Leçon 1O Probabilités et statistiques Probabilités

Leçon 1O
Probabilités et statistiques
Probabilités
Le domaine d’application des probabilités est très large. Sciences et économie les utilisent
beaucoup. En 1
re
S, il s’agit de prendre contact avec le vocabulaire et les techniques de base
car le principal du cours se fait en Terminale où nous reprenons tout généralement de A à Z.
Exercice 1
Dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules noires, on tire 2 boules l’une après l’autre
sans remettre la boule tirée dans le sac.
1) Déterminer le nombre total de tirages possibles
2) Soit A : « tirer deux rouges » et B : « tirer au moins une rouge ».
Calculer P(A) et P(B)
3) C : « tirer deux boules de la même couleur » et D : « faire un tirage bicolore ».
Calculer P(C) et P(D).
Exercice 2
On peut aborder un jeu truqué, l’exemple le plus classique est le dé pipé.
Supposons un dé où la face 1 a été lestée de façon à faire sortir plus souvent la face 6. On a
P(« 6 ») = 0,8 et P(« 1 ») = 0,02. On considère que les autres faces sont équiprobables.
Calculer la probabilité d’avoir un nombre pair.
Exercice 3
Notion de variable aléatoire.
On considère une loterie à la foire avec 30 billets dont 5 billets gagnent 15 € et 2 billets
gagnent 50 €, le reste étant des billets perdants.
On tire deux billets simultanément.
a) Donner les diverses valeurs possibles de la variable aléatoire X décrivant tous les gains
possibles. On ne tiendra pas compte de la mise, prix d’achats des deux billets.
b) Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X. A quel prix doit-on mettre le billet pour que cette
loterie soit équitable.

Statistiques
Exercice 1
Dans ma classe, il y a 12 garçons qui ont 9 de moyenne et 20 filles qui ont 11 de moyenne.
Calculer la moyenne de la classe.
Exercice 2
Nous avons un échantillon de 15 notes à un devoir.
4 6 6 7 7 7 9 9 10 12 13 13 15 15 16 (N = 15)
Calculer v
x
et σ
x
pour cette série.
Exercice 3
Soit la série dont le tableau est donné ci-dessous, faire la boîte à pattes
Il s’agit de taux d’alcoolémie en g/litre.
x
i
n
i
0 15
0,2 9
0,3 4
0,5 8
0,8 2
1 2
1,2 1
2 1

Correction Probabilités
Exercice 1
1) La première chose est de donner l’univers, ce n’est pas le sac mais l’action faîte sur ce sac
dans cet exercice.
E = {(x ; y) x et y étant deux boules différentes du sac} (attention (x ; y) ≠ (y ; x))
Ensuite le cardinal de l’univers c’est-à-dire le nombre total de tirages possibles ou si on le
dit plus généralement, le nombre total d’éventualités.
Card E = 5
×
4 = 20 tirages possibles (Nous avons 5 choix possibles pour la première boule
et 4 pour la suivante car nous n’avons pas remis la première boule tirée.)
Pour compter les éventualités, en Terminale S, on apprend des formules (Nombres de p-
listes, arrangements ou combinaisons) mais en première, on se contente de faire un tableau
ou un arbre.
Le tableau
r
1
r
2
r
3
n
1
n
2
r
1
*** (r
2
; r
1
) Etc. … …
r
2
(r
1
; r
2
) *** … … …
r
3
(r
1
; r
3
) …. *** … …
n
1
Etc. …. … *** …
n
2
… … … … ***
(r
1
; r
2
) signifie que l’on a tiré en premier une boule rouge et en second, une deuxième
boule rouge. Il y a bien 20 cases remplies (25 – 5).
L’arbre
r
2
…….(r
1
; r
2
)
r
3 . . . . . . .
(r
1
; r
3
)
r
1
n
1. . . . . . . .
(r
1
; n
1
)
n
2 . . . . . . .
(r
1
; n
2
)
r
1 . . . . . . .
(r
2
; r
1
)
r
3 . . . . . . .
.(r
2
; r
3
)
r
2
n
1. . . . . . .
.(r
2
; n
1
)
n
2. . . . . . . .
(r
2
; n
2
)
r
3
etc.
n
1
n
2
Nous trouvons bien 20 « branches ».
2) Dans cet exercice, chaque tirage est équiprobable c’est-à-dire dû au pur hasard et nous
allons appliquer la formule Pascal :
Soit A un événement alors P(A) =
EcardAcard
.
Card A, le nombre de tirages donnant A
Card E, le nombre total d’éventualités.
Horizontalement, la premi
ère
boule tirée et verticalement,
la deuxième.
La diagonale
est interdite ici.

