Leçon 1O Probabilités et statistiques Probabilités

Leçon 1O
Probabilités et statistiques
Probabilités
Le domaine d’application des probabilités est très large. Sciences et économie les utilisent
beaucoup. En 1reS, il s’agit de prendre contact avec le vocabulaire et les techniques de base
car le principal du cours se fait en Terminale où nous reprenons tout généralement de A à Z.
Exercice 1
Dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules noires, on tire 2 boules l’une après l’autre
sans remettre la boule tirée dans le sac.
1) Déterminer le nombre total de tirages possibles
2) Soit A : « tirer deux rouges » et B : « tirer au moins une rouge ».
Calculer P(A) et P(B)
3) C : « tirer deux boules de la même couleur » et D : « faire un tirage bicolore ».
Calculer P(C) et P(D).
Exercice 2
On peut aborder un jeu truqué, l’exemple le plus classique est le dé pipé.
Supposons un dé où la face 1 a été lestée de façon à faire sortir plus souvent la face 6. On a
P(« 6 ») = 0,8 et P(« 1 ») = 0,02. On considère que les autres faces sont équiprobables.
Calculer la probabilité d’avoir un nombre pair.
Exercice 3
Notion de variable aléatoire.
On considère une loterie à la foire avec 30 billets dont 5 billets gagnent 15 € et 2 billets
gagnent 50 €, le reste étant des billets perdants.
On tire deux billets simultanément.
a) Donner les diverses valeurs possibles de la variable aléatoire X décrivant tous les gains
possibles. On ne tiendra pas compte de la mise, prix d’achats des deux billets.
b) Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X. A quel prix doit-on mettre le billet pour que cette
loterie soit équitable.
Exercice 4
Nous considérons le jet d’un dé non truqué 4 fois de suite. Nous appelons X la variable
aléatoire donnant le nombre de jets où le six va sortie pour la première fois.
a) Donner les valeurs que peut prendre X ?
b) Construire un arbre montrant ce qui se passe.
c) Donner la loi de probabilité de X
d) Généralisation : nous considérons un évènement de probabilité p et une répétition de
l’épreuve pouvant faire apparaître l’évènement considéré (n fois). Soit X la variable
aléatoire donnant le nombre de fois où l’épreuve est répétée avant que l’évènement
étudié apparaisse pour la première fois.
On dit que X suit une loi géométrique tronqué de paramètre p (succés), n (nombre
total d’épreuve) et q (Echec) q = 1 – p.
En étudiant l’exemple ci-dessus pouvez-vous conjecturer la loi de probabilité de X ?
(On peut s’appuyer sur un arbre)
Exercice 5
Soit X une variable dont la loi de probabilité est :
Xi
P(Xi)
1
0.2
2
0.5
3
0.3
Calculer E(X) et l’écart type de X
On donne Y = 5X +8, donner alors E(Y) et l’écart type de Y.
Exercice 6
Une cible est constituée de cercles concentriques.
Les rayons sont 1, 3, 4 et 5.
Nous admettons que le tireur à l’arc
atteint toujours la cible et que la
probabilité de chaque zone comprise
entre deux cercles ou bien celle du
cercle central est proportionnelle à
l’aire de la zone considérée.
La zone centrale donne 10 points, la
couronne suivante 5 points puis les
deux dernières couronnes 3 et 2
points.
On appelle X le nombre de points
réalisés avec 1 flèche.
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Donner E(X) l’espérance mathématique de la variable X.
Statistiques
Exercice 1
Dans ma classe, il y a 12 garçons qui ont 9 de moyenne et 20 filles qui ont 11 de moyenne.
Calculer la moyenne de la classe.
Exercice 2
Nous avons un échantillon de 15 notes à un devoir.
4 6 6 7 7 7 9 9 10 12 13 13 15 15 16 (N = 15)
Calculer vx et σx pour cette série.
Exercice 3
Soit la série dont le tableau est donné ci-dessous, faire la boîte à pattes
Il s’agit de taux d’alcoolémie en g/litre.
xi
0
0,2
0,3
0,5
0,8
1
1,2
2
ni
15
9
4
8
2
2
1
1
Correction Probabilités
Exercice 1
1) La première chose est de donner l’univers, ce n’est pas le sac mais l’action faîte sur ce sac
dans cet exercice.
