Les probabilités

Leçon 12 Les probabilités
Le champ d’application des probabilités est très large. Sciences et économie les utilisent
beaucoup. Cette leçon est nouvelle dans le programme de seconde. Il s’agit de prendre contact
avec le vocabulaire et les techniques de base car le principal du cours se fait en Première et
Terminale.
Exercice 1
Dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules noires, on tire 2 boules l’une après l’autre
sans remettre la boule tirée dans le sac.
Déterminer le nombre total de tirages possibles
Soit A : « tirer deux rouges » et B : « tirer au moins une rouge ».
Calculer P(A) et P(B)
C : « tirer deux boules de la même couleur » et D : « faire un tirage bicolore ». Calculer P(C)
et P(D).
Exercice 2
On peut aborder un jeu truqué, l’exemple le plus classique est le dé pipé.
Supposons un dé où la face 1 a été lestée de façon à faire sortir plus souvent la face 6. On a
P(« 6 ») = 0,8 et P(«1») = 0,02. On considère que les autres faces sont équiprobables.
Calculer la probabilité d’avoir un nombre pair.
Exercice 3
Nous jetons deux dés simultanément et nous notons la somme des deux nombres obtenus.
Donner la table de ce jeu.
Quelles sont les valeurs que nous pouvons obtenir ?
Calculer la probabilité de chaque valeur possible.
Les valeurs de S sont elles équiprobables ?
Quelle est la probabilité d’obtenir une somme paire ?
Peut-on simuler ce jeu sur ordinateur ?
Exercice 4
Nous voulons dans le jeu du « 421 », déterminer la probabilité d’avoir « 421 » en un seul
coup.
Exercice 5
On peut aborder un jeu truqué, l’exemple le plus classique est le dé pipé.
Supposons un dé où la face 1 a été lestée de façon à faire sortir plus souvent la face 6. On a
P(« 6 ») = 0,8 et P(«1») = 0,02. On considère que les autres faces sont équiprobables.
Calculer la probabilité d’avoir un nombre pair.
Correction
Exercice 1
La première chose est de donner l’univers, ce n’est pas le sac mais l’action faîte dans le sac
pour cet exercice.
E = {(x ; y) x et y étant deux boules différentes du sac}.Attention,l’ordre intervient dans le
tirage des boules.
Ensuite le cardinal de l’univers c’est-à-dire le nombre total de tirages possibles ou si on le
dit plus généralement, le nombre total d’éventualités.
Card E = 5 × 4 = 20 tirages possibles (Nous avons 5 choix possibles pour la première boule et
4 pour la suivante car nous n’avons pas remis la première boule tirée.)
Pour compter les éventualités, en Terminale ES, on apprend des formules (Nombres de plistes, arrangements ou combinaisons) mais en seconde, on se contente de faire un tableau ou
un arbre.
Le tableau
r1
r2
r3
n1
n2
r2
r3
n1
r1
**** (r2 ;r1) Etc.
(r1;r2) ****
(r1;r3)
***
Etc.
***
n2
Horizontalement, la première
boule tirée et verticalement,
la deuxième. La diagonale
est interdite ici.
***
(r1;r2) signifie que l’on a tiré en premier une boule rouge et en deuxième une deuxième boule
rouge. Il y a bien 20 cases à remplies.
L’arbre
r1
r2
r3
r2 …….(r1 ; r2)
r3 . . . . . . . (r1 ; r3)
n1. . . . . . . .(r1 ; n1)
n2 . . . . . . . (r1 ; n2)
r1 . . . . . . . (r2 ; r1)
r3 . . . . . . . .(r2 ; r3)
n1. . . . . . . .(r2 ; n1)
n2. . . . . . . . (r2 ; n2)
etc.
n1
etc.
n2
Nous trouvons bien 20 « branches ».
Dans cet exercice, chaque tirage est équiprobable c’est-à-dire dû au pur hasard et nous allons
appliquer la formule Pascal :
Soit A un événement alors P(A) =
card A
.
card E
Card A, le nombre de tirages donnant A
Card E, le nombre total d’éventualités.
Cette formule s’apparente à la formule donnant la fréquence d’apparition en % d’une variable
statistique.
3
3× 2 6
= = = 0,3 = 30 % .
20 20 10
(Pour le cardinal de A, on peut compter les cases ou bien raisonner en disant, on a 3 choix
possibles pour la première rouge et 2 choix possibles pour la deuxième)
(Il y a trois façons de donner la réponse, en quotient irréductible, en décimal ou en
pourcentage). Propriété importante : ∀A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
0 est la probabilité de l’événement impossible (ici, par exemple tirer une rouge et une
blanche) et 1 celle de l’événement certain (ici, tirer deux boules).
