Leçon 2 Les probabilités

Leçon 2
Les probabilités
Le champ d’application des probabilités est très large. Sciences et économie les utilisent
beaucoup. En 1
re
ES, il s’agit de prendre contact avec le vocabulaire et les techniques de base
car le principal du cours se fait en Terminale où nous reprenons tout généralement de A à Z.
Lycée Première ES
Elève :
Classe :
Fiche Leçon 2
Les probabilités
Exercice 1
Dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules noires, on tire 2 boules l’une après l’autre
sans remettre la boule tirée dans le sac.
Déterminer le nombre total de tirages possibles
Soit A : « tirer deux rouges » et B : « tirer au moins une rouge ».
Calculer P(A) et P(B)
C : « tirer deux boules de la même couleur » et D : « faire un tirage bicolore ». Calculer P(C)
et P(D).
Exercice 2
On peut aborder un jeu truqué, l’exemple le plus classique est le dé pipé.
Supposons un dé où la face 1 a été lestée de façon à faire sortir plus souvent la face 6. On a
P(« 6 ») = 0,8 et P(«1») = 0,02. On considère que les autres faces sont équiprobables.
Calculer la probabilité d’avoir un nombre pair.
Exercice 3
Soit une course de chevaux à 15 partants, chercher le nombre total de tiercés possibles, le
nombre total de quartés et de quintés.
Exercice 4
(Notion de variable aléatoire)
On considère une loterie à la foire avec 30 billets dont 5 billets gagnent 15 € et 2 billets
gagnent 50 €, le reste étant des billets perdants.
On tire deux billets simultanément.
a) Donner les diverses valeurs possibles de la variable aléatoire X décrivant tous les gains
possibles.(On ne tiendra pas compte de la mise, prix d’achats des deux billets)
b) Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X. A quel prix doit-on mettre le billet pour que cette
loterie soit équitable.

Correction
Exercice 1
La première chose est de donner l’univers, ce n’est pas le sac mais l’action faîte dans le sac
pour cet exercice.
E = {(x ; y) x et y étant deux boules différentes du sac}.Attention,l’ordre intervient dans le
tirage des boules.
Ensuite le cardinal de l’univers c’est-à-dire le nombre total de tirages possibles ou si on le
dit plus généralement, le nombre total d’éventualités.
Card E = 5
×
4 = 20 tirages possibles (Nous avons 5 choix possibles pour la première boule et
4 pour la suivante car nous n’avons pas remis la première boule tirée.)
Pour compter les éventualités, en Terminale ES, on apprend des formules (Nombres de p-
listes, arrangements ou combinaisons) mais en première, on se contente de faire un tableau ou
un arbre.
Le tableau
r
1
r
2
r
3
n
1
n
2
r
1
**** (r
2
;r
1
) Etc.
r
2
(r
1
;r
2
) ****
r
3
(r
1
;r
3
) ***
n
1
Etc. ***
n
2
***
(r
1
;r
2
) signifie que l’on a tiré en premier une boule rouge et en deuxième une deuxième boule
rouge. Il y a bien 20 cases à remplies.
L’arbre
r
2
…….(r
1
; r
2
)
r
3 . . . . . . .
(r
1
; r
3
)
r
1
n
1. . . . . . . .
(r
1
; n
1
)
n
2 . . . . . . .
(r
1
; n
2
)
r
1 . . . . . . .
(r
2
; r
1
)
r
3 . . . . . . .
.(r
2
; r
3
)
r
2
n
1. . . . . . .
.(r
2
; n
1
)
n
2. . . . . . . .
(r
2
; n
2
)
r
3
etc.
n
1
etc.
n
2
Nous trouvons bien 20 « branches ».
Horizontalement, la première
boule tirée et verticalement
,
la deuxième. La diagonale
est interdite ici.

Dans cet exercice, chaque tirage est équiprobable c’est-à-dire dû au pur hasard et nous allons
appliquer la formule Pascal :
Soit A un événement alors P(A) =
EcardAcard
.
Card A, le nombre de tirages donnant A
Card E, le nombre total d’éventualités.
Cette formule s’apparente à la formule donnant la fréquence d’apparition en % d’une variable
statistique.
P(A) =
20
23
×
=
20
6=
10
3=
0,3 = 30 % .
(Pour le cardinal de A, on peut compter les cases ou bien raisonner en disant, on a 3 choix
possibles pour la première rouge et 2 choix possibles pour la deuxième)
( Il y a trois façons de donner la réponse, en quotient irréductible, en décimal ou en
pourcentage ). Propriété importante : ∀
∀∀
∀A, 0 ≤
≤≤
≤ P(A) ≤
≤≤
≤ 1 .
0 est la probabilité de l’événement impossible (ici, par exemple tirer une rouge et une
blanche) et 1 celle de l’événement certain (ici, tirer deux boules).
B est composé de deux évènements, B
1
: «tirer une rouge et une noire » et A : « tirer deux
rouges ». Nous écrivons B = B
1
∪ A. Ces deux évènements sont incompatibles (B
1
∩
∩∩
∩A = ∅
∅∅
∅)
cela veut dire qu’ils ne peuvent pas se produire en même temps c’est-à-dire ils n’ont pas
d’éventualités en commun. Nous avons une formule, si on a deux évènements incompatibles
alors P(A∪
∪∪
∪B) = P(A) + P(B).
Remarque, si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors :
P(A∪
∪∪
∪B) = P(A) + P(B) −
−−
− P(A∩
∩∩
∩B).
C’est une formule qui vient des ensembles, si on a deux ensembles qui ont une intersection,
c’est-à-dire une partie commune, alors si on les réunit, l’intersection est comptée deux fois et
donc :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)
Nous avons bien sur cet exemple (Attention, ce n’est pas une démonstration) :
Card(A ∪ B) = 5 + 3 − 2 = 6.
Nous voyons que les probabilités utilisent beaucoup le langage et les propriétés des
ensembles. Ici, nous avons donc, P(B) = P(B
1
) + P(A).
P(B
1
) = P(« tirer la rouge puis la noire » + P(« tirer la noire puis la rouge »)
=
20
32
20
23
×
+
×
=
20
12 =
5
3 (On dit 3 chances sur 5 soit 60 %).
Card(A) = 5
Card(B) = 3
Card(A
∩
B)=2
A
∪
B

