
[t 7→ teα0 t ]
Note : dans le cas où ∆ 6= 0, on peut distinguer les cas ∆ > 0 et ∆ < 0. Chacun
de ces cas correspond à un comportement dynamique différent. On peut en particulier
noter que si ∆ < 0, les solutions sont des sommes d’exponentielles complexes conjuguées
(α2 = α1 ). Ce sont donc des fonctions oscillantes. On peut en particulier montrer que l’on
peut transformer la somme
Aeα1 t + Beα1 t
en une somme de la forme
eλt (A0 cos(ωt) + B 0 sin(ωt)),
A0 , B 0 ∈ R
où λ est la partie réelle de α1 et ω sa partie imaginaire :
α2 = λ − iω.
α1 = λ + iω,
1.1.2
Le cas non homogène
Lorsque l’on ajoute un second membre f (t) non nul à une équation homogène, l’équation
obtenue ne vérifie plus le principe de superposition. Cependant, on a tout de même la
propriété suivante :
Proposition 1.2 Si yp est une solution de l’équation différentielle
(E) : an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = f (t),
et si yH est une solution de l’équation homogène associée, la somme
y = yp + yH
est encore une solution de l’équation (E).
7
ai ∈ R
En étudiant le problème à l’aide de l’algèbre linéaire, on peut même montrer que toutes
les solutions de l’équation (E) peuvent être obtenue en ajoutant à une solution particulière
de (E) l’ensemble des solutions de (H).
Autrement dit, pour résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants,
on déterminer les solutions de (H) à l’aide de son polynôme caractéristique, puis on cherche
une solution particulière de l’équation complète.
Grâce aux formules de calcul différentiel, on peut souvent chercher une solution “à l’instinct”.
En effet, la première chose que l’on peut remarquer est que si y est un polynôme, toutes
ses dérivées sont des polynômes (nuls à partir d’un moment). Ainsi, le membre de gauche
de l’équation (E) est encore un polynôme. Autrement dit, si le second membre f (t) est un
polynôme en t, on peut chercher une solution particulière sous la forme d’un polynôme (les
inconnues étant les coefficients de ce polynôme). En calculant ses dérivées successives et
en mettant le tout dans l’équation, on a une égalité entre deux polynôme. On peut alors
procéder par identification.
De façon générale, si le second membre est un polynôme, on cherchera une solution
particulière sous la forme d’un polynôme de même degré. Il peut arriver que cela ne donne
rien. Dans ce cas, on augmente le degré du polynôme que l’on cherche et on recommence.
De même, on peut noter que si y est une fonction de la forme P (t)eαt , toutes ses dérivées
ont également cette forme là. On peut appliquer la même méthode de dans le cas où f (t)
est un polynôme pour les cas où f (t) est de la forme P (t)eαt .
Enfin, cette propriété des dérivées est encore valable pour les fonctions de la forme
A cos αt + B sin αt. Là encore, si f (t) est de ce type, on pourra chercher une solution particulière sous cette forme.
Enfin, à l’ordre 1, quand l’instinct ne nous donne rien, on peut appliquer la méthode de
variation de la constante : la résolution d’une équation linéaire homogène d’ordre 1 produit
une constante. On a vu par exemple que les solutions de l’équation y 0 = ay sont
y(t) = Aeat ,
A ∈ R.
Si l’on souhaite résoudre une équation de la forme y 0 − ay = f (t) où f (t) est connue (non
nulle), on peut alors chercher une solution particulière de cette équation sous la forme
yp (t) = A(t)eαt .
8
(On fait varier la constante issue de la résolution de l’équation homogène associée). En
injectant yp dans l’équation, on obtient :
yp0 (t) + ayp (t) = f (t) ⇔ (A0 (t) − aA(t))e−at + aA(t)e−at = f (t)
⇔ A0 (t) = f (t)eat .
En intégrant cette dernière équation, on trouve A(t) et donc une solution particulière.
