Topologie algébrique

Topologie alg´ebrique
Pierre Guillot
12 d´ecembre 2012

Table des mati`eres
I Homologie 4
1 Pr´eliminaires : topologie quotient, CW-complexes 5
1.1 Topologie quotient .......................... 5
1.2 CW-complexes ............................ 6
1.3 Homotopie ............................... 9
2 Complexes de chaˆınes et homologie 15
2.1 Complexes de chaˆınes et leur homologie .............. 15
2.2 Modules libres sur un ensemble ................... 16
2.3 Obtenir des complexes `a partir d’espaces topologiques . . . . . . 16
2.4 Faire varier Hn(X) avec X...................... 18
3 Cat´egories et foncteurs 23
4 Les axiomes d’Eilenberg & Steenrod 28
4.1 Description axiomatique de l’homologie .............. 28
4.2 Homologie r´eduite .......................... 29
4.3 Homologie relative et excision .................... 31
4.4 Cohomologie ............................. 32
5 Unicit´e de l’homologie 40
5.1 Premier th´eor`eme d’unicit´e ..................... 40
5.2 L’homologie des CW-complexes ................... 41
6 Existence de l’homologie 48
6.1 Homologie et cohomologie singuli`eres ................ 48
6.2 Calculs en degr´e 0 .......................... 50
6.3 Changements de coefficients ..................... 51
6.4 Dualit´e – le produit de Kronecker .................. 52
6.5 (Co)homologie d’un produit ..................... 52
6.6 Structures multiplicatives ...................... 54
6.7 Le produit cap ............................ 55
7 Homologie des vari´et´es 58
7.1 Vari´et´es ................................ 58
7.2 Orientations .............................. 59
7.3 Dualit´e de Poincar´e .......................... 60
7.4 La cohomologie des espaces projectifs ............... 61
7.5 Quelques points techniques ..................... 62
1

7.6 Preuve de la dualit´e de Poincar´e .................. 64
II Groupe fondamental 68
8 Groupes d’homotopie 69
8.1 Homotopies relatives ......................... 69
8.2 Groupes d’homotopie ......................... 69
8.3 Le th´eor`eme de Hurewicz ...................... 71
8.4 Quelques th´eor`emes sans d´emonstration .............. 73
8.5 Dualit´e ................................ 74
9 Revˆetements 79
9.1 Revˆetements ............................. 79
9.2 Rel`evements .............................. 82
9.3 Monodromie .............................. 84
9.4 Le th´eor`eme g´en´eral du rel`evement ................. 84
9.5 Le groupe de Galois ......................... 86
9.6 Quelques exemples explicites .................... 87
10 La classification des revˆetements 91
10.1 Le revˆetement universel ....................... 91
10.2 ´ Equivalences de cat´egories ...................... 92
10.3 La classification ............................ 92
10.4 Correspondances galoisiennes .................... 95
10.5 Revˆetements r´eguliers ........................ 96
11 Le th´eor`eme de Van Kampen 98
11.1 Produits amalgam´es de groupes ................... 98
11.2 Le th´eor`eme de Van Kampen ....................101
III Alg`ebre homologique 104
12 Foncteurs d´eriv´es 105
12.1 Cat´egories de modules ........................105
12.2 Modules projectifs ..........................107
12.3 R´esolutions ..............................109
12.4 D´efinition des foncteurs d´eriv´es ...................111
12.5 Un exemple complet : T or ......................115
12.6 Foncteurs d´eriv´es `a droite ......................117
13 Modules injectifs 121
13.1 Changer le sens des fl`eches ......................121
13.2 Exemples ...............................122
13.3 On d´eroule ..............................124
2

14 Faisceaux et cohomologie de Rham 126
14.1 Faisceaux ...............................126
14.2 Suites exactes .............................127
14.3 Cohomologie .............................129
14.4 Calcul par les formes diff´erentielles .................130
14.5 Calcul par les simplexes singuliers .................131
14.6 Exemples ...............................134
3

Premi`ere partie
Homologie
4