B est composé de deux évènements, B1 : «tirer une rouge et une noire » et A : « tirer deux
rouges ». Nous écrivons B = B1∪A. Ces deux évènements sont incompatibles (B1∩A = ∅)
cela veut dire qu’ils ne peuvent pas se produire en même temps c’est-à-dire ils n’ont pas
d’éventualités en commun. Nous avons une formule, si on a deux évènements incompatibles
alors P(A∪B) = P(A) + P(B).
Remarque, si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors :
P(A) =
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
C’est une formule qui vient des ensembles, si on a deux ensembles qui ont une intersection,
c’est-à-dire une partie commune, alors si on les réunit, l’intersection est comptée deux fois et
donc :
Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) − Card(A∩B)
Card(A∩B)=2
Card(A) = 5
Card(B) = 3
A∪B
Nous avons bien sur cet exemple (Attention, ce n’est pas une démonstration) :
Card(A∪B) = 5 + 3 − 2 = 6.
Nous voyons que les probabilités utilisent beaucoup le langage et les propriétés des
ensembles. Ici, nous avons donc, P(B) = P(B1) + P(A).
P(B1) = P(« tirer la rouge puis la noire » + P(« tirer la noire puis la rouge »)
3 × 2 2 × 3 12 3
= (On dit 3 chances sur 5 soit 60 %).
=
+
=
20
20
20 5
9
3 3
+ =
P(B) =
. C’est un événement très probable (90% de chance de se produire).
10 5 10
Remarques
a) Nous pouvons vérifier en comptant les cases ou les branches de l’arbre (18 sur 20).
b) Nous pouvons utiliser pour cette question l’événement contraire.
Définition et théorème
Tout événement A possède son événement contraire noté A .
( A ∪ A = E ; A ∩ A =∅) et nous avons P(A) = 1− P( A ).
Dans cette question, l’événement contraire de B est B : « tirer 2 noires »
2 x1 1
1
9
=
et on a bien P(B) = 1 −
=
.
P( B ) =
20 10
10 10
C : « tirer deux boules de la même couleur »
P(C) = P(« tirer 2 rouges ») + P(« tirer 2 noires »)
2
3
2
8
=
+
=
=
(ou 0,4 ou 40 %)
10 20 20 5
D est l’événement contraire de C et donc P(D) =1 – P(C) =
3
.
5
Exercice 2
E = {{a}, une des faces du dé} ({a} s’appelle un singleton)
Propriété, P(E) = 1 or ici,
P(E) = P(« 1 ») + P(« 2 ») + P(« 3 ») + P(« 4 ») + P(« 5 ») + P(« 6 »).
Posons x = P(« 2 ») = P(« 3 ») = P(« 4 ») = P(« 5 ») et donc,
4x + 0,02 + 0,8 = 1 et donc 4x = 0,18 donc x = 0,045.
P(« avoir un nombre pair ») = P(« 2 ») + P(« 4 ») + P(« 6 »)
(Evènements incompatibles)
P(« avoir un nombre pair ») = 0,045 + 0, 045 + 0,8 = 0,89 soit 89 % ! alors que si le dé n’est
1
1
pas truqué, la probabilité est 3 × =
= 0,5 soit 50 %.
6
2
Exercice 3
Attention, nous jetons les dés simultanément donc obtenir 2 puis 3 revient au même que 3
puis 2 ; en fait l’univers contient des paires : E = {{a ; b} a et b deux nombres différents pris
entre 1 et 6 ; et les couples (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) ; (4 ; 4) ; (5 ; 5) et (6 ; 6)}
6×5
Card E =
+ 6 = 21 éventualités.
2
La table de ce jeu est un tableau montrant les deux dés et la somme obtenue dans chaque cas.
Ceci va nous donner les valeurs possibles de S.
En première, S s’appelle une variable aléatoire.
Dans le tableau, nous voyons bien que 2 et 3 n’est compté qu’une fois (2 et 3 même somme
que 3 et 2)
Dé 1
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
6
7
8
9
8
9
10
10
11
Dé 2
1
2
3
4
5
6
7
12
S prendra les valeurs 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ;10 ; 11 et 12.
P(S = 2) =
1
2
2
1
3 1
; P(S = 4) =
; P(S = 5) =
; P(S = 6) =
; P(S = 3) =
= ;
21
21
21
21
21 7
3 1
3 1
2
2
1
= ; P(S = 8) =
= ; P(S = 9) =
;
; P(S = 10) =
; P(S = 11) =
21
21
21
21 7
21 7
1
P(S = 12) =
;
21
Nous comptons dans chaque cas le nombre de cases valable pour la valeur de S.