E = {(x ; y) x et y étant deux boules différentes du sac} (attention (x ; y) ≠ (y ; x))
Ensuite le cardinal de l’univers c’est-à-dire le nombre total de tirages possibles ou si on le
dit plus généralement, le nombre total d’éventualités.
Card E = 5 × 4 = 20 tirages possibles (Nous avons 5 choix possibles pour la première boule
et 4 pour la suivante car nous n’avons pas remis la première boule tirée.)
Pour compter les éventualités, en Terminale S, on apprend des formules (Nombres de plistes, arrangements ou combinaisons) mais en première, on se contente de faire un tableau
ou un arbre.
Le tableau
r1
r2
r3
n1
n2
r1
***
(r1 ; r2)
(r1 ; r3)
Etc.
…
r2
(r2 ; r1)
***
….
….
…
r3
Etc.
…
***
…
…
n1
…
…
…
***
…
n2
…
…
…
…
***
Horizontalement, la première
boule tirée et verticalement,
la deuxième. La diagonale
est interdite ici.
(r1 ; r2) signifie que l’on a tiré en premier une boule rouge et en second, une deuxième
boule rouge. Il y a bien 20 cases remplies (25 – 5).
L’arbre
r2 …….(r1 ; r2)
r3 . . . . . . . (r1 ; r3)
r1
n1. . . . . . . .(r1 ; n1)
n2 . . . . . . . (r1 ; n2)
r1 . . . . . . . (r2 ; r1)
r3 . . . . . . . .(r2 ; r3)
r2
n1. . . . . . . .(r2 ; n1)
n2. . . . . . . . (r2 ; n2)
r3
etc.
n1
n2
Nous trouvons bien 20 « branches ».
2) Dans cet exercice, chaque tirage est équiprobable c’est-à-dire dû au pur hasard et nous
allons appliquer la formule Pascal :
Soit A un événement alors P(A) =
card A
.
card E
Card A, le nombre de tirages donnant A
Card E, le nombre total d’éventualités.
Cette formule s’apparente à la formule donnant la fréquence d’apparition en % d’une
variable statistique.
3
3× 2 6
= = = 0,3 = 30 % .
20 20 10
Pour le cardinal de A, on peut compter les cases ou bien raisonner en disant, on a 3 choix
possibles pour la première rouge et 2 choix possibles pour la deuxième.
Il y a trois façons de donner la réponse, en quotient irréductible, en décimal ou en
pourcentage. Propriété importante : ∀A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
0 est la probabilité de l’événement impossible (ici, par exemple tirer une rouge et une
blanche) et 1 celle de l’événement certain (ici, tirer deux boules).
B est composé de deux évènements, B1 : «tirer une rouge et une noire » et A : « tirer deux
rouges ». Nous écrivons B = B1∪A. Ces deux évènements sont incompatibles (B1∩A =
∅) cela veut dire qu’ils ne peuvent pas se produire en même temps c’est-à-dire ils n’ont
pas d’éventualités en commun. Nous avons une formule, si on a deux évènements
incompatibles alors P(A∪
∪B) = P(A) + P(B).
Remarque, si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors :
P(A) =
P(A∪
∪B) = P(A) + P(B) −P(A∩
∩B).
C’est une formule qui vient des ensembles, si on a deux ensembles qui ont une
intersection, c’est-à-dire une partie commune, alors si on les réunit, l’intersection est
compté deux fois et donc :
Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) − Card(A∩B)
Card(A) = 5
Card(A∩B)=2
Card(B) = 3
Nous avons bien sur cet exemple (ce n’est pars une démonstration) :
Card(A∪B) = 5 + 3 − 2 = 6.
Nous voyons que les probabilités utilisent beaucoup le langage et les propriétés des
ensembles.
Ici, nous avons donc, P(B) = P(B1) + P(A).
P(B1) = P(«tirer la rouge puis la noire» + P(«tirer la noire puis la rouge») =
3 × 2 2 × 3 12 3
+
=
= (on dit 3 chances sur 5 soit 60 %).
20
20
20 5
9
3 3
P(B) =
+ =
.
10 5 10
Remarques.
a) Nous pouvons vérifier en comptant les cases ou les branches de l’arbre (18 sur 20).
b) Nous pouvons parler de l’événement contraire.
Définition et théorème
Tout événement A possède son événement contraire noté A .
( A ∪ A = E ; A ∩ A =∅) et nous avons P(A) = 1− P( A ).