1.1.3
Conditions initiales et solution unique
D’après ce que l’on a vu plus haut, l’ensemble des solutions d’une équation différentielle
linéaire d’ordre n à coefficients constants est engendré par n solutions indépendantes (c’est
un espace vectoriel de dimension n). Autrement dit, on a n degrés de liberté pour construire
une solution. D’un point de vue analytique, ces n degrés de liberté sont représentés par les
n constantes A1 , . . . , An qui apparaissent dans l’expression d’une solution générale (et qui
ne sont rien d’autre que les coordonnées d’une solution générale dans la base formée des n
solutions données par les racines du polynôme caractéristique).
Pour déterminer une unique solution dans l’ensemble des solutions, on peut donc ajouter
à l’équation différentielle n contraintes différentes. On peut par exemple imposer à la
solution cherchée de passer par n points différents :
y(t1 ) = y1 , y(t2 ) = y2 , . . . , y(tn ) = yn .
En pratique, si l’on introduit ces n contraintes supplémentaire dans l’expression générale
de la solution, on obtient un système linéaire vérifié par les Ai . La résolution de ce système
nous donne les coordonnées de l’unique solution cherchée.
Traditionnellement, les contraintes supplémentaires portent plutôt sur les dérives de
fonction y en un même point (souvent t = 0) :
y(0) = y0 , y 0 (0) = y1 , . . . , y (n−1) (0) = yn−1
Là encore, en introduisant ces conditions dans la solution générale, on obtient un système
linéaire dont les inconnues sont les coordonnées Ai . La résolution de ce système donne
l’unique solution cherchée.
1.2
Équations linéaires à coefficients non constants (ordre 1)
Pour les équations d’ordre 1, on généralise la méthode vue pour les équations d’ordre
1 à coefficients constants. Ainsi, soit
(E) : y 0 + a(t)y = f (t)
9
C’est encore une équation linéaire. On peut donc appliquer la même démarche que dans
le cas constant : on commence par résoudre l’équation homogène associée, puis on cherche
une solution particulière de l’équation complète.
Or l’équation homogène
(H) : y 0 + a(t)y = 0
s’écrit également
y0
= −a(t).
y
Si l’on connait une primitive A(t) de a(t), on peut donc intégrer de chaque coté :
(H) ⇔ ln |y(t)| = −A(t) + k
En passant à l’exponentielle, on obtient les solutions de (H) sous la forme
y : t 7→ Ke−A(t) ,
K ∈ R.
Exemple : y 0 + ty = 0.
Dans le cas où le coefficient de y 0 est différent de 1, on a
b(t)y 0 + a(t)y = 0
On peut se ramener au cas précédent en divisant par b(t). Cependant, cette opération
impose de prendre des précautions qui modifient en partie la méthode de résolution. Si l’on
souhaite diviser par b(t), on doit enlever du cadre de résolution les valeurs de t qui vérifient
b(t) = 0. La résolution ne peut alors plus se faire sur R tout entier. Les solutions que l’on
va trouver seront alors définies sur différents intervalles de R. (Par exemple, si b(0) = 0,
on a deux intervalles : R∗+ et R∗− . La théorie nous dit qu’il faut alors résoudre l’équation
étudiée sur chacun de ces intervalles.
D’autre part, des problèmes similaires peuvent apparaître si le coefficient a(t) de y n’est
pas défini sur R tout entier.
Ainsi, la résolution d’une équation du type
b(t)y 0 + a(t)y = 0
10
commence par une recherche des valeurs interdites et des intervalles de résolution.
Une fois que l’on a résolu la question des intervalles sur lesquels on travaille, on applique
la même méthode que précédemment : si l’équation est homogène, on a
b(t)y 0 + a(t)y = 0 ⇔ y 0 = −
a(t)
y.
b(t)
L’ensemble des solutions de cette équation est alors l’ensemble des fonctions de la forme
yH (t) = λe−A(t) , λ ∈ R
ô
ñ
a(t)
.
où A est une primitive de la fonction t 7→
b(t)
Dans le cas non homogène, on commence par résoudre l’équation homogène, puis on
cherche une solution particulière pour l’équation complète. L’ensemble des solutions de (E)
est alors l’ensemble des fonctions de la forme y = yP + yH .