P(B) =
5
3
10
3+ =
10
9
. C’est un événement très probable (90% de chance de se produire).
Remarques
a) Nous pouvons vérifier en comptant les cases ou les branches de l’arbre (18 sur 20).
b) Nous pouvons utiliser pour cette question l’événement contraire.
Définition et théorème
Tout événement A possède son événement contraire noté
A
.
(
A
A
∪
= E ; A ∩
A
= ∅ ) et nous avons P(A) = 1 − P(
A
).
Dans cette question, l’événement contraire de B est
B
: « tirer 2 noires »
P(
B
) =
20
1x2 =
10
1 et on a bien P(B) = 1 −
10
1 =
10
9.
C : « tirer deux boules de la même couleur »
P(C) = P(« tirer 2 rouges ») + P(« tirer 2 noires »)
=
20
2
10
3+=
20
8= 5
2 (ou 0,4 ou 40 %)
D est l’événement contraire de C et donc P(D) =1 – P(C) = 5
3.
Exercice 2
E = {{a}, une des faces du dé} ({a} s’appelle un singleton)
Propriété, P(E) = 1 or ici,
P(E) = P(« 1 ») + P(« 2 ») + P(« 3 ») + P(« 4 ») + P(« 5 ») + P(« 6 »).
Posons x = P(« 2 ») = P(« 3 ») = P(« 4 ») = P(« 5 ») et donc,
4x + 0,02 + 0,8 = 1 et donc 4x = 0,18 donc x = 0,045.
P(« avoir un nombre pair ») = P(« 2 ») + P(« 4 ») + P(« 6 »)
(Evènements incompatibles)
P(« avoir un nombre pair ») = 0,045 + 0, 045 + 0,8 = 0,89 soit 89 % ! alors que si le dé n’est
pas truqué, la probabilité est 3
6
1
× =
2
1 = 0,5 soit 50 %.
Exercice 3
Cet exercice montre que le calcul des probabilités utilise le dénombrement c’est-à-dire le fait
de compter les éventualités. En Terminale, le cours commence par les techniques de
dénombrement.
Dans un tiercé, l’univers est E ={(a,b,c) a,b et c trois chevaux différents}
L’ordre intervient sinon nous écririons {a,b,c}.
Card E = 131415
×
×
= 2 730 tiercés possibles .
15 choix possibles pour le premier cheval puis 14 et enfin 13 pour le troisième.
Attention, 4, 5, 12 est compté différent de 5, 4, 12. Si nous jouons toutes les combinaisons,
nous allons gagner plusieurs fois, une fois dans l’ordre et 5 fois dans le désordre.

Remarque : quelles sont nos chances da gagner dans l’ordre ou le désordre, P(G) =
7302 6=
0,0021 soit 0,2 %. La probabilité de gagner est donc faible ! On suppose en plus que le
résultat de la course est dû au pur hasard, cela n’est par si sûr !
Pour les quartés, Card (Quartés) = 12131415
×
×
×
= 32 760 éventualités.
Pour les quintés, Card (Quintés) = 1112131415
×
×
×
×
= 360 360 éventualités. Cela devient
très dur !
Exercice 4
a) E = {{a ; b} a et b deux billets différents du sac}
(Le mot simultanément implique que l’ordre n’intervient pas)
Card E =
2
2930
×
= 435 éventualités .
En effet, on tire simultanément les deux billets, c’est-à-dire que a puis b est considéré
comme le même tirage que b puis a et en fait, on a un ensemble de deux billets c’est-à-dire
une paire {a ; b}. 30 choix possibles pour le premier billet puis 29 pour le deuxième mais
on divise par 2 car un ensemble de deux billets correspond à 2 couples.
X, variable aléatoire est une application de l’ensemble des évènements dans R, elle prend
ici les valeurs suivantes :
0, on a deux billets perdants.
15, on a un billet à 15 € et un billet perdant.
30, on a deux billets à 15 €.
50, on a un billet à 50 € et un billet perdant.
65, on a un billet à 50 € et un billet à 15 €.
100, on a deux billets à 50 €.
On écrit généralement E’ = {0 ; 15 ; 30 ; 50 ; 65 ; 100}
b) Cherchons la loi de probabilité de X.
P(X = 0) =
435
22223
×
=
435
253
.
On a 23 billets perdants, on divise par 2 pour la même raison vue ci-dessus)
P(X = 15) =
435
2)523()235(
×
+
×
=
435
115
.
On garde 115 pour additionner à la fin, on raisonne d’abord s’il y avait un ordre dans les
tirages c’est-à-dire on peut tirer le billet gagnant 15€ en premier ou en deuxième.
P(X = 30) =
435
245
×
=
435
10
.
P(X = 50) =
435
2)223()232(
×
+
×
=
435
46
.
Même raisonnement que pour X = 15.