Dans cette question, l’événement contraire de B est B : «tirer 2 noires»
2
1
9
=
et on a bien P(B) =
.
P( B ) =
20 10
10
3) C : « tirer deux boules de la même couleur »
P(C) = P(« tirer 2 rouges ») + P(« tirer 2 noires »)
=
2
3
2
8
+
=
= (ou 0,4 ou 40 %).
10 20 20 5
D est l’événement contraire de C et donc P(D) =
3
.
5
Exercice 2
E = {{a},une des faces du dé}
Propriété, P(E) = 1 or ici,
P(E) = P(« 1 ») + P(« 2 ») + P(« 3 ») + P(« 4 ») + P(« 5 ») + P(« 6 »).
Posons x = P(« 2 ») = P(« 3 ») = P(« 4 ») = P(« 5 ») et donc,
4x + 0,02 + 0,8 = 1 et donc 4x = 0,18 donc x = 0,045.
P(« avoir un nombre pair ») = P(« 2 ») + P(« 4 ») + P(« 6 »)
Nous avons des évènements incompatibles.
P(« avoir nu nombre pair ») = 0,045 + 0, 045 + 0,8 = 0,89 soit 89 % ! alors que si le dé n’est
1
1
pas truqué, la probabilité est 3 × =
= 0,5 soi 50 %.
6
2
Exercice 3
30 × 29
= 435 éventualités.
2
En effet, on tire simultanément les deux billets, c’est-à-dire que (a ; b) est considéré
comme le même tirage que (b ; a) et en fait on a un ensemble de deux billets (une paire).
30 choix possibles pour le premier billet puis 29 pour le deuxième mais on divise par 2 car
un ensemble de deux billets correspond à 2 couples.
a) E = { {a ; b} a et b deux billets différents du sac}. Card E =
X, variable aléatoire est une application de l’ensemble des évènements dans R, elle prend
ici les valeurs suivantes :
0, on a deux billets perdants.
15, on a un billet à 15 € et un billet perdant.
30, on a deux billets à 15€.
50, on a un billet à 50 € et un billet perdant.
65, on a un billet à 50 € et un billet à 15 €.
100, on a deux billets à 50 €.
On écrit généralement E’ ={0 ; 15 ; 30 ; 50 ; 65 ; 100}
b) Cherchons la loi de probabilité de X.
23× 22
253
2
P(X = 0) =
=
.
435
435
On a 23 billets perdants, on divise par 2 pour la même raison vue ci-dessus.
(5 × 23) + (23 × 5)
115
2
.
P(X = 15) =
=
435
435
On garde 115 pour additionner à la fin, on raisonne d’abord s’il y avait un ordre dans les
tirages c’est-à-dire on peut tirer le billet gagnant 15 € en premier ou en deuxième.
5× 4
(2 × 23) + (23 × 2)
10
46
2
P(X = 30) = 2 =
. P(X = 50) =
.
=
435
435
435
435
(Même raisonnement que pour X = 15)
(2 × 5) + (5 × 2)
2 ×1
10
1
2
P(X = 65) =
. P(X = 100) = 2 =
.
=
435
435
435 435
Remarque, on a Σ P(X = i) = 1.
En effet, on a la somme des probabilités de toutes les possibilités et donc on obtient la
probabilité de l’univers tout entier.
c) Définition de l’espérance mathématique
Soit une variable aléatoire X, on appelle espérance mathématique de X :
E(X) = ∑ i × P( X = i )
i
(C’est en fait une moyenne et souvent dans les exercices, elle permet d’estimer le gain
moyen que l’on peut espérer si on étudie un jeu d’argent)
Si E(X) = 0, on dit que le jeu est équitable.
Supposons ici que le prix d’un billet est a, alors les gains seront :
−2a (C’est une perte) ou 15 − 2a ou 30 − 2a ou 50 − 2a ou 65 − 2a ou 100 − 2a.
Calculons E(X).
253
115
10
46
10
× (−2a ) +
(15 − 2a) +
(30 − 2a) +
(50 − 2a) +
(65 − 2a) +
435
435
435
435
435
5 075 − 870a
1
(100 − 2a) =
.
435
435
5 075 − 870a
La loterie sera équitable si et seulement si
= 0 soit
435
5 075
5 075 − 870a = 0 ⇔ a =
≈ 5,8 3 €.