Pour trouver une solution particulière, on se base (toujours comme pour les équations
à coefficients constants) sur la forme du second membre f (t), mais il faut également tenir
compte de la forme des coefficients a(t) et b(t).
Si la recherche instinctive ne donne rien, on applique là encore la méthode de variation
de la constante.
Après avoir résolu une équation de la forme b(t)y 0 + a(t)y = f (t) sur chacun des intervalles de résolution, on obtient, pour chacun de ces intervalles, un ensemble de solutions
dépendant d’une constante multiplicative. (Attention : on a un jeu de constantes par intervalle).
Exemples :
A=3
A=2
A=1
2
1. (E) : y 0 + 2ty = e−t
A=0
– Domaine de résolution : R
2
2
– Solutions : y(t) = Ae−t + te−t , A ∈ R
A=-1
A=-2
1
2. (E) : y 0 − y = −1
x
– Domaines de résolution : R∗+ et R∗−
– Solutions :
– sur R∗+ : y(x) = Ax − x ln x, A ∈ R
– sur R∗− : y(x) = Bx−x ln(−x), B ∈ R
11
A=-3
3. (E) : xy 0 + y = 3x2
– Domaines de résolution : R∗+ et R∗−
– Solutions :
A
– sur R∗+ : y(x) = + 3x2 , A ∈ R
x
B
– sur R∗− : y(x) = + 3x2 , B ∈ R
x
1
4. (E) : ty 0 + y =
1−t
– Domaines de résolution : ] − ∞, 0[, ]0, 1[
et ]1, +∞[
– Solutions :
A
ln(1 − t)
– sur ] − ∞, 0[ : y(t) =
−
,
t
t
A∈R
B ln(1 − t)
−
,B ∈R
t
t
C
ln(t − 1)
– sur ]1, +∞[ : y(t) =
−
,
t
t
C∈R
– sur ]0, 1[ : y(t) =
Si le problème est donné avec une condition initiale de la forme y(t0 ) = y0 , on peut
ne considérer que les solutions définies sur l’intervalle contenant t0 . Comme dans le cas
des coefficients constants, en introduisant la condition initiale dans la solution générale, on
peut déterminer la constante correspondant à l’unique solution du problème (Équation +
C.I.).
2
Équations différentielles non linéaires (ordre 1)
En règle générale, les équations différentielles linéaires sont issue de modèles relativement simples. Si l’on veut des modèles un peu plus complexes (et donc plus proches de la
réalité), on obtient en règle générale des équations non linéaires.
Ce sont, pour la plupart, des équations que l’on ne sait pas résoudre de façon exactes.
Dans un premier temps, on va voir certaines classes d’équations non linéaires pour
lesquelles on a un angle d’attaque puis on verra comment, dans certains cas particuliers,
on peut se faire une idée de l’allure des solutions sans avoir de forme explicite.
12
2.1
Équations séparables
Une équation séparable est une équation que l’on peut mettre sous la forme
y 0 = f (t)g(y) ou encore y 0 h(y) = f (t)
(avec h = g1 ).
Si l’on connaît une primitive de h et une primite de f , on peut intégrer l’équation :
H(y(t)) = F (t) + k
d’où on tire y(t).
Note : cette méthode est loin de s’appliquer à toutes les équations séparables. Il faut
tout d’abord pouvoir intégrer les fonctions f et h puis il faut pouvoir extraire y(t) de
l’équation H(y(t)) = F (t) + k.
Exemples :
– y 0 = et−y .
1
– y 0 = y(1+t
2) .