Remarque : La somme de toutes ces probabilités vaut 1 (Probabilité de E).
1 1
2 2 3 3 3 2 2 1 1
21
+ +
+ + + + + + + + =
= 1.
21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21
Nous voyons que les valeurs de S ne sont pas équiprobables.
P(S = 7) =
Pour avoir une somme paire, S doit prendre les valeurs 2 ou 4 ou 6 ou 8 ou 10 ou 12.
Il s’agit donc de 6 évènements incompatibles et donc :
P(« S paire ») = P(S = 2) + P(S = 4) + P(S = 6) + P(S = 8) + P(S = 10) + P(S = 12)
1
2 3 3 2 1 12 4
+ + + + + =
= ≈ 0,571 ≈ 57,1%.
21 21 21 21 21 21 21 7
Nous voyons l’utilité des probabilités en effet, « sortir S paire » aura plus de chances de se
3
produire que « sortie S impaire » (P( S impaire) = )
7
=
Pour simuler ce jeu, nous devons modéliser un dé sous Excel par exemple :
= ent(alea()*6) +1
Nous pouvons faire une feuille Excel (Simulation sur 500 tirages):
2 dés et la somme S
Dé1 Dé2
1
1
4
6
5
3
6
3
4
3
4
3
4
6
3
5
6
2
6
6
1
6
5
1
5
4
5
1
5
6
6
4
4
6
6
6
1
1
6
4
4
6
Etc ..
1
3
6
1
S
2
10
8
9
7
7
10
8
8
12
7
6
9
6
11
10
10
12
2
10
10
4
7
tests
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
Pour un dé
(=ENT(ALEA()*6)+1)
Pour S
(=A5+B5)
Pour les tests
(=SI(MOD(D5;2)=0;1;0))
Enfin, nous faisons la somme
de la colonne tests
Total des S paires
260 Sur 500
Fréquences de S paire observée
52%
1
0
Ici aussi, la touche f9 montre les fluctuations selon les 500 tirages.
Nous remarquons que la fréquence n’est jamais supérieure à 57%, en effet, dans Excel, les dés
sont créés l’un après l’autre aussi, ceci ne correspond pas à l’étude faîte.
Si nous considérons les dés lancés l’un après l’autre alors toutes les cases du tableau fait
précédemment sont à considérées et l’univers E va compter 36 éventualités car l’ordre
intervient (2 ; 3) ≠ (3 ; 2) même si la somme S vaut 5 dans les deux cas.
Si nous comptons les cases où S est paire alors nous en trouvons 18 et donc dans ce modèle,
18
P(S paire) =
= 0,5 = 50% !
36
Dans Excel, si nous augmentons le nombre des tirages, par exemple 2500 alors, nous voyons
bien que la fréquence trouvée tourne autour de 50%.

1
1 
(f∈ 0,5 −
;0,5 +
∈[0,48 ;0,52]).
 soit f∈
2500
2500 

Exercice 4
Dans ce jeu, nous lançons 3 dés identiques comportant chacun 6 faces, l’univers (E) de ce jeu
comportera 216 éventualités en effet : 6 possibilités pour le premier dé, ensuite 6 pour le
deuxième dé associées à chaque possibilités du premier dé et enfin 6 pour le dernier dé donc :
6 x 6 x 6 = 216 (Pensons à l’arbre 6 premières branches puis à l’extrémité de chacune 6 autres
etc….)
Il y a 6 façons d’avoir « 421 » : 421 ou 412 ou 241 ou 214 ou 142 ou enfin 124.
6
1
P(« Obtenir « 421 » en un seul coup) =
= ≈ 0.028 soit 2.8%
216 6
La probabilité est assez faible.
Exercice 5
E = {{a}, une des faces du dé}
Propriété : Pour tout univers, P(E) = 1 or ici,
P(E) = P(«1») + P(«2») + P(«3») + P(«4») + P(«5») + P(«6»).
Deux faces constituent des évènements incompatibles or :
Si deux évènements A et B sont incompatibles alors P(A∪B) = P(a) + P(B).
Posons x = P(«2») = P(«3») = P(«4») = P(«5») et donc,
4x + 0,02 + 0,8 = 1 et donc 4x = 0,18 donc x = 0,045.
P(«avoir un nombre pair») = P(«2») + P(«4») + P(«6») (Evènements incompatibles)
P(«avoir un nombre pair») = 0,045 + 0, 045 + 0,8 = 0,89 soit 89% ! alors que si le dé n’est
1
1
pas truqué, la probabilité est 3 × =
= 0,5 soit 50%.
6
2