870
Il faudra fixer le prix du billet à 5,83 € pour être très prêt de rendre cette loterie équitable.
E(X) =
Exercice 4
a) X indique le nombre de lancers où la face 6 va apparaître pour la première fois.
Nous avons ici 4 lancers successifs, X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 ou 4 c’est-à-dire 6
n’apparaîtra pas sur les 4 lancers (X = 0) ou bien il apparaît au premier lancer (X = 1) etc…
b) Construisons l’arbre
(X = 1)
6
(X = 2)
6
1/6
5/6
1/6
(X = 3)
6
6
5/6
1/6
6
(X = 4)
6
5/6
1/6
6
5/6
6 (X = 0)
Il est clair que nous avons une épreuve de Bernoulli : « le 6 sort » (succès) p =
« le six ne sort pas lors d’un lancer » (échec) q = 1 – p =
5
. L’épreuve se répète 4 fois
6
dans les mêmes conditions.
c) La loi de probabilité sera :
4
625
 5
P(X=0) =   =
≈ 48.2%
1296
6
1
P(X=1) = ≈ 16.7%
6
1  5
5
P(X=2) =   =
≈ 13.9%
6  6  36
P(X=3) =
1
6
2
25
 5
≈ 11.6%
  =
216
6
3
1  5
125
P(X=4) =   =
≈ 9.6%
6  6  1296
(Le 6 n’est jamais sorti)
(Le 6 est sorti au premier lancer)
(Etc…)
1
ou bien
6
Nous voyons bien une loi de formation qui servira dans la question suivante.
625 1 5
25 125 625 + 216 + 180 + 150 + 125 1296
Vérification :
+ + +
+
=
=
= 1.
1296 6 36 216 1296
1296
1296
d) Soit un évènement A de probabilité p et A de probabilité q = 1 – p .
Nous répétons l’épreuve n fois dans les mêmes conditions.
X la variable aléatoire donnant le nombre de tirages où A est apparu pour la première fois.
On dit que X suit une loi géométrique tronquée.
L’arbre sera conforma au précédent :
(X = 1)
A
(X = 2)
A
p
q
p
(X = 3)
A
A
q
p
A
q
(X = n)
A
A
Etc….
p
A
q
A (X = 0)
X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 etc…..n.
La loi de probabilité se déduit de l’arbre et de l’exemple précédent (Nous ne la
démontrons pas)
P(X=0) = qn
P(X=1) = p
P(X=2) = p q P(X)
P(X=3) = p q2
etc…
P(X=k) = p qk – 1
Etc…
P(X=n) = p qn – 1
Nous avons donc l’expression générale d’une loi géométrique de paramètre p, q et n
P(L’évènement va sortir au bout de k fois) = P(X=k) = p qk – 1
Ce schéma va servir dans des tas de problèmes :
Exemple : une famille de 4 enfants, p = P(« voir naître une fille ») = 52%.
Calculer la probabilité qu’une fille naisse après 3 garçons à la quatrième
naissance.
(réponse : P(X=4) = 52% (48%)3 = 0.52(0.48)3 ≈ 5.8% !
Exercice 5
Il s’agit d’un exercice technique.
E(X) = ∑ X i P( X i )
i
E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3)
= 0.2 + 1 + 0.9
donc E(X) = 2.1
(L’espérance mathématique représente la moyenne de X)
La variance de X est : V(X) =
∑ ( X i − E( X )) 2 P( X i ) = ∑ X i 2 P( X i ) - E(X)²
i
i
V(X) = 1²(0.2) + 2²(0.5) + 3²(0.3) – (2.1)²
= 0.2 + 2 + 2.7 – 4.41
V(X) = 0.49
L’écart type permet d’apprécier si la variable est dispersée ou non :
σ(X) = V ( X ) donc σ(X) = 0.49 = 0.7.
Théorème :
Si nous avons une variable aléatoire Y = aX + b alors :
E(Y) = a E(X) + b
V(Y) = a² V(X) σ(Y) = |a| σ(X)
( a ² = |a|)
Donc ici, E(Y) = 5 E(X) + 8 = 5(2.1) + 8 = 10.5 + 8 = 18.5
V(Y) = 5² V(X) = 25 (0.49) = 12.25
et σ(Y) =|5| σ(X) = 5(0.49) = 3.5
Exercice 6
a) Cherchons les diverses aires :
Le petit cercle valant 10 points : A10 = πR2 = π(1)2 = π.