2.2
Changement de variable
Pour certaines équations, on peut changer de variable y, le but étant de transformer
l’équation en une équation que l’on sait résoudre (linéaire, par exemple). En effectuant le
changement de variable inverse sur les solutions trouvées, on obtient les solutions de la
première équation.
Exemples :
– Une équation de Bernouilli : y 0 cos x + y sin x + y 3 = 0.
Poser z = y12 .
– Une autre : xy 0 + y = y n .
1
Poser z = yn−1
.
– Une équation de Ricatti : y = (y − 1)(xy − y − x).
1
, soit y = 1 + z1 .
Poser z = y−1
– x2 + y 2 − xyy 0 = 0. Poser u = y/x.
2.3
Linéarisation
La plupart des équations non linéaire ne sont pas résolvables par les méthodes que l’on
connaît. On est alors amenés à chercher des solutions approchées. Une première méthode
d’approximation consiste à linéariser une équation non linéaire à l’aide des D.L.
13
Ainsi, l’étude d’un pendule simple peut produire l’équation différentielle suivante :
θ00 + sin(θ) = 0
où θ(t) est l’angle que fait le pendule avec la verticale à chaque instant.
Si l’on suppose que les oscillations sont petites, on peut approcher sin(θ(t)) par θ(t).
On obtient alors une équation linéaire (d’ordre 2, à coefficients constants) que l’on peut
résoudre. Les solutions obtenues sont cohérentes avec ce que l’on sait de la réalité.
Vous verrez par la suite comment construire des solutions approchées point par point
pour tout type d’équations.
3
Étude qualitative d’une équation différentielle
Pour certaines équations, on peut se faire une idée de l’allure des solutions (et donc du
comportement général du système que l’on étudie) sans les résoudre de façon exacte. C’est
en particulier le cas pour certaines équations séparables : les équations de la forme
(E) : y 0 = F (y)
dites autonomes.
L’étude de la fonction F (vue comme fonction d’une variable réelle a) nous donne en
effet de nombreuses informations sur les solutions y de l’équation. Les zéros de F (i.e. les
valeurs de a pour lequelles F (a) est nul) nous donnent par exemples les solutions constantes
de l’équation (E). (Exercice : à vérifier).
On les appelle points fixes, ou points d’équilibre. Elles ont une importance capitale
dans l’étude qualitative d’une équation différentielle car l’analyse locale des solutions de
(E) autour de ces points fixes permet souvent d’obtenir beaucoup d’informations sur le
comportement global des solutions.
De même, si l’on connaît le signe de la fonction F (i.e. le signe de F (a) quelque soit la
valeur de a), on peut connaître les variations d’une solution y en fonction de sa position
(i.e. de sa valeur y(t)).
Enfin, le graphe de la fonction F (qui nous donne y 0 en fonction de y) nous permet de
tracer l’allure générale des solutions (dans un repère (t, y(t))).
3.1
Un exemple
Étudions un exemple issu de la dynamique des populations. On considère une population donnée et on note y(t) le nombre d’individus à l’instant t. Un modèle simpl(ist)e
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d’évolution peut être donné par l’équation
(E) : y 0 = y(1 − y),
y(0) = y0 .
Ici, y0 est le nombre d’individus à t = 0 et la fonction F est F : a 7→ a(1 − a).
Les zéros de F sont a = 0 et a = 1. Les solutions constantes (ou points fixes) de (E)
sont donc
y(t) = 0 ∀t
et
y(t) = 1 ∀t.
y'
D’autre part, sur la courbe de la fonction F (ci
contre), on voit que F (a) > 0 pour 0 < a < 1.