Cette formule s’apparente à la formule donnant la fréquence d’apparition en % d’une
variable statistique.
P(A) =
20
23
×
=
20
6=
10
3=
0,3 = 30 % .
Pour le cardinal de A, on peut compter les cases ou bien raisonner en disant, on a 3 choix
possibles pour la première rouge et 2 choix possibles pour la deuxième.
Il y a trois façons de donner la réponse, en quotient irréductible, en décimal ou en
pourcentage. Propriété importante : ∀
∀∀
∀A, 0 ≤
≤≤
≤ P(A) ≤
≤≤
≤ 1 .
0 est la probabilité de l’événement impossible (ici, par exemple tirer une rouge et une
blanche) et 1 celle de l’événement certain (ici, tirer deux boules).
B est composé de deux évènements, B
1
: «tirer une rouge et une noire » et A : « tirer deux
rouges ». Nous écrivons B = B
1
∪ A. Ces deux évènements sont incompatibles (B
1
∩
∩∩
∩A =
∅
∅∅
∅) cela veut dire qu’ils ne peuvent pas se produire en même temps c’est-à-dire ils n’ont
pas d’éventualités en commun. Nous avons une formule, si on a deux évènements
incompatibles alors P(A∪
∪∪
∪B) = P(A) + P(B).
Remarque, si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors :
P(A∪
∪∪
∪B) = P(A) + P(B) −
−−
−P(A∩
∩∩
∩B).
C’est une formule qui vient des ensembles, si on a deux ensembles qui ont une
intersection, c’est-à-dire une partie commune, alors si on les réunit, l’intersection est
compté deux fois et donc :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)
Nous avons bien sur cet exemple (ce n’est pars une démonstration) :
Card(A ∪ B) = 5 + 3 − 2 = 6.
Nous voyons que les probabilités utilisent beaucoup le langage et les propriétés des
ensembles.
Ici, nous avons donc, P(B) = P(B
1
) + P(A).
P(B
1
) = P(«tirer la rouge puis la noire» + P(«tirer la noire puis la rouge») =
20
32
20
23
×
+
×
=
20
12 =
5
3 (on dit 3 chances sur 5 soit 60 %).
P(B) =
5
3
10
3
+ =
10
9
.
Remarques.
a) Nous pouvons vérifier en comptant les cases ou les branches de l’arbre (18 sur 20).
b) Nous pouvons parler de l’événement contraire.
Card(A) = 5
Card(B) = 3
Card(A
∩
B)=2

Définition et théorème
Tout événement A possède son événement contraire noté
A
.
(
A
A
∪
= E ; A ∩
A
= ∅ ) et nous avons P(A) = 1 − P(
A
).
Dans cette question, l’événement contraire de B est
B
: «tirer 2 noires»
P(
B
) =
20
2 =
10
1 et on a bien P(B) =
10
9.
3) C : « tirer deux boules de la même couleur »
P(C) = P(« tirer 2 rouges ») + P(« tirer 2 noires »)
=
20
2
10
3+=
20
8=
5
2
(ou 0,4 ou 40 %).
D est l’événement contraire de C et donc P(D) =
5
3
.
Exercice 2
E = {{a},une des faces du dé}
Propriété, P(E) = 1 or ici,
P(E) = P(« 1 ») + P(« 2 ») + P(« 3 ») + P(« 4 ») + P(« 5 ») + P(« 6 »).
Posons x = P(« 2 ») = P(« 3 ») = P(« 4 ») = P(« 5 ») et donc,
4x + 0,02 + 0,8 = 1 et donc 4x = 0,18 donc x = 0,045.
P(« avoir un nombre pair ») = P(« 2 ») + P(« 4 ») + P(« 6 »)
Nous avons des évènements incompatibles.
P(« avoir nu nombre pair ») = 0,045 + 0, 045 + 0,8 = 0,89 soit 89 % ! alors que si le dé n’est
pas truqué, la probabilité est 3
6
1
× =
2
1 = 0,5 soi 50 %.
Exercice 4
a) E = { {a ; b} a et b deux billets différents du sac}. Card E =
2
2930
×
= 435 éventualités .
En effet, on tire simultanément les deux billets, c’est-à-dire que (a ; b) est considéré
comme le même tirage que (b ; a) et en fait on a un ensemble de deux billets (une paire).
30 choix possibles pour le premier billet puis 29 pour le deuxième mais on divise par 2 car
un ensemble de deux billets correspond à 2 couples.
X, variable aléatoire est une application de l’ensemble des évènements dans R, elle prend
ici les valeurs suivantes :
0, on a deux billets perdants.
15, on a un billet à 15 € et un billet perdant.
30, on a deux billets à 15€.
50, on a un billet à 50 € et un billet perdant.
65, on a un billet à 50 € et un billet à 15 €.
100, on a deux billets à 50 €.
On écrit généralement E’ ={0 ; 15 ; 30 ; 50 ; 65 ; 100}
b) Cherchons la loi de probabilité de X.
P(X = 0) =
435
22223
×
=
435
253 .