La première couronne valant 5 points : A5 = π(3)2 – π(1)2 = 9π − π = 8π.
La 2ième couronne entre les cercles de rayons 3 et 4 valant 3 points : A3 = π(4)2 −π(3)2 = 7π.
Enfin la dernière couronne : A2 = π(5)2 − π(4)2 = 9π.
L’aire totale de la cible est π(5)2 = 25π.
Nous sommes dans un cas où chaque aire ne sera pas équiprobable.
Appelons X le nombre de points donnés par la flèche tirée.
La loi de probabilité de X sera :
A
π
1
P(X=10) = 10 =
=
= 0.04 = 4%.
25π
25π 25
A
8π
8
P(X=5) = 5 =
=
= 0.32 = 32%.
25π 25π 25
A
7π
7
P(X=3) = 3 =
=
= 0.28 = 28%.
25π 25π 25
A
9π
9
P(X=2) = 2 =
=
= 0.36 = 36%. Nous avons bien P(E) = ∑ P(X = i) = 1 .
25π 25π 25
i
b) Pour l’espérance mathématique de X , E(X), rappelons la définition :
E(X) = ∑ X i × P(X i )
Xi étant les diverses valeurs prises par X et P(Xi) la probabilité
i
de chaque valeur Xi. E(X) = 10(0.04) + 5(0.32) + 3(0.28) + 2(0.36) = 3.56 points.
Nous pouvons espérer 3.56 points.
Correction Statistiques
Exercice 1
On utilise la formule de la moyenne pondérée.
Théorème de la moyenne pondérée
Si on a deux groupes d’effectifs N1 et N2 avec leur moyenne µ1 et µ2, on peut calculer la
N µ + N 2µ 2
moyenne de l’ensemble : µ = 1 1
.
N1 + N 2
µ=
(12 × 9) + (20 × 11) 328
=10,25.
=
32
32
Exercice 2
Etablissons un tableau pour le calcul
xi
ni
nixi ni(xi)2
4
1
4
16
6
2
12
72
7
3
21
147
9
2
18
162
10
1
10
100
12
1
12
144
13
2
26
338
15
2
30
450
16
1
16
256
15
149 1685
µ=
149
≈ 9,9 (Calcul de la moyenne)
15
2
∑ n i (x i − µ )
vx = i
N
∑ ni xi
= i
2
N
2
1685  149 
=
−
 ≈ 13,66
150  15 
et donc σ = v x ≈ 3,7.
On peut dire que la série est assez dispersée
par rapport à la moyenne.
Un élément de référence est l’étendue, e = xmax − xmin, ici 12.
Exercice 3
xi
0
0,2
0,3
0,5
0,8
1
1,2
2
ni ni
15 15
9
24
4
28
8
36
2
38
2
40
1
41
1
42
Déterminons les quartiles.
− µ2
On un effectif total de 42.
On utilise la colonne des effectifs
cumulés croissants pour trouver les
médianes Q2 puis Q1 et Q3.
Q0 = 0 (Min)
Q1 = 0 (La 11ième valeur car la première moitié comporte 21 valeurs.)
Q2 = 0,2 (On fait la moyenne entre la 21ième et la 22ième, ce sont des 0,2.) (Médiane Mé)
Q3 = 0,5 (On prend 21 + 11 = 32ième valeur.)
Q4 = 2 (Max)
IQR = Q3 − Q1 = 0,5 − 0 = 0,5.
Nous tracerons ici les pattes jusqu’aux valeurs extrêmes de la série.
Mé
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Remarque : nous n’avons pas de patte à gauche en effet, beaucoup de valeurs égales à 0. Il y a
plus de dispersion à droite et on note un léger décalage de la médiane dans la boîte. Les
valeurs sont plus concentrées à gauche qu’à droite. Evidemment, il faudrait avoir d’autres
séries pour effectuer des comparaisons.
Les statistiques sont en liaison avec les probabilités. On peut, par exemple, effectuer dans
un tableur une simulation de jets de dés.
Si on effectue un assez grand nombre de tirages de nombres aléatoires (5 000 par exemple),
nous pourrons compter le nombre de fois que 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sont sortis et constater que l’on
1
s’approche de la probabilité théorique égale à
(Ceci peut faire un TP).
6