L’équation (E) nous permet alors de dire que
si 0 < y(t) < 1, on a y 0 (t) > 0 et la population
augmente. De même, on voit que si y(t) n’est pas
dans l’intervalle ]0, 1[.
y'>0
y'=0
y'=0
y
y'<0
y'<0
On peut facilement représenter cela en notant sur la courbe de F le sens de parcours
de l’axe y :
y'
y croissante
y fixe (instable)
y fixe (stable)
y
y décroissante
y décroissante
Ainsi, le point d’équilibre y = 0 est naturellement qualifié d’instable. Si y(t) varie ne
serait-ce qu’un tout petit peu autour de ce point en positif ou en négatif), la fonction y(t)
s’éloigne alors du point fixe.
À l’inverse, le point fixe y = 1 est un point fixe stable. Si l’on perturbe y(t) autour de
ce point, la foncion y(t) revient vers la valeur y = 1.
On peut alors tracer les différentes solutions de (E) en fonction de y0 :
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y(t)
si y0>1, y(t) tend vers 1
si 0<y0<1, y(t) s'éloigne de 0 et tend vers 1
t
si y0<0, y(t) tend vers - l'infini
3.2
Classification des points fixes (en dimension 1)
En généralisant ce que l’on vient de voir, on peut classer les points fixes d’une équation
du type
y 0 = F (y)
en étudiant le signe de la dérivée de F aux points où F (a) = 0. Ainsi, soit a tel que
F (a) = 0.
– Si F 0 (a) > 0, le point fixe y = a est instable.
– Si F 0 (a) < 0, le point fixe y = a est stable.
Dans le cas où F 0 (a) = 0, le point fixe y = a est dit semi-stable ou point selle. Le
comportement des solutions de (E) autour de ce point est alors donné par le signe de
F 00 (a).
Ainsi, si F 00 (a) > 0, la courbe de F autour de a est convexe. Le point fixe a est donc
stable si l’on déplace y vers la gauche et instable si l’on déplace y vers la droite. Si F 00 (a) < 0,
c’est le contraire.
Si F 00 (a) = 0, on étudie alors F (3) (a).
Remarque : dans la réalité, les points selles n’existent pas. En effet, ils correspondent
à un état du système qui disparaît si le système subit une toute petite variation (ce qui
ne peut manquer de se produire). On a alors disparition du point fixe ou apparition d’un
couple de points fixes stable/instable. Les points selles sont donc dits structurellement instables.
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Systèmes différentiels
Un système différentiel est, comme pour les systèmes d’équations, un ensemble d’équations différentielles liant plusieurs fonctions inconnues entre elles à elles mêmes et leurs
dérivées.
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Un système d’ordre 1 est donc un système de la forme




x01 + ϕ1 (x1 , . . . , xn ) = f1 (t)
..
.



x0n + ϕn (x1 , . . . , xn ) = fn (t)
Résoudre un tel système, c’est déterminer toutes les n-uplets de fonctions (x1 , . . . , xn ) qui
vérifient toutes ces équations en même temps.
Un tel système est dit linéaire si toutes les équations sont linéaires en les xi .
Un système 2 × 2 d’équations différentielles linéaire est par exemple un système de la
forme
® 0
x + ax + by = f1 (t)
(S) =
y 0 + cx + dy = f2 (t)
Ç
En notant les inconnues dans un vecteur colonne X(t) =
x(t)
y(t)
å
, on peut alors écrire le
système (S) sous la forme
X 0 + AX = F (t)
avec
Ç
A=
a b
c d
å
Ç
,
0
X =
x0
y0
å
Ç
et F (t) =
f1 (t)
f2 (t)
å
.
On peut de la même façon écrire sous forme matricielle n’importe quel système linéaire de
taille n.
Vous verrez l’année prochaine comment résoudre ces systèmes en toutes généralités.
Cependant, les méthodes que l’on connaît nous permettent déjà d’étudier un peu ces
systèmes. On peut même parvenir à les résoudre dans quelques cas particuliers.
On peut par exemple montrer que dans le cas homogène (i.e. F (t) = 0), le principe de
superposition est encore respecté. (C’est particulièrement clair avec la notation matricielle).
Les premiers systèmes de petite dimension que l’on peut rencontrer sont les systèmes
faisant intervenir les coordonnées d’un point dans le plan ou l’espace (les dérivées d’ordre 1
et 2 donnant alors le vecteur vitesse et le vecteur accélération). C’est par exemple le cas de
l’équation balistique, même si dans ce cas, le système que l’on obtient est particulièrement
simple puisque les deux équations ne sont pas couplées : chacune ne dépend que d’une seule
inconnue.
Si l’on parvient à résoudre un tel système, on obtient une paramétrisation de la trajectoire que l’on étudie. En étudiant alors les limites des ces fonctions pour t → +∞, on
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peut alors par exemple déterminer le comportement de l’objet d’étude au bout d’un temps
long. En étudiant de plus près ces solutions (en cherchant par exemple) des relations entre
elles), on également déterminer le type de trajectoire que suit l’objet que l’on étudie.
Exemple : l’équation balistique.
Dans certains cas (correspondant à une matrice A particulièrement simple), on peut
résoudre de petits systèmes de ce type en utilisant les méthodes que l’on connaît. Une
matrice diagonale, par exemple, de la forme
Ç
å
−a 0
0 −b
A=
correspond par exemple à un système d’équations indépendantes :
®
x0 = ax
y 0 = by
La résolution se fait donc en résolvant chacune des équations séparément. On trouve :
Ç
X(t) =
x(t)
y(t)
å
Ç
=
å
Aeat
Bebt
Ç
=
eat 0
0 ebt
åÇ
A
B
å
.
On voit que l’ensemble des solutions dépend ici de deux constantes A et B. On peut
donc fixer deux conditions initiales : une pour chaque fonction. En imposant x(0) = x0
et y(0) = y0 , on a A = x0 et B = y0 . Ainsi, l’unique solution du système vérifiant les
conditions initiales données est
Ç
eat 0
0 ebt
X(t) =
å
X0 .
On trouve une analogie avec les équations d’ordre 1.
Exercice : montrer que si a = 1 et b = 2, la courbe paramétrée donnée par x(t) et y(t)
est une parabole (i.e. il existe une constante K telle que y(t) = K.x(t)2 ).
De façon générale on peut montrer que l’on a
y(t) =
B
A
b
a
b
x(t) a .
Une autre classes de systèmes que l’on peut résoudre à l’aide des outils que l’on connaît
est donnée par les matrices triangulaires. En dimension 2, par exemple le système différentiels associé à une matrice A de la forme
Ç
A=
a b
0 c
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å
est
®
x0 = ax + by
y 0 = cy
On peut alors résoudre l’équation en y (puisqu’elle ne dépend pas de x). Une fois que l’on
a les solutions, on les injecte dans la première équation. On obtient alors une équation
linéaire avec second membre, que l’on sait résoudre.
Exemple : résoudre le système différentiel donné par la matrice
Ç
A=
2 1
0 −1
å
Enfin, on peut montrer que dans le cas d’une matrice A quelconque, on transformer le
système X 0 = AX en une équation linéaire d’ordre 2 vérifiée par x ou y.
Ç
Exemple : soit A =
2 1
−1 2
å
.
1. Écrire le système X 0 = AX sous forme développée.
2. À l’aide de la première équation, exprimer les fonctions y et y 0 en fonction de x et
de ses dérivées.
3. Montrer, à l’aide de la question précédente que x vérifie l’équation
(E) : x00 − 4x0 + 5x = 0
La résolution de cette dernière équation donne x. A l’aide de la première équation, on en
déduit y.
On pourra noter que le polynôme caractéristique de l’équation (E) est exactement le
polynôme caractéristique de la matrice A.
De façon générale, on peut montrer que tout système de n équations d’ordre 1 correspond à une équation d’ordre n.
On utilise d’ailleurs cette correspondance pour transformer les équations d’ordre n en
système. On peut alors utiliser le calcul matriciel pour les résoudre.
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